В математике , поглощающий элемент (или аннулирующий элемент ) представляет собой особый тип элемента набора по отношению к бинарной операции на этом множестве. Результатом объединения поглощающего элемента с любым элементом набора является сам поглощающий элемент. В теории полугрупп поглощающий элемент называется нулевым элементом [1] [2], потому что нет риска путаницы с другими понятиями нуля , за заметным исключением: в аддитивных обозначениях ноль может, вполне естественно, обозначать нейтральный элемент моноид. В этой статье «нулевой элемент» и «поглощающий элемент» являются синонимами.
Определение [ править ]
Формально, пусть ( S , •) будет множеством S с закрытой бинарной операцией • над ним (известной как магма ). Нулевой элемент представляет собой элемент г такой , что для всех х в S , г • s = s • г = г . Усовершенствованием [2] являются понятия левого нуля , где требуется только, чтобы z • s = z , и правого нуля , где s • z = z.
Поглощающие элементы особенно интересны для полугрупп , особенно для мультипликативной полугруппы полукольца . В случае полукольца с 0 определение поглощающего элемента иногда ослабляется, так что не требуется поглощать 0; в противном случае 0 был бы единственным поглощающим элементом. [3]
Свойства [ править ]
- Если у магмы есть и левый нуль z, и правый нуль z ′, то у нее есть ноль, поскольку z = z • z ′ = z ′ .
- В магме может быть не более одного нулевого элемента.
Примеры [ править ]
- Самый известный пример поглощающего элемента исходит из элементарной алгебры, где любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Таким образом, ноль является поглощающим элементом.
- Нуль любого кольца также является поглощающим элементом. Для элемента г кольцевого R , R = R (1 + 0) = г + г0 , так r0 = 0 , так как нуль является единственным элементом , для которого г + а = г для любого г в кольце R .
- Арифметика с плавающей запятой, как определено в стандарте IEEE-754, содержит специальное значение, называемое Not-a-Number ("NaN"). Это поглощающий элемент для каждой операции; т.е. x + NaN = NaN + x = NaN , x - NaN = NaN - x = NaN и т. д.
- Множество бинарных отношений над множеством X вместе с композицией отношений образует моноид с нулем, где нулевым элементом является пустое отношение ( пустое множество ).
- Замкнутый интервал H = [0, 1] с x • y = min ( x , y ) также является моноидом с нулем, и нулевым элементом является 0.
- Еще примеры:
| Домен | Операция | Абсорбер | ||
|---|---|---|---|---|
| Действительные числа | ⋅ | Умножение | 0 | |
| Целые числа | Наибольший общий делитель | 1 | ||
| п матрица с размерностью п квадратных матриц | Умножение матриц | Матрица всех нулей | ||
| Расширенные действительные числа | Минимум / инфимум | −∞ | ||
| Максимум / супремум | + ∞ | |||
| Наборы | ∩ | Пересечение | ∅ | Пустой набор |
| Подмножества множества M | ∪ | Союз | M | |
| Логическая логика | ∧ | Логический и | ⊥ | Ложь |
| ∨ | Логическое или | ⊤ | Правда | |
См. Также [ править ]
- Идемпотент (теория колец) - элемент x кольца такой, что x 2 = x
- Элемент идентичности
- Нулевая полугруппа
Заметки [ править ]
- ↑ JM Howie, стр. 2–3
- ^ a b М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев стр. 14–15
- ^ JS Golan стр. 67
Ссылки [ править ]
- Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Кларендон Пресс . ISBN 0-19-851194-9.
- М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, акты и категории с приложениями к сплетениям и графам , Экспозиции Де Грюйтера по математике, т. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7 .
- Голан, Джонатан С. (1999). Полукольца и их приложения . Springer. ISBN 0-7923-5786-8.
Внешние ссылки [ править ]
- Поглощающий элемент в PlanetMath
