В математике , на пересечении теории чисел и специальных функции , постоянная апери является суммой из обратных положительных кубов . То есть определяется как число
Двоичный | 1.0011 0011 1011 1010 … |
Десятичный | 1.20205 69031 59594 2854… |
Шестнадцатеричный | 1.33BA 004F 0062 1383 … |
Непрерывная дробь | Обратите внимание, что эта цепная дробь бесконечна, но неизвестно, является ли эта цепная дробь периодической или нет. |
где ζ - дзета-функция Римана . Его приблизительное значение составляет [1]
- ζ (3) = 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … (последовательность A002117 в OEIS ).
Константа названа в честь Апери . Он естественным образом возникает в ряде физических проблем, в том числе во втором и третьем порядке гиромагнитного отношения электрона с использованием квантовой электродинамики . Он также возникает при анализе случайных минимальных остовных деревьев [2] и в сочетании с гамма-функцией при решении некоторых интегралов, включающих экспоненциальные функции в частном, которые иногда появляются в физике, например, при оценке двумерного случая модели Дебая. и закон Стефана – Больцмана .
Иррациональное число
Трансцендентна ли постоянная Апери?
ζ (3) была названа постоянной Апери в честь французского математика Роджера Апери , который в 1978 году доказал, что это иррациональное число . [3] Этот результат известен как теорема Апери . Первоначальное доказательство сложное и трудное для понимания, [4] и более простые доказательства были найдены позже. [5]
Упрощенное доказательство иррациональности Бойкерса включает аппроксимацию подынтегрального выражения известного тройного интеграла для ζ (3) ,
по полиномам Лежандра . В частности, в статье ван дер Поортена описывается этот подход, отмечая, что
где , - многочлены Лежандра , а подпоследовательности являются целыми или почти целыми числами .
До сих пор неизвестно, трансцендентна ли константа Апери .
Представления серий
Классический
Помимо основной серии:
Леонард Эйлер дал представление ряда: [6]
в 1772 году, который впоследствии неоднократно открывался заново. [7]
К другим классическим представлениям серий относятся:
Быстрая сходимость
Начиная с 19 века, ряд математиков нашли ряды ускорения сходимости для вычисления десятичных знаков ζ (3) . С 1990-х годов этот поиск был сосредоточен на вычислительно эффективных рядах с высокой скоростью сходимости (см. Раздел « Известные цифры »).
Следующее представление ряда было найдено А. А. Марковым в 1890 г. [8], повторно открыто Хьортнасом в 1953 г. [9] и вновь открыто заново и широко разрекламировано Апери в 1979 г .: [3]
Следующее представление ряда дает (асимптотически) 1,43 новых правильных десятичных разряда на член: [10]
Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,01 новых правильных десятичных разряда на член: [11]
Следующее представление ряда дает (асимптотически) 5,04 новых правильных десятичных разряда на член: [12]
Он использовался для вычисления постоянной Апери с несколькими миллионами правильных десятичных знаков. [13]
Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,92 новых правильных десятичных знака на член: [14]
Цифра за цифрой
В 1998 году Бродхерст дал представление в виде ряда, которое позволяет вычислять произвольные двоичные цифры и, таким образом, получать константу за почти линейное время и логарифмическое пространство . [15]
Другие
Рамануджан нашел следующее представление в виде ряда : [16]
Следующее представление ряда было найдено Саймоном Плаффом в 1998 году: [17]
Шривастава (2000) собрал множество рядов, которые сходятся к постоянной Апери.
Интегральные представления
Существует множество интегральных представлений для постоянной Апери. Некоторые из них простые, другие более сложные.
Простые формулы
Например, это следует из представления суммирования для постоянной Апери:
- .
Следующие два следуют непосредственно из хорошо известных интегральных формул для дзета-функции Римана :
а также
- .
Это следует из разложения Тейлора χ 3 ( e ix ) относительно x = ±π/2, где χ ν ( z ) - функция Лежандра :
Обратите внимание на сходство с
где G - постоянная Каталонии .
Более сложные формулы
Другие формулы включают: [18]
- ,
и, [19]
- ,
Смешивая эти две формулы, можно получить:
- ,
По симметрии
- ,
Суммируя оба, .
Также [20]
- .
Связь с производными гамма-функции
также очень полезен для вывода различных интегральных представлений через известные интегральные формулы для гамма- и полигамма-функций . [21]
Известные цифры
Число известных цифр постоянной Апери ζ (3) резко увеличилось за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов.
