Парадокс мальчика или девочки

Парадокс Мальчик или девочка окружает множество вопросов в теории вероятностей , которые также известны как The Two проблемы детей , ^[1] Г - н Смит Дети ^[2] и миссис Смит Проблема . Первоначальная формулировка вопроса восходит как минимум к 1959 году, когда  Мартин Гарднер  представил ее в октябрьском 1959 году в колонке « Математические игры » в журнале Scientific American . Он назвал ее «Проблема двух детей» и сформулировал парадокс следующим образом:

• У мистера Джонса двое детей. Старший ребенок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки?
• У мистера Смита двое детей. По крайней мере, один из них - мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка мальчики?

Гарднер изначально дал ответы 1/2 и 1/3соответственно, но позже признал, что второй вопрос был неоднозначным. ^[1] Его ответ может быть1/2, в зависимости от того, какая информация была доступна помимо этого, только один ребенок был мальчиком. Двусмысленность, зависящая от точной формулировки и возможных предположений, была подтверждена Бар-Хиллелем и Фальком ^[3] и Никерсоном. ^[4]

Другие варианты этого вопроса, с различной степенью неопределенности, которые были популяризировал проси Мэрилин в Parade Magazine , ^[5] Джон Тирни из The New York Times , ^[6] и Млодинов в Аллее пьяницы . ^[7] Одно научное исследование показало, что при передаче идентичной информации, но с разными частично неоднозначными формулировками, подчеркивающими разные моменты, процент студентов MBA , ответивших1/2изменилось с 85% до 39%. ^[2]

Парадокс вызвал много споров. ^[4] Многие ^{[ кто? ]} решительно выступал за обе стороны с большой уверенностью, иногда проявляя пренебрежение к тем, кто придерживался противоположной точки зрения ^{[ необходима цитата ]} . Парадокс проистекает из того, схожа ли постановка задачи для двух вопросов. ^{[2] [7]} Интуитивно понятный ответ:1/2. ^[2] Этот ответ интуитивно понятен, если вопрос заставляет читателя поверить в то, что существуют две равновероятные возможности для пола второго ребенка (например, мальчика и девочки), ^{[2] [8]} и что вероятность этих результатов является абсолютным, а не условным . ^[9]

Общие предположения [ править ]

Два возможных ответа разделяют ряд предположений. Во-первых, предполагается, что пространство всех возможных событий может быть легко перечислено, обеспечивая расширенное определение результатов: {BB, BG, GB, GG}. ^[10] Это обозначение указывает на то, что существует четыре возможных комбинации детей, обозначающих мальчиков B и девочек G и использующих первую букву для обозначения старшего ребенка. Во-вторых, предполагается, что эти исходы равновероятны. ^[10] Это означает следующую модель , процесс Бернулли с p  = 1/2:

1. Каждый ребенок может быть мужчиной или женщиной.
2. Каждый ребенок имеет одинаковые шансы стать мужчиной и женщиной.
3. Пол каждого ребенка не зависит от пола другого.

Математический результат был бы таким же, если бы он был сформулирован в терминах подбрасывания монеты .

Первый вопрос [ править ]

• У мистера Джонса двое детей. Старший ребенок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки?

При сделанных предположениях в этой задаче выбирается случайное семейство. В этом пространстве примеров есть четыре равновероятных события:

Старший ребенок	Младший ребенок
Девочка	Девочка
Девочка	Мальчик
Мальчик	Девочка
Мальчик	Мальчик

Только два из этих возможных событий соответствуют критериям, указанным в вопросе (например, GG, GB). Поскольку обе из двух возможностей в новом пространстве выборки {GG, GB} равновероятны, и только одна из двух, GG, включает двух девочек, вероятность того, что младший ребенок также является девочкой, составляет1/2.

Второй вопрос [ править ]

• У мистера Смита двое детей. По крайней мере, один из них - мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка мальчики?

Этот вопрос идентичен первому, за исключением того, что вместо указания того, что старший ребенок - мальчик, уточняется, что по крайней мере один из них - мальчик. В ответ на критику читателей вопроса, поставленного в 1959 году, Гарднер согласился с тем, что точная формулировка вопроса имеет решающее значение для получения разных ответов на вопросы 1 и 2. В частности, Гарднер утверждал, что «неспособность указать процедуру рандомизации» может привести читателей интерпретировать вопрос двумя разными способами:

• Из всех семей с двумя детьми, хотя бы один из которых - мальчик, случайным образом выбирается семья. Это даст ответ1/3.
• Из всех семей с двумя детьми случайным образом выбирается один ребенок, и пол этого ребенка указывается мальчиком. Это даст ответ1/2. ^{[3] [4]}

Гринстед и Снелл утверждают, что вопрос неоднозначен во многом так же, как и Гарднер. ^[11]

Например, если наблюдатель видит детей в саду, он может увидеть мальчика. Другой ребенок может быть спрятан за деревом. В этом случае утверждение эквивалентно второму (ребенок, который может видеть наблюдатель, - мальчик). Первое утверждение не совпадает, так как один случай - это один мальчик, одна девочка. Тогда девушка может быть видна. (Первое утверждение говорит, что это может быть и то, и другое.)

Хотя, безусловно, верно, что у каждого возможного мистера Смита есть хотя бы один мальчик (т. Е. Условие необходимо), не ясно, что каждый мистер Смит имеет хотя бы одного мальчика. То есть в постановке задачи не говорится, что наличие мальчика является достаточным условием для того, чтобы мистер Смит мог идентифицироваться как имеющий мальчика таким образом.

Комментируя версию проблемы Гарднера, Бар-Хиллель и Фальк ^[3] отмечают, что «мистер Смит, в отличие от читателя, предположительно знает пол обоих своих детей, когда делает это утверждение», т.е. дети, и по крайней мере один из них - мальчик ». Если далее предположить, что г-н Смит сообщил бы об этом факте, если бы он был правдой, и промолчал бы в противном случае, то правильный ответ будет1/3 как и предполагал Гарднер.

Анализ неоднозначности [ править ]

Если предположить, что эта информация была получена, глядя на обоих детей, чтобы увидеть, есть ли там хотя бы один мальчик, то это условие является необходимым и достаточным. Три из четырех равновероятных событий для семьи с двумя детьми в приведенной выше выборке соответствуют условию, как показано в этой таблице:

Старший ребенок	Младший ребенок
Девочка	Девочка
Девочка	Мальчик
Мальчик	Девочка
Мальчик	Мальчик

Таким образом, если предположить, что при поиске мальчика учитывались оба ребенка, ответ на вопрос 2 будет следующим: 1/3. Однако, если сначала была выбрана семья, а затем было сделано случайное верное утверждение о поле одного ребенка в этой семье, независимо от того, учитывались ли оба ребенка, правильный способ расчета условной вероятности - не подсчитывать все случаи. включая ребенка этого пола. Вместо этого следует учитывать только вероятности того, что утверждение будет сделано в каждом случае. ^[11] Итак, если ALOB представляет событие, в котором утверждение - «по крайней мере, один мальчик», а ALOG представляет событие, где утверждение - «по крайней мере, одна девочка», то эта таблица описывает примерное пространство:

Старший ребенок	Младший ребенок	П (эта семья)	P (ALOB для этой семьи)	P (ALOG для этой семьи)	П (ALOB и эта семья)	P (ALOG и это семейство)
Девочка	Девочка	1/4	0	1	0	1/4
Девочка	Мальчик	1/4	1/2	1/2	1/8	1/8
Мальчик	Девочка	1/4	1/2	1/2	1/8	1/8
Мальчик	Мальчик	1/4	1	0	1/4	0

Таким образом, если хотя бы один из них мальчик, когда факт выбран случайным образом, вероятность того, что оба мальчика, равна

${\ displaystyle \ mathrm {\ frac {P (ALOB \; и \; BB)} {P (ALOB)}} = {\ frac {\ frac {1} {4}} {0 + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {4}}}} = {\ frac {1} {2}} \ ,.}$

Парадокс возникает, когда неизвестно, как было создано утверждение «по крайней мере, один - мальчик». Любой ответ может быть правильным, исходя из предположений. ^[12]

Тем не менее "1/3"ответ получается только при условии, что P (ALOB | BG) = P (ALOB | GB) = 1, из чего следует, что P (ALOG | BG) = P (ALOG | GB) = 0, то есть пол другого ребенка никогда не Однако, как говорят Маркс и Смит, «это крайнее предположение никогда не включается в представление проблемы двух детей, и уж точно не то, что люди имеют в виду, когда представляют ее» ^[12].

Моделирование генеративного процесса [ править ]

Другой способ проанализировать неоднозначность (для вопроса 2) - сделать явным порождающий процесс (все розыгрыши независимы).

• К ответу приводит следующий процесс :${\ displaystyle p (c_ {1} = c_ {2} = B | \ mathrm {Observation}) = {\ frac {1} {3}}}$
  • Рисовать равновероятно из${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle \ {B, G \}}$
  • Рисовать равновероятно из${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle \ {B, G \}}$
  • Отбросить случаи, когда нет B
  • Наблюдать ${\ Displaystyle c_ {1} = B \ клин c_ {2} = B}$
• К ответу приводит следующий процесс :${\ Displaystyle p (c_ {1} = c_ {2} = B | \ mathrm {Наблюдение}) = {\ frac {1} {2}}}$
  • Рисовать равновероятно из${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle \ {B, G \}}$
  • Рисовать равновероятно из${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle \ {B, G \}}$
  • Индекс рисования равновероятно из${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ {1,2 \}}$
  • Наблюдать ${\ displaystyle c_ {i} = B}$

Байесовский анализ [ править ]

Следуя классическим вероятностным аргументам, рассмотрим большую урну, в которой находятся двое детей. Мы предполагаем равную вероятность того, что это мальчик или девочка. Таким образом, можно выделить три очевидных случая: 1. обе девочки (GG) - с вероятностью P (GG) =1/4, 2. оба мальчики (BB) - с вероятностью P (BB) = 1/4, и 3. по одному каждого (G · B) - с вероятностью P (G · B) = 1/2. Это априорные вероятности.

Теперь мы добавляем дополнительное предположение, что «хотя бы один мальчик» = B. Используя теорему Байеса , находим

${\ Displaystyle \ mathrm {P (BB \ mid B)} = \ mathrm {P (B \ mid BB) \ times {\ frac {P (BB)} {P (B)}}} = 1 \ times {\ frac {\ left ({\ frac {1} {4}} \ right)} {\ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} = {\ frac {1} {3}} \ ,.}$

где P (A | B) означает «вероятность A для данного B». P (B | BB) = вероятность того, что по крайней мере один мальчик будут мальчиками = 1. P (BB) = вероятность того, что оба мальчика =1/4из предыдущего распределения. P (B) = вероятность того, что по крайней мере один из них будет мальчиком, включая случаи BB и G · B =1/4 + 1/2 знак равно 3/4.

Обратите внимание, что, хотя естественное предположение кажется вероятностью 1/2, поэтому производное значение 1/3 кажется низким, фактическое "нормальное" значение P (BB) составляет 1/4, Итак 1/3на самом деле немного выше .

Парадокс возникает из-за того, что второе предположение несколько искусственно, и при описании проблемы в реальных условиях все становится немного липким. Но как мы узнаем, что «по крайней мере» один мальчик? В одном описании проблемы говорится, что мы смотрим в окно и видим только одного ребенка, и это мальчик. Это похоже на то же предположение. Однако это эквивалентно "выборке" распределения (т.е. удалению одного ребенка из урны, проверке того, что это мальчик, а затем замене). Назовем высказывание «образец - мальчик» предложением «б». Теперь у нас есть:

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid b)} =\mathrm {P(b\mid BB)\times {\frac {P(BB)}{P(b)}}} =1\times {\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}\,.}$

Разница здесь в P (b), который представляет собой просто вероятность нарисовать мальчика из всех возможных случаев (то есть без «по крайней мере»), что явно 1/2.

Байесовский анализ легко обобщается на случай, когда мы ослабляем предположение о численности населения 50:50. Если у нас нет информации о популяциях, мы предполагаем «плоскую априорность», то есть P (GG) = P (BB) = P (G · B) =1/3. В этом случае предположение «по крайней мере» дает результат P (BB | B) =1/2, и предположение о выборке дает P (BB | b) = 2/3, результат также вытекает из правила преемственности .

Анализ мартингейла [ править ]

Предположим, кто-то поспорил, что у мистера Смита двое мальчиков, и получил хорошие шансы. Один платит 1 доллар, и они получат 4 доллара, если у него будет два мальчика. Их ставка будет расти по мере поступления хороших новостей. Какие доказательства сделают их более счастливыми в отношении своих инвестиций? Узнав, что хотя бы один ребенок из двух - мальчик, или узнал, что хотя бы один ребенок из одного - мальчик?

Последнее априори менее вероятно, а значит, лучше. Вот почему два ответа не могут быть одинаковыми.

Теперь о цифрах. Если мы сделаем ставку на одного ребенка и выиграем, ценность их инвестиций удвоится. Чтобы получить 4 доллара, он должен снова удвоиться, так что шансы - 1 из 2.

С другой стороны, если кто-то узнает, что хотя бы один из двух детей - мальчик, инвестиции увеличиваются, как если бы они сделали ставку на этот вопрос. Наш 1 доллар теперь стоит 1 доллар+1/3. Чтобы получить 4 доллара, нам еще нужно увеличить свое богатство втрое. Итак, ответ - 1 из 3.

Варианты вопроса [ править ]

После популяризации парадокса Гарднером он был представлен и обсужден в различных формах. Первый вариант, представленный Bar-Hillel & Falk ^[3] , сформулирован следующим образом:

• Мистер Смит - отец двоих детей. Мы встречаем его гуляющим по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представляет как своего сына. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик?

Бар-Хиллель и Фальк используют этот вариант, чтобы подчеркнуть важность учета основных допущений. Интуитивно понятный ответ:1/2и, делая самые естественные предположения, это правильно. Однако кто-то может возразить, что «… до того, как г-н Смит идентифицирует мальчика как своего сына, мы знаем только то, что он является отцом двух мальчиков, BB, или двух девочек, GG, или по одному из каждого в любой последовательности рождения , то есть BG или GB. Предполагая снова независимость и равновероятность, мы начинаем с вероятности1/4что Смит - отец двух мальчиков. Обнаружение, что у него есть хотя бы один мальчик, исключает событие GG. Поскольку остальные три события были равновероятными, получаем вероятность1/3для BB ». ^[3]

Естественное предположение состоит в том, что мистер Смит выбрал ребенка-компаньона наугад. Если это так, так как комбинация BB имеет в два раза большую вероятность того, что BG или GB привела к появлению мальчика-компаньона (а комбинация GG имеет нулевую вероятность, что исключает ее), объединение событий BG и GB становится равновероятным с событием BB, и так что шанс, что второй ребенок тоже мальчик,1/2. Однако Бар-Гилель и Фальк предлагают альтернативный сценарий. Они представляют себе культуру, в которой мальчиков неизменно выбирают в качестве компаньонов, а не девочек. В этом случае предполагается, что комбинации BB, BG и GB с равной вероятностью привели к появлению мальчика-компаньона по ходьбе, и, таким образом, вероятность того, что другой ребенок также является мальчиком,1/3.

В 1991 году Мэрилин вос Савант ответила читателю, который попросил ее ответить на вариант парадокса мальчика или девочки, который включал гончих. ^[5] В 1996 году она снова опубликовала вопрос в другой форме. Вопросы 1991 и 1996 годов, соответственно, были сформулированы так:

• Владелец магазина говорит, что у нее есть два новых детеныша гончих, чтобы показать вам, но она не знает, самец они, самка или пара. Вы говорите ей, что хотите только мужчину, и она звонит тому парню, который купает их. "По крайней мере, один мужчина?" - спрашивает она его. "Да!" она сообщает вам с улыбкой. Какова вероятность того, что второй мужчина?
• Предположим, что у женщины и мужчины (не состоящих в родстве) по двое детей. Мы знаем, что по крайней мере один из детей женщины - мальчик, а старший ребенок мужчины - мальчик. Можете ли вы объяснить, почему шансы на то, что у женщины два мальчика, не равны шансам на то, что у мужчины двое мальчиков?

Что касается второй формулировки, Вос Савант дал классический ответ, что шансы, что у женщины будет два мальчика, примерно 1/3 тогда как шансы, что у мужчины двое мальчиков, примерно 1/2. В ответ на ответ читателя, который подверг сомнению ее анализ, vos Savant провел опрос читателей, имеющих ровно двух детей, по крайней мере, один из которых - мальчик. Из 17 946 ответов 35,9% сообщили о двух мальчиках. ^[10]

Статьи Вос Саванта обсуждались Карлтоном и Стэнсфилдом ^[10] в статье 2005 года в The American Statistician . Авторы не обсуждают возможную двусмысленность вопроса и приходят к выводу, что ее ответ верен с математической точки зрения, учитывая предположения, что вероятность того, что ребенок будет мальчиком или девочкой, одинакова, и что пол второго ребенка не зависит. из первых. Что касается ее опроса, они говорят, что он «по крайней мере подтверждает правильное утверждение Вос Савант о том, что« шансы », поставленные в первоначальном вопросе, хотя и звучат одинаково, но разные, и что первая вероятность определенно ближе к 1 из 3, чем к 1 через 2. "

Карлтон и Стэнсфилд продолжают обсуждать общие допущения парадокса мальчика и девочки. Они демонстрируют, что в действительности дети мужского пола на самом деле более вероятны, чем дети женского пола, и что пол второго ребенка не зависит от пола первого. Авторы приходят к выводу, что, хотя предположения вопроса противоречат наблюдениям, парадокс все же имеет педагогическое значение, поскольку он «иллюстрирует одно из наиболее интригующих приложений условной вероятности». ^[10] Конечно, фактические значения вероятности не имеют значения; цель парадокса - продемонстрировать кажущуюся противоречивой логику, а не фактическую рождаемость.

Информация о ребенке [ править ]

Предположим, нам сказали не только, что у мистера Смита двое детей, и один из них - мальчик, но и что мальчик родился во вторник: меняет ли это предыдущий анализ? Опять же, ответ зависит от того, как эта информация была представлена ​​- какой процесс отбора позволил получить эти знания.

Следуя традиции задачи, предположим, что в популяции семей с двумя детьми пол двух детей не зависит друг от друга, с равной вероятностью мальчик или девочка, и что дата рождения каждого ребенка не зависит от другого ребенка. . Шанс родиться в любой день недели равен1/7.

Из теоремы Байеса о том, что вероятность рождения двух мальчиков, учитывая, что один мальчик родился во вторник, определяется как:

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T})={\frac {P(B_{T}\mid BB)\times P(BB)}{P(B_{T})}}} }$

Предположим, что вероятность родиться во вторник равна ε  = 1/7который будет установлен после получения общего решения. Второй множитель в числителе просто1/4, вероятность иметь двух мальчиков. Первый член числителя - это вероятность того, что во вторник родится хотя бы один мальчик, при условии, что в семье два мальчика, или 1 - (1 - ε ) ² (один минус вероятность того, что ни один мальчик не родится во вторник). Для знаменателя, разложим: . Каждый член взвешивается с вероятностью${\displaystyle \mathrm {P(B_{T})=P(B_{T}\mid BB)P(BB)+P(B_{T}\mid BG)P(BG)+P(B_{T}\mid GB)P(GB)+P(B_{T}\mid GG)P(GG)} }$1/4. Первый член уже известен по предыдущему замечанию, последний член - 0 (мальчиков нет). и является ε , существует один и только один мальчик, что у него есть шанс е родиться во вторник. Следовательно, полное уравнение:${\displaystyle P(B_{T}\mid BG)}$${\displaystyle P(B_{T}\mid GB)}$

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T})} ={\frac {\left(1-(1-\varepsilon )^{2}\right)\times {\frac {1}{4}}}{0+{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\left(\varepsilon +\varepsilon -\varepsilon ^{2}\right)}}={\frac {1-(1-\varepsilon )^{2}}{4\varepsilon -\varepsilon ^{2}}}}$

Ибо это сводится к${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T})} ={\frac {2-\varepsilon }{4-\varepsilon }}}$

Если теперь установить ε на1/7вероятность становится 13/27, или около 0,48. Фактически, когда ε приближается к 0, полная вероятность становится равной1/2, что является ожидаемым ответом, когда выбирается один ребенок (например, самый старший ребенок - мальчик) и, таким образом, удаляется из пула возможных детей. Другими словами, по мере того как появляется все больше и больше подробностей о мальчике (например, родился 1 января), вероятность того, что другой ребенок - девочка, приближается к половине.

Кажется, что была представлена ​​совершенно не относящаяся к делу информация, однако вероятность пола другого ребенка резко изменилась по сравнению с тем, что было раньше (вероятность того, что другим ребенком была девочка, была 2/3, когда не было известно, что мальчик родился во вторник).

Чтобы понять, почему это так, представьте, что в ходе опроса читателей Мэрилин вос Савант спросили, в какой день недели в семье рождаются мальчики. Если Мэрилин затем разделит весь набор данных на семь групп - по одной на каждый день недели, когда родился сын, - шесть из семи семей с двумя мальчиками будут учтены в двух группах (группа для дня недели рождения мальчика. 1 и группа дня недели рождения для мальчика 2), удваивая в каждой группе вероятность комбинации мальчик-мальчик.

Однако действительно ли возможно, что семья, в которой хотя бы один мальчик родился во вторник, образовалась путем случайного выбора только одной из таких семей? Намного проще представить следующий сценарий.

• Мы знаем, что у мистера Смита двое детей. Мы стучимся в его дверь, и приходит мальчик и открывает дверь. Спрашиваем мальчика, в какой день недели он родился.

Предположим, что кто из двух детей откроет дверь, определено случайно. Затем процедура заключалась в следующем: ( 1 ) случайным образом выбрать семью с двумя детьми из всех семей с двумя детьми ( 2 ) выбрать случайным образом одного из двух детей, ( 3 ) посмотреть, мальчик ли это, и спросить, в какой день он родился. . Вероятность того, что другим ребенком будет девочка,1/2. Эта процедура сильно отличается от ( 1 ) случайного выбора семьи с двумя детьми из всех семей с двумя детьми, по крайней мере, одним мальчиком, родившимся во вторник. Вероятность того, что семья состоит из мальчика и девочки,14/27, около 0,52.

Этот вариант проблемы мальчика и девочки обсуждается во многих интернет-блогах и является темой статьи Румы Фальк. ^[13] Мораль этой истории заключается в том, что эти вероятности зависят не только от известной информации, но и от того, как эта информация была получена.

Психологическое расследование [ править ]

С позиций статистического анализа соответствующий вопрос часто бывает двусмысленным, и поэтому на него нет «правильного» ответа. Однако этим не исчерпывается парадокс мальчика или девочки, поскольку не обязательно двусмысленность объясняет, как выводится интуитивная вероятность. Опрос, подобный опросу vos Savant's, предполагает, что большинство людей понимают проблему Гарднера, и если бы они были последовательны, они бы пришли к1/3 вероятностный ответ, но в подавляющем большинстве люди интуитивно приходят к 1/2вероятностный ответ. Несмотря на двусмысленность, это делает проблему интересной для исследователей-психологов, которые стремятся понять, как люди оценивают вероятность.

Fox и Levav (2004) использовали эту проблему (названную проблемой мистера Смита , приписанной Гарднеру, но сформулированной не так, как версия Гарднера) для проверки теорий того, как люди оценивают условные вероятности. ^[2] В этом исследовании парадокс был представлен участникам двумя способами:

• «Мистер Смит говорит:« У меня двое детей, и по крайней мере один из них - мальчик ». Учитывая эту информацию, какова вероятность того, что второй ребенок - мальчик? "
• «Мистер Смит говорит:« У меня двое детей, и это не тот случай, чтобы они обе девочки ». Учитывая эту информацию, какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики? "

Авторы утверждают, что первая формулировка создает у читателя ошибочное впечатление, что есть два возможных исхода для «другого ребенка» ^[2], тогда как вторая формулировка дает читателю впечатление, что существует четыре возможных исхода, один из которых был отклонено (в результате1/3вероятность того, что оба ребенка будут мальчиками, поскольку остается 3 возможных исхода, только один из которых - оба ребенка - мальчики). Исследование показало, что 85% участников ответили1/2для первого состава, в то время как только 39% ответили на второй состав. Авторы утверждали, что причина, по которой люди по-разному отвечают на каждый вопрос (наряду с другими подобными проблемами, такими как проблема Монти Холла и парадокс ящика Бертрана ), заключается в использовании наивных эвристик, которые не могут должным образом определить количество возможных результатов. ^[2]

См. Также [ править ]

• Парадокс Бертрана (вероятность)
• Проблема Монти Холла
• Галстук парадокс
• Проблема Спящей красавицы
• Петербургский парадокс
• Проблема с двумя конвертами

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Мальчик или девочка: две интерпретации
• По крайней мере, одна девушка на MathPages
• Проблема с двумя медвежатами
• Проблема подушки Льюиса Кэрролла
• Когда интуиция и математика, вероятно, выглядят неправильно
• [1]