Двоичная функция масс

В астрономии , в бинарной функции массового или просто функции масс является функцией , которая ограничивает массу невидимого компонента (обычно звезды или экзопланета ) в одной подкладке спектроскопического двойной звезды или в планетарной системе . Его можно рассчитать только по наблюдаемым величинам, а именно по орбитальному периоду двойной системы и максимальной лучевой скорости.наблюдаемой звезды. Скорость одного компонента двойной и орбитальный период предоставляют (ограниченную) информацию о разделении и гравитационной силе между двумя компонентами и, следовательно, о массах компонентов.

Введение [ править ]

Два тела, вращающиеся вокруг общего центра масс, обозначены красным плюсом. Более крупное тело имеет большую массу и, следовательно, меньшую орбиту и меньшую орбитальную скорость, чем его компаньон с меньшей массой.

Функция масс двойной следует из третьего закона Кеплера, когда вводится лучевая скорость одного (наблюдаемого) компонента двойной. ^[1] Третий закон Кеплера описывает движение двух тел, вращающихся вокруг общего центра масс . Он связывает орбитальный период (время, необходимое для завершения одного полного оборота) с расстоянием между двумя телами (орбитальное разделение) и суммой их масс. Для данного орбитального разноса более высокая общая масса системы подразумевает более высокие орбитальные скорости . С другой стороны, для данной массы системы более длинный орбитальный период подразумевает большее расстояние и более низкие орбитальные скорости.

Поскольку орбитальный период и орбитальные скорости в двойной системе связаны с массами компонентов двойной, измерение этих параметров дает некоторую информацию о массах одного или обоих компонентов. ^[2] Но поскольку истинная орбитальная скорость не может быть определена в целом, эта информация ограничена. ^[1]

Лучевая скорость - это составляющая орбитальной скорости на луче зрения наблюдателя. В отличие от истинной орбитальной скорости, радиальная скорость может быть определена по доплеровской спектроскопии в спектральных линиях в свете звезды, ^[3] или из вариаций времен прихода импульсов от радиопульсара . ^[4] Двойная система называется спектроскопической двойной системой с одной линией, если можно измерить радиальное движение только одного из двух компонентов двойной системы. В этом случае можно определить нижний предел массы другого (невидимого) компонента. ^[1]

Истинная масса и истинная орбитальная скорость не могут быть определены по лучевой скорости, потому что наклонение орбиты обычно неизвестно. (Наклон - это ориентация орбиты с точки зрения наблюдателя, и он связывает истинную и радиальную скорость. ^[1] ) Это вызывает вырождение между массой и наклоном. ^{[5] [6]} Например, если измеренная радиальная скорость мала, это может означать, что истинная орбитальная скорость мала (подразумевается объекты с малой массой) и наклонение высокое (орбита видна с ребра), или что истинная скорость высока (подразумевает объекты большой массы), но наклонение низкое (орбита видна лицом к лицу).

Вывод на круговую орбиту [ править ]

Кривая лучевой скорости с максимальной лучевой скоростью K = 1 м / с и периодом обращения 2 года.

Пиковая лучевая скорость - это полуамплитуда кривой лучевой скорости, как показано на рисунке. Орбитальный период определяется по периодичности кривой лучевых скоростей. Это две наблюдаемые величины, необходимые для вычисления бинарной функции масс. ^[2]${\ displaystyle K}$${\displaystyle P_{\mathrm {orb} }}$

Наблюдаемый объект, лучевая скорость которого может быть измерена, в этой статье рассматривается как объект 1, его невидимый спутник - объект 2.

Пусть и быть звездные массы, от общей массы двойной системы, и орбитальные скорости, а также и расстояние от объектов до центра масс. - большая полуось (разделение орбит) двойной системы.${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$

Мы начинаем с третьего закона Кеплера, с к орбитальной частоте и на гравитационной постоянной ,${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a^{3}.}$

Используя определение центра масс места , ^[1] , мы можем написать${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$

${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$

Подставляя это выражение для в третий закон Кеплера, находим${\displaystyle a}$

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.}$

который можно переписать на

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$

Пиковая лучевая скорость объекта 1`` зависит от наклонения орбиты (наклон 0 ° соответствует орбите, видимой лицом к лицу, наклон 90 ° соответствует орбите, наблюдаемой с ребра). Для круговой орбиты ( эксцентриситет орбиты = 0) это дается формулой ^[7]${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle K=v_{1}\mathrm {sin} i=\omega _{\mathrm {orb} }a_{1}\mathrm {sin} i.}$

После подстановки получаем${\displaystyle a_{1}}$

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\mathrm {orb} }\mathrm {sin} ^{3}i}}.}$

Бинарная функция масс (с единицей массы) равна ^{[8] [7] [2] [9] [1] [6] [10]].}${\displaystyle f}$

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$

Для оцененной или предполагаемой массы наблюдаемого объекта 1 минимальная масса может быть определена для невидимого объекта 2 путем предположения . Истинная масса зависит от наклонения орбиты. Наклона , как правило , не известно, но в каком - то степени она может быть определена из наблюдаемых затмений , ^[2] быть ограниченно из несоблюдения затмений, ^{[8] [9]} или быть смоделирован с использованием эллипсоидальных вариаций (не-сферическая форма звезды в двойной системе приводит к изменениям яркости в течение орбиты, которые зависят от наклона системы). ^[11]${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$${\displaystyle i=90^{\circ }}$${\displaystyle M_{2}}$

Ограничения [ править ]

В случае (например, когда невидимым объектом является экзопланета ^[8] ) функция масс упрощается до${\displaystyle M_{1}\gg M_{2}}$

${\displaystyle f\approx {\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{M_{1}^{2}}}.}$

В другой крайности, когда (например, когда невидимый объект является черной дырой большой массы ), функция масс принимает вид ^[2]${\displaystyle M_{1}\ll M_{2}}$

${\displaystyle f\approx M_{2}\ \mathrm {sin} ^{3}i,}$

и поскольку для , функция масс дает нижний предел массы невидимого объекта 2. ^[6]${\displaystyle 0\leq \sin(i)\leq 1}$${\displaystyle 0^{\circ }\leq i\leq 90^{\circ }}$

В общем, для любого или ,${\displaystyle i}$${\displaystyle M_{1}}$

${\displaystyle M_{2}>\mathrm {max} \left(f,f^{1/3}M_{1}^{2/3}\right).}$

Эксцентрическая орбита [ править ]

На орбите с эксцентриситетом функция масс определяется формулой ^{[7] [12]}${\displaystyle e}$

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}(1-e^{2})^{3/2}.}$

Приложения [ править ]

Рентгеновские двойные файлы [ править ]

Если аккретор в рентгеновской двойной системе имеет минимальную массу, значительно превышающую предел Толмена – Оппенгеймера – Волкова (максимально возможную массу для нейтронной звезды ), ожидается, что это будет черная дыра. Так обстоит дело , например, с Лебедем X-1 , где была измерена лучевая скорость звезды-компаньона. ^{[13] [14]}

Экзопланеты [ править ]

Экзопланета вызывает его хозяин звезду двигаться в маленькой орбите вокруг центра масс системы звезды планеты. Это «колебание» можно наблюдать, если лучевая скорость звезды достаточно высока. Это метод обнаружения экзопланет с помощью лучевых скоростей . ^{[5] [3]} Используя функцию масс и лучевую скорость родительской звезды, можно определить минимальную массу экзопланеты. ^{[15] [16] : 9 [12] [17]} Применение этого метода к Проксиме Центавра , ближайшей к Солнечной системе звезде, привело к открытию Проксимы Центавра b , планеты земной группы с минимальной массой 1,27. M _⊕ . ^[18]

Планеты-пульсары [ править ]

Планеты- пульсары - это планеты, вращающиеся вокруг пульсаров , и некоторые из них были обнаружены с помощью измерения времени пульсара . Изменения лучевой скорости пульсара следуют из изменяющихся интервалов между временами прихода импульсов. ^[4] Первые экзопланеты были открыты таким образом в 1992 году около миллисекундного пульсара PSR 1257 + 12 . ^[19] Другим примером является PSR J1719-1438 , миллисекундный пульсар, чей компаньон, PSR J1719-1438 b , имеет минимальную массу, приблизительно равную массе Юпитера , согласно функции масс. ^[8]

Ссылки [ править ]