Дата | Десятичные цифры | Вычисление выполнено |
---|---|---|
1735 г. | 16 | Леонард Эйлер |
неизвестный | 16 | Адриан-Мари Лежандр |
1887 г. | 32 | Томас Джоаннес Стилтьес |
1996 г. | 520 000 | Грег Дж. Фи и Саймон Плафф |
1997 г. | 1 000 000 | Бруно Хейбле и Томас Папаниколау |
Май 1997 г. | 10 536 006 | Патрик Демишель |
Февраль 1998 г. | 14 000 074 | Себастьян Веденивски |
Март 1998 г. | 32 000 213 | Себастьян Веденивски |
Июль 1998 г. | 64 000 091 | Себастьян Веденивски |
Декабрь 1998 г. | 128 000 026 | Себастьян Веденивски [1] |
Сентябрь 2001 г. | 200 001 000 | Шигеру Кондо и Ксавье Гурдон |
Февраль 2002 г. | 600 001 000 | Шигеру Кондо и Ксавье Гурдон |
Февраль 2003 г. | 1 000 000 000 | Патрик Демишель и Ксавье Гурдон [22] |
Апрель 2006 г. | 10 000 000 000 | Сигеру Кондо и Стив Пальяруло |
21 января 2009 г. | 15 510 000 000 | Александр Дж. Йи и Раймонд Чан [23] |
15 февраля 2009 г. | 31 026 000 000 | Александр Дж. Йи и Раймонд Чан [23] |
17 сентября 2010 г. | 100 000 001 000 | Александр Дж. Йи [24] |
23 сентября 2013 г. | 200 000 001 000 | Роберт Дж. Сетти [24] |
7 августа 2015 г. | 250 000 000 000 | Рон Уоткинс [24] |
21 декабря 2015 г. | 400 000 000 000 | Дипанджан Наг [25] |
13 августа 2017 г. | 500 000 000 000 | Рон Уоткинс [24] |
26 мая, 2019 | 1 000 000 000 000 | Ян Катресс [26] |
26 июля 2020 г. | 1 200 000 000 100 | Сынмин Ким [27] [28] |
Взаимный
Обратная из z , (3) (0.8319073725807 ...) есть вероятность того, что любые три положительные целые числа , выбранные случайным образом , будут взаимно просты , в том смысле , что , как N стремится к бесконечности, вероятность того, что три положительных целыми чисел меньше , чем N выбранные равномерно случайным образом не будут иметь общий простой коэффициент, приближающийся к этому значению. (Вероятность для n натуральных чисел равна 1 / ζ (n) ) [29]
Продолжение до ζ (2 n + 1)
Многие люди пытались расширить доказательство Апери, что ζ (3) иррационально, на другие значения дзета-функции с нечетными аргументами. Бесконечно много чисел ζ (2 n + 1) должно быть иррациональным [30], и хотя бы одно из чисел ζ (5) , ζ (7) , ζ (9) и ζ (11) должно быть иррациональным. [31]
Смотрите также
- Дзета-функция Римана
- Базельская проблема - ζ (2)
- Список сумм обратных величин
Заметки
- ^ a b Веденивски (2001) .
- ^ Frieze (1985) .
- ^ а б Апери (1979) .
- ↑ van der Poorten (1979) .
- ^ Beukers (1979) ; Зудилин (2002) .
- ^ Эйлер (1773) .
- ^ Шривастава (2000) , стр. 571 (1.11).
- ^ Марков (1890) .
- ^ Hjortnaes (1953) .
- ^ Amdeberhan (1996) .
- ^ Amdeberhan & Zeilberger (1997) .
- ^ Веденивски (1998) ; Веденивски (2001) . В своем послании Саймону Плаффу Себастьян Веденивски заявляет, что он вывел эту формулу из Amdeberhan & Zeilberger (1997) . Год открытия (1998 г.) указан в Таблице рекордов Саймона Плаффа (8 апреля 2001 г.).
- ^ Веденивски (1998) ; Веденивски (2001) .
- ^ Мохаммед (2005) .
- ^ Бродхерст (1998) .
- ^ Берндт (1989 , глава 14, формулы 25.1 и 25.3).
- ^ Plouffe (1998) .
- ^ Дженсен (1895) .
- ^ Beukers (1979) .
- ^ Blagouchine (2014) .
- ^ Евграфов и др. (1969) , упражнение 30.10.1.
- ^ Gourdon & Sebah (2003) .
- ^ а б Йи (2009) .
- ^ а б в г Йи (2017) .
- ^ Наг (2015) .
- ↑ Рекорды, установленные y-cruncher , данные получены 8 июня 2019 г.
- ^ Рекорды, установленные y-cruncher , заархивированы из оригинала 2020-08-10 , получено 10 августа 2020 года
- ^ Постоянный мировой рекорд Апери от Сынмин Ким , полученный 28 июля 2020 г.
- ^ Mollin (2009) .
- ^ Rivoal (2000) .
- ^ Зудилин (2001) .
Рекомендации
- Амдеберхан, Теодрос (1996), «Более быстрый и быстрый сходящийся ряд для ζ ( 3 ) {\ displaystyle \ zeta (3)} " , El. J. Combinat. , 3 (1).
- Амдеберхан, Теодрос; Zeilberger, Doron (1997), "Ускорение гипергеометрических рядов с помощью метода WZ" , El. J. Combinat. , 4 (2), arXiv : math / 9804121 , Bibcode : 1998math ...... 4121A.
- Апери, Роджер (1979), "Irrationalité de ζ 2 {\ displaystyle \ zeta 2} et ζ 3 {\ displaystyle \ zeta 3} " , Astérisque , 61 : 11–13.
- Берндт, Брюс К. (1989), записные книжки Рамануджана, Часть II , Springer.
- Beukers, F. (1979), "Заметка об иррациональности а также », Bull Лондон Математика Soc... , 11 (3): 268-272, DOI : 10,1112 / БЛМ / 11.3.268.
- Blagouchine, Iaroslav В. (2014), "Повторное открытие интегралов Мальмстен, их оценки с помощью методов контурного интегрирования и некоторые результаты", The Рамануджана Journal , 35 (1): 21-110, DOI : 10.1007 / s11139-013-9528- 5 , S2CID 120943474.
- Бродхерст, DJ (1998), Полилогарифмические лестницы, гипергеометрические ряды и десятимиллионные цифры а также , arXiv : math.CA/9803067.
- Euler, Leonhard (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF) , Нови Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни), 17 : 173-204 , извлекаться 2008-05-18.
- Евграфов, М.А. Бежанов, К.А.; Сидоров Ю.В.; Федорюк, М.В.; Шабунин М.И. Сборник задач теории аналитических функций. М .: Наука, 1969..
- Фриз, М. (1985), "О значении случайного минимального остовного дерева проблемы", Дискретная прикладная математика , 10 (1): 47-56, DOI : 10.1016 / 0166-218X (85) 90058-7 , МР 0770868.
- Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2003), Константа Апери: ζ ( 3 ) {\ displaystyle \ zeta (3)} .
- Hjortnaes, MM (август 1953), Overføring av rekkentil et bestemt интеграл, в Proc. 12-й Скандинавский математический конгресс , Лунд, Швеция: Скандинавское математическое общество, стр. 211–213..
- Йенсен, Йохан Людвиг Вильям Вальдемар (1895), "Note numéro 245. Deuxième réponse. Ремарка родственников aux réponses du MM. Franel et Kluyver", L'Intermédiaire des Mathématiciens , II : 346–347.
- Марков, AA (1890), "Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes", Mém. De l'Acad. Imp. Sci. Де Санкт-Петербург , т. XXXVII, № 9: 18pp..
- Мохаммед, Мохамуд (2005), "Бесконечные семейства ускоренных рядов для некоторых классических констант методом Маркова-З.", Дискретная математика и теоретическая информатика , 7 : 11–24.
- Моллин, Ричард А. (2009), Расширенная теория чисел с приложениями , дискретная математика и ее приложения, CRC Press, стр. 220, ISBN 9781420083293.
- Плафф, Саймон (1998), Личности, вдохновленные записными книжками Рамануджана II.
- Rivoal, Tanguy (2000), «La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 331 (4): 267–270, arXiv : math / 0008051 , Bibcode : 2000CRASM.331..267R , DOI : 10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4 , S2CID 119678120.
- Шривастава, HM (декабрь 2000), "Некоторые семьи быстро сходящихся серии представлений для дзета - функции" (PDF) , тайваньский журнал математики , 4 (4): 569-599, DOI : 10,11650 / twjm / 1500407293 , OCLC 36978119 , извлекаться 2015-08-22.
- ван дер Поортен, Альфред (1979), "Доказательство того, что Эйлер пропустил ... Доказательство Апери иррациональности ζ ( 3 ) {\ displaystyle \ zeta (3)} " (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi : 10.1007 / BF03028234 , S2CID 121589323 , заархивировано из оригинала (PDF) на 2011-07-06.
- Веденивски, Себастьян (2001), Саймон Плафф (редактор), Ценность Зеты (3) для 1000000 мест , Проект Гутенберг (Сообщение Саймону Плаффу со всеми десятичными знаками, но более короткий текст отредактировал Саймон Плафф).
- Веденивски, Себастьян (13 декабря 1998 г.), «Ценность Зетов» (3) для 1 000 000 мест (Сообщение Саймону Плаффу с оригинальным текстом, но только с некоторыми десятичными знаками).
- Йи, Александр Дж. (2009), Большие вычисления.
- Йи, Александр Дж. (2017), Зета (3) - Константа Апери
- Наг, Дипанджан (2015), вычисленная константа Апери до 400000000000 цифр, мировой рекорд
- Зудилин, Вадим (2001), «Один из номеров , , , является иррациональным », Успехи математических наук , 56 (4): 774–776, Bibcode : 2001RuMaS..56..774Z , doi : 10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427.
- Зудилин, Вадим (2002), Элементарное доказательство теоремы Апери , arXiv : math / 0202159 , Bibcode : 2002math ...... 2159Z.
дальнейшее чтение
- Рамасвами, В. (1934), "Заметки о -функции», J. Лондон Математика Soc. , . , 9 (3): 165-169, DOI : 10.1112 / jlms / s1-9.3.165.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. , «Постоянная Апери» , MathWorld
- Постоянная Плуфа, Саймона, Зета (3) или Апери на 2000 мест
- Сетти, Роберт Дж. (2015), Константа Апери - Зета (3) - 200 миллиардов цифр , заархивировано из оригинала на 2013-10-08.
Эта статья включает материал из константы Апери на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .