Антисимметричный тензор

В математике и теоретической физике , тензор является антисимметричен на (или относительно ) индексном подмножество , если чередуется знак (+/-) , когда любые два индекса подгруппы является взаимозаменяемыми. ^[1]^[2] Подмножество индексов, как правило, должно быть либо полностью ковариантным, либо полностью контравариантным .

Например,

{\ displaystyle T_ {ijk \ dots} = - T_ {jik \ dots} = T_ {jki \ dots} = - T_ {kji \ dots} = T_ {kij \ dots} = - T_ {ikj \ dots}}

выполняется, когда тензор антисимметричен по своим первым трем индексам.

Если тензор меняет знак при смене каждой пары своих индексов, то тензор полностью (или полностью ) антисимметричен . Полностью антисимметричный ковариантный тензор порядка p может быть назван p- формой , а полностью антисимметричный контравариантный тензор может быть назван p- вектором .

Антисимметричные и симметричные тензоры [ править ]

Тензор A , антисимметричный по индексам i и j, обладает тем свойством, что свертка с тензором B , симметричным по индексам i и j , тождественно равна 0.

Для общего тензора U с компонентами и парой индексов i и j , U имеет симметричную и антисимметричную части, определяемые как: ${\ displaystyle U_ {ijk \ dots}}$

${\ Displaystyle U _ {(ij) k \ dots} = {\ frac {1} {2}} (U_ {ijk \ dots} + U_ {jik \ dots})}$		(симметричная часть)
${\ displaystyle U _ {[ij] k \ dots} = {\ frac {1} {2}} (U_ {ijk \ dots} -U_ {jik \ dots})}$		(антисимметричная часть).

Аналогичные определения можно дать и для других пар индексов. Как следует из термина «часть», тензор - это сумма его симметричной части и антисимметричной части для данной пары индексов, как в

{\ displaystyle U_ {ijk \ dots} = U _ {(ij) k \ dots} + U _ {[ij] k \ dots}.}

Обозначение [ править ]

Сокращенное обозначение антисимметризации обозначается парой квадратных скобок. Например, в произвольных размерах, для заказа 2 ковариантного тензора М ,

{\ displaystyle M _ {[ab]} = {\ frac {1} {2!}} (M_ {ab} -M_ {ba}),}

и для того , 3 ковариантного тензор Т ,

{\ displaystyle T _ {[abc]} = {\ frac {1} {3!}} (T_ {abc} -T_ {acb} + T_ {bca} -T_ {bac} + T_ {cab} -T_ {cba }).}

В любых 2-х и 3-х измерениях их можно записать как

{\ displaystyle M _ {[ab]} = {\ frac {1} {2!}} \, \ delta _ {ab} ^ {cd} M_ {cd},}

{\ displaystyle T _ {[abc]} = {\ frac {1} {3!}} \, \ delta _ {abc} ^ {def} T_ {def}.}

где - обобщенная дельта Кронекера , и мы используем обозначение Эйнштейна для суммирования по аналогичным индексам. $\delta _{ab\dots }^{cd\dots }$

В более общем смысле, независимо от количества измерений, антисимметризация по индексам p может быть выражена как

T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.

В общем, каждый тензор ранга 2 можно разложить на симметричную и антисимметричную пару следующим образом:

T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji})

Это разложение в общем случае неверно для тензоров ранга 3 и выше, которые имеют более сложные симметрии.

Примеры [ править ]

К полностью антисимметричным тензорам относятся:

Тривиально все скаляры и векторы (тензоры порядка 0 и 1) полностью антисимметричны (а также полностью симметричны)
Электромагнитный тензор , в электромагнетизмоме $F_{\mu \nu }$
Риманова форма объема на псевдориманов многообразии

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

^ К.Ф. Райли; М. П. Хобсон; SJ Бенце (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ Хуан Рамон Руис-Толоса; Энрике Кастильо (2005). От векторов к тензорам . Springer. п. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. раздел §7.

Ссылки [ править ]

Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.

Внешние ссылки [ править ]

Антисимметричный тензор - mathworld.wolfram.com

[1] К.Ф. Райли; М. П. Хобсон; SJ Бенце (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.

[2] Хуан Рамон Руис-Толоса; Энрике Кастильо (2005). От векторов к тензорам . Springer. п. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. раздел §7.

[1]