Абсолютная конвергенция

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике говорят , что бесконечный ряд чисел сходится абсолютно (или абсолютно сходится ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее, говорят , что действительный или комплексный ряд сходится абсолютно, если для некоторого действительного числа . Аналогичным образом , несобственный интеграл из функции , , сходится абсолютно , если интеграл от абсолютной величины подынтегрального конечно, то есть, если${\ Displaystyle \ textstyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right | = L}$${\ displaystyle \ textstyle L}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | f (x) \ right | dx = L.}$

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, потому что ее определение достаточно сильное, чтобы иметь свойства конечных сумм, которыми обладают не все сходящиеся ряды, но достаточно широкое, чтобы встречаться обычно. (Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся .) Абсолютно сходящийся ряд ведет себя «хорошо». Например, перестановки не меняют значения суммы. Это неверно для условно сходящихся рядов: чередующийся гармонический ряд сходится к , в то время как его перегруппировка (в которой повторяющийся образец знаков - это два положительных члена, за которыми следует один отрицательный член) сходится к .${\ textstyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - { \ frac {1} {6}} + \ cdots}$${\ displaystyle \ ln 2}$${\ textstyle 1 + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} - { \ frac {1} {4}} + \ cdots}$${\ textstyle {\ frac {3} {2}} \ ln 2}$

Фон [ править ]

Можно изучать сходимость рядов , члены которых a _n являются элементами произвольной абелевой топологической группы . Понятие абсолютной сходимости требует дополнительной структуры, а именно нормы , которая является положительной вещественнозначной функцией на абелевой группе G (записанной аддитивно с единичным элементом 0) такая, что:${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |: G \ to \ mathbb {R _ {+}}}$

1. Норма единичного элемента G равна нулю:${\ Displaystyle \ | 0 \ | = 0.}$
2. Для каждого х в G , подразумевает${\displaystyle \|x\|=0}$${\displaystyle x=0.}$
3. Для каждого х в G ,${\displaystyle \|\!-x\|=\|x\|.}$
4. Для каждого x , y в G ,${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

В этом случае функция индуцирует структуру метрического пространства (типа топологии ) на G . Таким образом, мы можем рассматривать G- значные ряды и определять такие ряды как абсолютно сходящиеся, если${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

В частности, эти утверждения применяются с использованием нормы | х | ( абсолютное значение ) в пространстве действительных или комплексных чисел.

В топологических векторных пространствах [ править ]

Если X - топологическое векторное пространство (TVS) и (возможно, несчетное ) семейство в X, то это семейство абсолютно суммируемо, если ^[1]${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$

1. ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$является суммируемым в X (то есть, если предел из чистых сходится в X , где есть направленное множество всех конечных подмножеств А направлено по включению и ), и${\displaystyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$
2. для любой непрерывной полунормы p на X семейство суммируемо в .${\displaystyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Если X - нормируемое пространство и если - абсолютно суммируемое семейство в X , то обязательно все, кроме счетного набора , равны 0.${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle x_{\alpha }}$

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Отношение к конвергенции [ править ]

Если G является полным относительно метрики д , то каждый абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство такое же, как и для комплекснозначных рядов: используйте полноту для вывода критерия сходимости Коши - ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать сколь угодно малыми по норме - и примените неравенство треугольника.

В частности, для рядов со значениями в любом банаховом пространстве абсолютная сходимость влечет сходимость. Верно и обратное: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым.

Если ряд сходится, но не сходится абсолютно, он называется условно сходящимся . Примером условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд . Многие стандартные тесты для дивергенции и конвергенции, особенно в том числе теста отношений и тест корня , демонстрируют абсолютную сходимость. Это связано с тем, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего круга сходимости.

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится [ править ]

Предположим, что это сходится. Тогда эквивалентно, сходится, что означает, что и сходится почленным сравнением неотрицательных членов. Достаточно показать, что из сходимости этих рядов следует сходимость, а тогда сходимость следовала бы по определению сходимости комплекснозначных рядов. ${\textstyle \sum |a_{k}|,a_{k}\in \mathbb {C} }$${\textstyle \sum [\mathrm {Re} (a_{k})^{2}+\mathrm {Im} (a_{k})^{2}]^{1/2}}$${\textstyle \sum |\mathrm {Re} (a_{k})|}$${\textstyle \sum |\mathrm {Im} (a_{k})|}$${\textstyle \sum \mathrm {Re} (a_{k})}$${\textstyle \sum \mathrm {Im} (a_{k})}$${\textstyle \sum a_{k}=\sum \mathrm {Re} (a_{k})+i\sum \mathrm {Im} (a_{k})}$

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что из сходимости следует сходимость .${\textstyle \sum |a_{k}|,a_{k}\in \mathbb {R} }$${\textstyle \sum a_{k}}$

Позвольте быть сходящимся. Поскольку у нас есть${\textstyle \sum |a_{k}|,a_{k}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0\leq a_{k}+|a_{k}|\leq 2|a_{k}|}$

${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+|a_{k}|)\leq \sum _{k=1}^{n}2|a_{k}|}$.

Поскольку сходится, представляет собой ограниченную монотонную последовательность частичных сумм и также должна сходиться. Отметив различие сходящихся рядов, мы заключаем, что это тоже сходящийся ряд, как и следовало ожидать.${\textstyle \sum 2|a_{k}|}$${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+|a_{k}|)}$ ${\textstyle \sum (a_{k}+|a_{k}|)}$${\textstyle \sum a_{k}=\sum (a_{k}+|a_{k}|)-\sum |a_{k}|}$

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника [ править ]

Применяя критерий Коши сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенства треугольника . ^[2] По критерию Коши , сходится тогда и только тогда , когда для любого существует такое , что для любого . Но из неравенства треугольника следует, что , так что для любого , что и является критерием Коши для .${\textstyle \sum |a_{i}|}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|{\big |}=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\epsilon }$${\displaystyle n>m\geq N}$${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|}$${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}<\epsilon }$${\displaystyle n>m\geq N}$${\textstyle \sum a_{i}}$

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве сходится [ править ]

Приведенный выше результат легко обобщается на любое банахово пространство ( X , ǁ⋅ǁ) . Пусть Σ х _п быть абсолютно сходящийся ряд в  X . Как и последовательность действительных чисел Коши , для любого ε> 0 и достаточно больших натуральных чисел m > n выполняется:${\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$

По неравенству треугольника для нормы ǁ⋅ǁ сразу получаем:

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$

Это означает , что последовательность Коши в  X , следовательно , ряд сходится в  X . ^[3]${\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$

Перестановки и безусловная конвергенция [ править ]

В общем контексте G- значного ряда проводится различие между абсолютной и безусловной сходимостью, и утверждение, что действительный или комплексный ряд, который не является абсолютно сходящимся, обязательно условно сходящимся (то есть не безусловно сходящимся) является теоремой, не определение. Это обсуждается более подробно ниже.

По заданному ряду со значениями в нормированной абелевой группе G и перестановке натуральных чисел σ строится новый ряд , называемый перестановкой исходного ряда. Говорят, что ряд безусловно сходится, если все перестановки ряда сходятся к одному и тому же значению.${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}}$

Когда G полна, абсолютная сходимость влечет безусловную сходимость:

Теорема. Позволять

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty }$

и пусть σ  : N → N - перестановка. Потом:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$

Проблема обратного интересна. Для вещественных рядов из теоремы Римана о перестановке следует, что безусловная сходимость влечет абсолютную сходимость. Поскольку ряд со значениями в конечномерном нормированном пространстве абсолютно сходится, если каждая из его одномерных проекций абсолютно сходится, отсюда следует, что абсолютная и безусловная сходимость совпадают для R ⁿ -значного ряда.

Но существуют безусловно и не абсолютно сходящиеся ряды со значениями в банаховом пространстве ℓ ^∞ , например:

${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}e_{n},}$

где - ортонормированный базис. Теорема А. Дворецкого и К. А. Роджерса утверждает, что любое бесконечномерное банахово пространство допускает безусловно сходящийся ряд, который не сходится абсолютно. ^[4]${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Доказательство теоремы [ править ]

Для любого ε> 0 мы можем выбрать такое, что:${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\\forall N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$

Наконец, для любого целого числа пусть${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\end{aligned}}}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$

Это показывает, что

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists M_{\sigma ,\varepsilon },\forall N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$

то есть:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A}$

QED

Продукты серии [ править ]

Произведение Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один ряд сходится абсолютно. То есть предположим, что

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A}$и .${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B}$

Произведение Коши определяется как сумма членов c _n, где:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$

Тогда, если либо в а _н и б _п сумма сходится абсолютно, то

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$

Абсолютная сходимость интегралов [ править ]

Интеграл от реальной или комплексной функции называется абсолютно сходится , если один говорит также , что является абсолютно интегрируемой . Проблема абсолютной интегрируемости сложна и зависит от того, рассматривается ли (калибровочный) интеграл Римана , Лебега или Курцвейла-Хенстока ; для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы только интегрируемость в собственном смысле ( и оба ограничены ) или разрешаем более общий случай несобственных интегралов. ${\displaystyle \int _{A}f(x)\,dx}$${\displaystyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

В качестве стандартного свойства интеграла Римана, когда - ограниченный интервал , каждая непрерывная функция ограничена и (по Риману) интегрируема, а поскольку из непрерывности следует непрерывность, каждая непрерывная функция является абсолютно интегрируемой. Фактически, поскольку является интегрируемым по Риману на if, интегрируемо (собственно) и непрерывно, отсюда следует, что правильно интегрируем по Риману, если есть. Однако это утверждение неверно в случае несобственных интегралов. Например, функция неправильно интегрируема по Риману на своей неограниченной области, но не является абсолютно интегрируемой:${\displaystyle A=[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} ,\ \ x\mapsto x^{-1}\sin x}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\big [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\big ]}\approx 0.62,}$но .${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\Big |}{\frac {\sin x}{x}}{\Big |}\,dx=\infty }$

В самом деле, в более общем плане, для любой серии можно рассматривать связанную ступенчатую функцию, определяемую формулой . Тогда сходится абсолютно, сходится условно или расходится согласно соответствующему поведению${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Иная ситуация для интеграла Лебега, который не обрабатывает ограниченные и неограниченные области интегрирования отдельно ( см. Ниже ). Тот факт, что интеграл от не ограничен в приведенных выше примерах, означает, что он также не интегрируется в смысле Лебега. Фактически, в теории интегрирования Лебега, при условии, что она измерима , является (Лебегом) интегрируемой тогда и только тогда, когда она (Лебег) интегрируема. Однако гипотеза, которую можно измерить, имеет решающее значение; Вообще говоря, неверно, что абсолютно интегрируемые функции на интегрируемы (просто потому, что они могут не быть измеримыми): пусть будет неизмеримым подмножеством и рассмотрим${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle S\subset [a,b]}$${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$где это характеристическая функция из . Тогда не является измеримой по Лебегу и, следовательно, не интегрируемой, но является постоянной функцией и, очевидно, интегрируемой.${\displaystyle \chi _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$

С другой стороны, функция может быть интегрируемой по Курцвейлю-Хенстоку (калибровочно-интегрируемой), а не является. Это включает случай неправильно интегрируемых по Риману функций.${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$

В общем смысле, на любом пространстве с мерой интеграл Лебега вещественнозначной функции определяется в терминах его положительной и отрицательной частей, поэтому факты:${\displaystyle A}$

1. f интегрируемо влечет | f | интегрируемый
2. f измеримый, | f | интегрируемый влечет f интегрируемый

существенно встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применяя теорию к считающей мере на множестве S , можно восстановить понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром – Смитом с использованием (то, что сейчас называется) сетей. Когда S = N - множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают.

Наконец, все сказанное выше верно для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного. Для интеграла Лебега необходимо обойти разложение на положительные и отрицательные части с помощью более функционального аналитического подхода Даниэля , получив интеграл Бохнера .

См. Также [ править ]

• Сходимость рядов Фурье.
• Условная сходимость
• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Главное значение Коши
• Теорема Фубини
• 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + · · ·
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·

Ссылки [ править ]

Эта статья имеет нечеткий стиль цитирования . Используемые ссылки можно сделать более ясными с помощью другого или последовательного стиля цитирования и сносок . ( Август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Цитированные работы [ править ]

• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .

Общие ссылки [ править ]

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Вальтер Рудин, Принципы математического анализа (Макгроу-Хилл: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541 .
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250 .
• Райан, Раймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .