Броуновское движение

Двумерное случайное блуждание адатома серебра по поверхности Ag (111) ^[1]

Это моделирование броуновского движения 5 частиц (желтого цвета), которые сталкиваются с большим набором из 800 частиц. Желтые частицы оставляют 5 синих следов случайного движения, одна из которых имеет красный вектор скорости.

Это моделирование броуновского движения большой частицы (частицы пыли), которая сталкивается с большим набором более мелких частиц (молекул газа), которые движутся с разными скоростями в разных случайных направлениях.

Броуновское движение или педезис (от древнегреческого : πήδησις / pɛ̌ːdɛːsis / «прыжок») - это случайное движение частиц, взвешенных в среде ( жидкости или газе ). ^[2]

Этот паттерн движения обычно состоит из случайных колебаний положения частицы внутри подобласти жидкости с последующим перемещением в другую подобласть. Каждое перемещение сопровождается новыми колебаниями в новом закрытом объеме. Этот паттерн описывает жидкость в тепловом равновесии , определяемом заданной температурой . В такой жидкости не существует предпочтительного направления потока (как в явлениях переноса ). Более конкретно, общие линейный и угловой моменты жидкости остаются нулевыми с течением времени. В кинетической энергииброуновских движений молекул, вместе с вращениями и колебаниями молекул, суммируются с калорической составляющей внутренней энергии жидкости ( теорема о равнораспределении ).

Это движение названо в честь ботаника Роберта Брауна , который впервые описал это явление в 1827 году, рассматривая в микроскоп пыльцу растения Clarkia pulchella, погруженную в воду. В 1905 году, почти восемьдесят лет спустя, физик-теоретик Альберт Эйнштейн опубликовал статью, в которой смоделировал движение частиц пыльцы как движущихся отдельными молекулами воды, сделав один из своих первых крупных научных вкладов. ^[3] Это объяснение броуновского движения послужило убедительным доказательством существования атомов и молекул и было дополнительно подтверждено экспериментально Жаном Перреном в 1908 году. Перрен был удостоен Нобелевской премии по физике.в 1926 г. «за работу о разрывной структуре вещества». ^[4] Направление силы атомной бомбардировки постоянно меняется, и в разное время частица получает больше ударов с одной стороны, чем с другой, что приводит к кажущемуся случайному характеру движения.

В взаимодействии многих тел , которые дают броуновский образец не может быть решено с помощью модели учета для каждой вовлеченной молекулы. Следовательно, для его описания можно использовать только вероятностные модели, применяемые к молекулярным популяциям . Две такие модели статистической механики , созданные Эйнштейном и Смолуховским, представлены ниже. Другой, чисто вероятностный класс моделей - это класс моделей случайных процессов . Существуют последовательности как более простых, так и более сложных случайных процессов, которые сходятся (в пределе ) к броуновскому движению (см. Случайное блуждание и теорему Донскера ). ^{[5] [6]}

История [ править ]

Научная поэма римского философа-поэта Лукреция « О природе вещей » (около 60 г. до н.э.) содержит замечательное описание движения частиц пыли в стихах 113–140 из Книги II. Он использует это как доказательство существования атомов:

Посмотрите, что происходит, когда солнечные лучи попадают в здание и проливают свет на его темные места. Вы увидите множество крошечных частиц, смешивающихся множеством способов ... их танец является фактическим указанием основных движений материи, которые скрыты от нашего взора ... Это происходит от атомов, которые движутся сами по себе [т. Е. Спонтанно ]. Затем те маленькие составные тела, которые меньше всего удалены от импульса атомов, приводятся в движение ударом их невидимых ударов и, в свою очередь, пушкой по чуть более крупным телам. Таким образом, движение поднимается вверх от атомов и постепенно выходит на уровень наших чувств, так что эти тела находятся в движении, которое мы видим в солнечных лучах, движимые ударами, которые остаются невидимыми.

Хотя смешанное движение пылевых частиц вызвано в основном потоками воздуха, сверкающее, падающее движение мелких пылевых частиц вызвано главным образом истинной броуновской динамикой; Лукреций «прекрасно описывает и объясняет броуновское движение на неверном примере». ^[8]

В то время как Ян Ингенхауз описал нерегулярное движение частиц угольной пыли на поверхности спирта в 1785 году, открытие этого явления часто приписывают ботанику Роберту Брауну в 1827 году. Браун изучал пыльцевые зерна растения Clarkia pulchella, взвешенные в воде под водой. под микроскопом, когда он наблюдал мельчайшие частицы, выбрасываемые пыльцевыми зернами, совершая нервное движение. Повторив эксперимент с частицами неорганической материи, он смог исключить, что движение было связано с жизнью, хотя его происхождение еще не было объяснено.

Первым, кто описал математику, лежащую в основе броуновского движения, был Торвальд Н. Тиле в статье о методе наименьших квадратов, опубликованной в 1880 году. За этим независимо последовал Луи Башелье в 1900 году в его докторской диссертации «Теория спекуляции», в которой он представил стохастический анализ фондовых и опционных рынков. Модель броуновского движения фондового рынка часто цитируется, но Бенуа Мандельброт отверг ее применимость к движениям цен акций отчасти потому, что они прерывистые. ^[9]

Альберт Эйнштейн (в одной из своих статей 1905 года ) и Мариан Смолуховский (1906) привлекли внимание физиков к решению проблемы и представили его как способ косвенного подтверждения существования атомов и молекул. Их уравнения, описывающие броуновское движение, впоследствии были проверены экспериментальной работой Жана Батиста Перрена в 1908 году.

Теории статистической механики [ править ]

Теория Эйнштейна [ править ]

Теория Эйнштейна состоит из двух частей: первая часть состоит из формулировки уравнения диффузии для броуновских частиц, в котором коэффициент диффузии связан со средним квадратом смещения броуновской частицы, а вторая часть состоит в соотношении коэффициента диффузии к измеримым физическим величинам. ^[10] Таким образом Эйнштейн смог определить размер атомов и количество атомов в моль, или молекулярную массу в граммах газа. ^[11] В соответствии с законом Авогадро этот объем одинаков для всех идеальных газов и составляет 22,414 литра при стандартной температуре и давлении. Число атомов, содержащихся в этом объеме, называется числом Авогадро., и определение этого числа равносильно знанию массы атома, поскольку последняя получается делением массы моля газа на постоянную Авогадро .

Первая часть аргумента Эйнштейна заключалась в том, чтобы определить, как далеко броуновская частица перемещается в заданный интервал времени. ^[3] Классическая механика не может определить это расстояние из-за огромного количества бомбардировок, которым подвергнется броуновская частица, примерно порядка 10 ¹⁴ столкновений в секунду. ^[2]

Он считал приращение позиции частиц во времени в одномерном ( х ) пространства (с координатами выбраны так , что начало координат лежит в начальном положении частицы) в качестве случайной величины ( ) с некоторой функцией плотности вероятности (то есть, является вероятность скачка величины , например, от до ). Далее, предполагая сохранение числа частиц, он расширил плотность (число частиц в единице объема) во времени в ряд Тейлора,${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ varphi (\ Delta)}$${\ displaystyle \ varphi (\ Delta)}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x + \ Delta}$${\ Displaystyle т + \ тау}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta =\mathbb {E} _{\Delta }[\rho (x+\Delta ,t)]\\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}$

где второе равенство в первой строке по определению . Интеграл в первом члене равен единице по определению вероятности, а второй и другие четные члены (т.е. первый и другие нечетные моменты) исчезают из-за пространственной симметрии. То, что осталось, порождает следующее соотношение:${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{higher-order even moments.}}}$

Где коэффициент после лапласиана, второй момент вероятности смещения , интерпретируется как коэффициент диффузии массы D :${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta .}$

Тогда плотность броуновских частиц ρ в точке x в момент времени t удовлетворяет уравнению диффузии :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$

Предполагая, что N частиц стартуют из начала координат в начальный момент времени t = 0, уравнение диффузии имеет решение

${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}$

Это выражение (которое представляет собой нормальное распределение со средним значением и дисперсией, обычно называемое броуновским движением ) позволило Эйнштейну вычислить моменты напрямую. Видно, что первый момент исчезает, а это означает, что броуновская частица с одинаковой вероятностью движется влево и вправо. Второй момент, однако, не исчезает, он задается${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$${\displaystyle B_{t}}$

${\displaystyle {\overline {x^{2}}}=2\,D\,t.}$

Это уравнение выражает среднеквадратичное смещение через прошедшее время и коэффициент диффузии. Исходя из этого выражения, Эйнштейн утверждал, что смещение броуновской частицы не пропорционально прошедшему времени, а скорее пропорционально его квадратному корню. ^[10] Его аргумент основан на концептуальном переключении от «ансамбля» броуновских частиц к «единственной» броуновской частице: мы можем говорить об относительном количестве частиц в один момент, а также о времени, которое требуется Броуновская частица, чтобы достичь заданной точки. ^[12]

Вторая часть теории Эйнштейна связывает константу диффузии с физически измеримыми величинами, такими как средний квадрат смещения частицы в заданном интервале времени. Этот результат позволяет экспериментально определить число Авогадро и, следовательно, размер молекул. Эйнштейн проанализировал динамическое равновесие, устанавливаемое между противостоящими силами. Красота его аргумента заключается в том, что конечный результат не зависит от того, какие силы задействованы в установлении динамического равновесия.

В своей первоначальной трактовке Эйнштейн рассматривал эксперимент с осмотическим давлением , но к тому же выводу можно прийти и другими способами.

Рассмотрим, например, частицы, взвешенные в вязкой жидкости в гравитационном поле. Гравитация заставляет частицы оседать, тогда как диффузия способствует их гомогенизации, перемещая их в области с меньшей концентрацией. Под действием силы тяжести частица приобретает скорость движения вниз v = μmg , где m - масса частицы, g - ускорение силы тяжести, а μ - подвижность частицы в жидкости. Джордж Стокс показал, что подвижность сферической частицы радиуса r равна , где η - динамическая вязкость${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}}$жидкости. В состоянии динамического равновесия и согласно гипотезе изотермической жидкости частицы распределяются согласно барометрическому распределению

${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{-{\frac {mgh}{k_{\rm {B}}T}}},}$

где ρ - ρ ₀ является разница в плотности частиц , разделенных перепадом высот ч , к _Б является постоянная Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной , Р , к постоянной Авогадро, N _A ), и Т представляет собой абсолютная температура .

Устанавливается динамическое равновесие, потому что чем больше частицы притягиваются вниз под действием силы тяжести , тем больше у частиц тенденция к миграции в области с более низкой концентрацией. Поток определяется законом Фика ,

${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$

где J = ρv . Вводя формулу для ρ , находим, что

${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\rm {B}}T}}.}$

В состоянии динамического равновесия эта скорость также должна быть равна v = мкм . Оба выражения для v пропорциональны mg , что означает, что вывод не зависит от типа рассматриваемых сил. Точно так же можно вывести эквивалентную формулу для идентичных заряженных частиц с зарядом q в однородном электрическом поле величины E , где mg заменяется электростатической силой qE . Приравнивая эти два выражения дает формулу для коэффициента диффузии, независимо от мг или QE или других таких сил:

${\displaystyle {\frac {\overline {x^{2}}}{2t}}=D=\mu k_{\rm {B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$

Здесь первое равенство следует из первой части теории Эйнштейна, третье равенство следует из определения постоянной Больцмана как k _B = R / N _A , а четвертое равенство следует из формулы Стокса для подвижности. Путем измерения среднего квадрата смещения за интервал времени вместе с универсальной газовой постоянной R , температурой T , вязкостью η и радиусом частицы r можно определить постоянную Авогадро N _A.

Тип динамического равновесия, предложенный Эйнштейном, не был новым. Ранее Дж. Дж. Томсон ^[13] в своей серии лекций в Йельском университете в мае 1903 г. указывал, что динамическое равновесие между скоростью, создаваемой градиентом концентрации, заданным законом Фика, и скоростью, обусловленной изменением парциального давления вызванный, когда ионы приводятся в движение, «дает нам метод определения постоянной Авогадро, которая не зависит от какой-либо гипотезы относительно формы или размера молекул, или от того, как они действуют друг на друга». ^[13]

Выражение, идентичное формуле Эйнштейна для коэффициента диффузии, было также найдено Вальтером Нернстом в 1888 г. ^[14], в котором он выразил коэффициент диффузии как отношение осмотического давления к отношению силы трения и скорости, к которой оно приводит. . Первый был приравнен к закону Ван 'т Гоффа, а второй - к закону Стокса . Он пишет для коэффициента диффузии k ' , где - осмотическое давление, а k - отношение силы трения к молекулярной вязкости, которая, как он полагает, определяется формулой Стокса для вязкости. Введение в закон идеального газа${\displaystyle k'=p_{0}/k}$${\displaystyle p_{0}}$на единицу объема для осмотического давления, формула становится идентичной формуле Эйнштейна. ^[15] Использование закона Стокса в случае Нернста, а также в случае Эйнштейна и Смолуховского не является строго применимым, поскольку не применяется в случае, когда радиус сферы мал по сравнению со средней длиной свободного пробега . ^[16]

Сначала предсказания формулы Эйнштейна были опровергнуты серией экспериментов Сведберга в 1906 и 1907 годах, которые дали смещения частиц в 4-6 раз больше предсказанного значения, и Генри в 1908 году, который обнаружил смещения в 3 раза больше, чем Формула Эйнштейна предсказывала. ^[17] Но предсказания Эйнштейна были окончательно подтверждены в серии экспериментов, проведенных Шодесайгом в 1908 году и Перреном в 1909 году. Подтверждение теории Эйнштейна стало эмпирическим прогрессом кинетической теории тепла . По сути, Эйнштейн показал, что движение можно предсказать непосредственно из кинетической модели теплового равновесия . Важность теории заключалась в том, что она подтвердила описание кинетической теориивторой закон термодинамики как закон статистический по своей сути. ^[18]

Модель Смолуховского [ править ]

Теория броуновского движения Смолуховского ^[19] исходит из той же посылки, что и теория Эйнштейна, и выводит такое же распределение вероятностей ρ ( x , t ) для смещения броуновской частицы вдоль оси x за время t . Поэтому он получает такое же выражение для среднего квадрата смещения: . Однако, когда он соотносит это с частицей массы m, движущейся со скоростью, которая является результатом силы трения, регулируемой законом Стокса, он обнаруживает${\displaystyle {\overline {(\Delta x)^{2}}}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\overline {(\Delta x)^{2}}}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {u^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}u^{2}}{3\pi \mu a}},}$

где μ - коэффициент вязкости, а - радиус частицы. Связав кинетическую энергию с тепловой энергией RT / N , выражение для среднего квадрата смещения в 64/27 раз больше, чем было найдено Эйнштейном. Дробь 27/64 была прокомментирована Арнольдом Зоммерфельдом в его некрологии Смолуховского: «Числовой коэффициент Эйнштейна, который отличается от Смолуховского на 27/64, можно только поставить под сомнение». ^[20]${\displaystyle a}$${\displaystyle u^{2}/2}$

Смолуховский ^[21] пытается ответить на вопрос, почему броуновская частица должна смещаться бомбардировкой более мелкими частицами, когда вероятности удара в прямом и заднем направлениях равны. Если вероятность m выигрышей и n  -  m потерь подчиняется биномиальному распределению ,

${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$

с равными априорными вероятностями 1/2 средний общий выигрыш равен

${\displaystyle {\overline {2m-n}}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.}$

Если n достаточно велико, чтобы приближение Стирлинга можно было использовать в виде

${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$

тогда ожидаемый общий выигрыш будет ^{[ ссылка ]}

${\displaystyle {\overline {2m-n}}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},}$

показывая, что он увеличивается как квадратный корень от общей численности населения.

Предположим, что броуновская частица массы M окружена более легкими частицами массы m, которые движутся со скоростью u . Затем, причины Смолуховские, в любом столкновении между окружающей и броуновскими частицами, скорость передается последним будет мю / М . Это отношение порядка ^10-7  см / с. Но мы также должны учитывать, что в газе будет более 10 ¹⁶ столкновений в секунду, и даже больше в жидкости, где мы ожидаем, что будет 10 ²⁰ столкновений.столкновение за одну секунду. Некоторые из этих столкновений будут иметь тенденцию ускорять броуновскую частицу; другие будут стремиться замедлить его. Если среднее превышение одного вида столкновений составляет порядка 10 ⁸ - 10 ¹⁰ столкновений за одну секунду, то скорость броуновской частицы может быть где-то между 10 и 1000 см / с. Таким образом, несмотря на то, что вероятность прямого и обратного столкновения равна, будет иметь место общая тенденция к удержанию броуновской частицы в движении, как и предсказывает теорема голосования.

Эти порядки величины не точны, потому что они не принимают во внимание скорость броуновской частицы U , которая зависит от столкновений, которые имеют тенденцию ускорять и замедлять ее. Чем больше U , тем больше будет столкновений, которые замедлят его, так что скорость броуновской частицы никогда не может увеличиваться без ограничений. Если бы такой процесс мог произойти, это было бы равносильно вечному двигателю второго типа. А поскольку применяется равнораспределение энергии, кинетическая энергия броуновской частицы будет в среднем равна кинетической энергии окружающей жидкой частицы .${\displaystyle MU^{2}/2}$${\displaystyle mu^{2}/2}$

В 1906 году Смолуховский опубликовал одномерную модель для описания частицы, совершающей броуновское движение. ^[22] Модель предполагает столкновения с M  ≫  m, где M - масса тестовой частицы, а m - масса одной из отдельных частиц, составляющих жидкость. Предполагается, что столкновения частиц ограничены одним измерением, и что пробная частица с равной вероятностью может попасть как слева, так и справа. Кроме того , предполагается , что каждое столкновение всегда передает ту же самую величину Д V . Если N _R - количество столкновений справа и N _Lчисло столкновений слева, то после N столкновений скорость частицы изменится на Δ V (2 N _R  -  N ). Тогда кратность просто определяется как:

${\displaystyle {\binom {N}{N_{\rm {R}}}}={\frac {N!}{N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

а общее число возможных состояний дается 2 ^N . Следовательно, вероятность попадания частицы справа N _R раз равна:

${\displaystyle P_{N}(N_{\rm {R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

В результате своей простоты одномерная модель Смолуховского может только качественно описывать броуновское движение. Для реалистичной частицы, совершающей броуновское движение в жидкости, многие предположения неприменимы. Например, предположение о том, что в среднем происходит одинаковое количество столкновений справа и слева, разваливается, когда частица находится в движении. Кроме того , было бы распределение различного возможного Д V с вместо того , чтобы всегда только один в реальной ситуации.

Другие физические модели, использующие уравнения в частных производных [ править ]

Уравнение диффузии дает приближение временной эволюции функции плотности вероятности, связанной с положением частицы, движущейся под броуновским движением, согласно физическому определению. Приближение действительно в краткосрочной перспективе.

Временную эволюцию положения самой броуновской частицы лучше всего описать с помощью уравнения Ланжевена, уравнения , которое включает случайное силовое поле, представляющее влияние тепловых флуктуаций растворителя на частицу.

Смещение частицы, совершающей броуновское движение, получается путем решения уравнения диффузии при соответствующих граничных условиях и нахождения среднеквадратичного значения решения. Это показывает, что смещение изменяется как квадратный корень из времени (а не линейно), что объясняет, почему предыдущие экспериментальные результаты, касающиеся скорости броуновских частиц, дали бессмысленные результаты. Неправильно предполагалась линейная зависимость от времени.

Однако на очень коротких временных масштабах движение частицы определяется ее инерцией, и ее перемещение будет линейно зависеть от времени: Δ x = v Δ t . Таким образом, мгновенную скорость броуновского движения можно измерить как v = Δ x / Δ t , когда Δ t << τ , где τ - время релаксации импульса. В 2010 году была успешно измерена мгновенная скорость броуновской частицы (стеклянной микросферы, запертой в воздухе с помощью оптического пинцета ). ^[23] Данные скорости подтвердили распределение скоростей Максвелла – Больцмана., и теорема о равнораспределении для броуновской частицы.

Астрофизика: движение звезд в галактиках [ править ]

В звездной динамике массивное тело (звезда, черная дыра и т. Д.) Может испытывать броуновское движение, поскольку оно реагирует на гравитационные силы от окружающих звезд. ^[24] Среднеквадратичная скорость V массивного объекта массы M связана со среднеквадратичной скоростью фоновых звезд соотношением${\displaystyle v_{\star }}$

${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$

где - масса звезд фона. Сила тяготения от массивного объекта вызывает соседние звезды , чтобы двигаться быстрее , чем они могли бы, увеличивая как и V . ^[24] Броуновское скорость Sgr A * , в сверхмассивной черной дыры в центре Млечного Пути , предсказывается из этой формулы , чтобы быть меньше , чем в 1 км с ^-1 . ^[25]${\displaystyle m\ll M}$${\displaystyle v_{\star }}$

Математика [ править ]

В математике броуновское движение описывается винеровским процессом , стохастическим процессом с непрерывным временем, названным в честь Норберта Винера . Это один из самых известных процессов Леви ( càdlàg стохастических процессов с стационарными независимыми приращениями ) и часто встречается в чистом и прикладной математике, экономику и физику .

Винеровский процесс W _t характеризуется четырьмя фактами: ^{[ ссылка ]}

1. W ₀ = 0
2. W _т является почти наверняка непрерывным
3. W _t имеет независимые приращения
4. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$(для ).${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$обозначает нормальное распределение с математическим ожиданием μ и дисперсией σ ² . Условие наличия независимых приращений означает, что если, то и являются независимыми случайными величинами.${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$

Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая характеристика Леви, согласно которой винеровский процесс является почти наверняка непрерывным мартингалом с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией .${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$

Третья характеристика заключается в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого являются независимыми случайными величинами. Это представление можно получить с помощью теоремы Карунена – Лоэва .${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

Винеровский процесс может быть построен как предел масштабирования в виде случайной ходьбы или других дискретных стохастических процессов со стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Подобно случайному блужданию, винеровский процесс повторяется в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат), тогда как он не повторяется в трех измерениях и выше. В отличие от случайного блуждания, он не зависит от масштаба .

Временная эволюция положения самой броуновской частицы может быть приблизительно описана уравнением Ланжевена, уравнением , которое включает случайное силовое поле, представляющее влияние тепловых флуктуаций растворителя на броуновскую частицу. В долгосрочной перспективе математическое броуновское движение хорошо описывается уравнением Ланжевена. В небольших временных масштабах в уравнении Ланжевена преобладают инерционные эффекты. Однако математическое броуновское движение не подвержено таким инерционным эффектам. В уравнении Ланжевена необходимо учитывать инерционные эффекты, иначе уравнение станет сингулярным. ^{[ требуется уточнение ],} чтобы просто убрать инерциюЧлен этого уравнения не даст точного описания, а скорее даст сингулярное поведение, при котором частица вообще не движется. ^{[ требуется разъяснение ]}

Статистика [ править ]

Броуновское движение можно смоделировать случайным блужданием. ^[26] Случайные блуждания в пористых средах или фракталах аномальны. ^[27]

В общем случае броуновское движение является немарковским случайным процессом и описывается стохастическими интегральными уравнениями . ^[28]

Характеристика Леви [ править ]

Французский математик Поль Леви доказал следующую теорему, которая дает необходимое и достаточное условие того, что непрерывный R ⁿ -значный случайный процесс X действительно является n -мерным броуновским движением. Следовательно, условие Леви может фактически использоваться как альтернативное определение броуновского движения.

Пусть X  = ( X ₁ , ...,  X _n ) - непрерывный случайный процесс на вероятностном пространстве (Ω, Σ,  P ), принимающий значения в R ⁿ . Тогда следующие эквиваленты:

1. X является броуновским движением относительно P , т. Е. Закон X относительно P совпадает с законом n- мерного броуновского движения, т. Е. Мера проталкивания X _∗ ( P ) является классической мерой Винера на C ₀ ([0, + ∞); R ⁿ ).
2. обе
   1. X - мартингал относительно P (и своей собственной естественной фильтрации ); и
   2. для всех 1 ≤  i ,  j  ≤  n , X _i ( t ) X _j ( t ) - δ _ij t является мартингалом относительно P (и своей собственной естественной фильтрации ), где δ _ij обозначает символ Кронекера .

Спектральное содержание [ править ]

Спектральный состав случайного процесса может быть найден из спектральной плотности мощности , формально определяемой как${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\}}$,

где означает ожидаемое значение . Спектральная плотность мощности броуновского движения оказалась равной ^[29]${\displaystyle \mathbb {E} }$

${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}}$.

где это коэффициент диффузии из . Для естественных сигналов спектральный состав может быть найден из спектральной плотности мощности одной реализации с конечным доступным временем, т. Е.${\displaystyle D}$${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}}$,

которое для индивидуальной реализации траектории броуновского движения ^[30] имеет математическое ожидание${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$

${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$

и дисперсия ^[30]${\displaystyle \sigma _{BM}^{2}(\omega ,T)}$

${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}{\Bigg [}1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}{\Bigg ]}}$.

При достаточно длительном времени реализации ожидаемое значение спектра мощности одиночной траектории сходится к формально определенной спектральной плотности мощности , но его коэффициент вариации стремится к . Это означает, что распределение является широким даже в бесконечном временном интервале.${\displaystyle S(\omega )}$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}/\mu }$${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$

Риманово многообразие [ править ]

Этот раздел может быть слишком техническим, чтобы его могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Июнь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Генератор бесконечно малый (и , следовательно , характеристический оператор) броуновское движение на R ^п легко вычисляются , чтобы быть ½Δ, где Δ обозначает оператор Лапласа . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Это наблюдение полезно при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M ,  g ): броуновское движение на M определяется как диффузия на M , характеристический оператор которой${\displaystyle {\mathcal {A}}}$в локальных координатах x _i , 1 ≤  i  ≤  m , задается как ½Δ _LB , где Δ _LB - оператор Лапласа – Бельтрами, заданный в локальных координатах формулой

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

где [ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹ в смысле обратной квадратной матрицы .

Узкий побег [ править ]

Проблема узкого бегства - это повсеместная проблема в биологии, биофизике и клеточной биологии, которая имеет следующую формулировку: броуновская частица ( ион , молекула или белок ) ограничена ограниченной областью (отсеком или клеткой) отражающей границей, кроме небольшого окошка, через которое он может сбежать. Узкая проблема ухода - это вычисление среднего времени ухода. Это время расходится по мере уменьшения окна, что превращает вычисление в проблему сингулярного возмущения .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Браун, Роберт (1828). «Краткий отчет о микроскопических наблюдениях, сделанных в июне, июле и августе 1827 года над частицами, содержащимися в пыльце растений; и об общем существовании активных молекул в органических и неорганических телах» (PDF) . Философский журнал . 4 (21): 161–173. DOI : 10.1080 / 14786442808674769 .Также включает в себя последующую защиту Брауном его первоначальных наблюдений « Дополнительные замечания об активных молекулах» .
• Chaudesaigues, М. (1908). «Брауновское движение и формула Эйнштейна» [Броуновское движение и формула Эйнштейна]. Comptes Rendus (на французском). 147 : 1044–6.
• Кларк, П. (1976). «Атомизм против термодинамики». В Howson, Колин (ред.). Метод и оценка в физических науках . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521211109.
• Коэн, Рубен Д. (1986). «Самоподобие в броуновском движении и других эргодических явлениях» (PDF) . Журнал химического образования . 63 (11): 933–934. Bibcode : 1986JChEd..63..933C . DOI : 10.1021 / ed063p933 .
• Дубинс, Лестер Э .; Шварц, Гидеон (15 мая 1965 г.). «О непрерывных мартингалах» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 53 (3): 913–916. Полномочный код : 1965PNAS ... 53..913D . DOI : 10.1073 / pnas.53.5.913 . JSTOR  72837 . PMC  301348 . PMID  16591279 .
• Эйнштейн, А. (1956). Исследования по теории броуновского движения . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-60304-9. Проверено 6 января 2014 года .
• Анри, В. (1908). "Études cinématographique du mouvement brownien" [Кинематографические исследования броуновского движения]. Comptes Rendus (на французском языке) (146): 1024–6.
• Лукреций , О природе вещей , перевод Уильяма Эллери Леонарда . ( он-лайн версия из Project Gutenberg . См. заголовок «Атомные движения»; этот перевод немного отличается от цитируемого).
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения . (Версия этой книги в формате PDF, с веб-страницы автора.) Это в первую очередь математическая работа, но в первых четырех главах обсуждается история темы в эпоху от Брауна до Эйнштейна.
• Pearle, P .; Collett, B .; Барт, К .; Bilderback, D .; Newman, D .; Самуэльс, С. (2010). «То, что Браун видел, и ты тоже можешь». Американский журнал физики . 78 (12): 1278–1289. arXiv : 1008.0039 . Bibcode : 2010AmJPh..78.1278P . DOI : 10.1119 / 1.3475685 . S2CID  12342287 .
• Перрин, Дж. (1909). «Движение brownien et réalité moléculaire» [Броуновское движение и молекулярная реальность]. Анналы химии и тела . 8-я серия. 18 : 5–114.
  • См. Также книгу Перрена "Les Atomes" (1914).
• фон Смолуховский, М. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen" . Annalen der Physik . 21 (14): 756–780. Bibcode : 1906AnP ... 326..756V . DOI : 10.1002 / andp.19063261405 .
• Сведберг, Т. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen .
• Тейле, TN
  • Датская версия: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
  • Французская версия: "Sur la вознаграждение за quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" опубликовано одновременно в Виденске. Сельск. Skr. 5. Рк., Натурвид. ог мат. Afd. , 12: 381–408, 1880.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с броуновским движением .

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье: Краткое описание микроскопических наблюдений за частицами, содержащимися в пыльце растений.

• Эйнштейн о броуновском движении
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видео.
• «Предсказание Эйнштейна, наконец, стало свидетелем столетия спустя»  : тест по наблюдению скорости броуновского движения
• Демонстрация крупномасштабного броуновского движения