В теории множеств понятие мощности значительно развертывающееся , не прибегая к собственно определение кардинальных чисел как объекты в самой теории (это на самом деле точка зрения принимается Фрегом , Фрег кардиналы в основном классы эквивалентности по всему вселенным из множеств , по equinumerosity ). Эти концепции развиваются путем определения равнодоступности с точки зрения функций и понятий « один-к-одному» и « на» (инъективность и сюръективность); это дает нам квази-упорядочения отношений
по всей вселенной по размеру. Это не настоящий частичный порядок, потому что антисимметрия не обязательна: если оба а также , Это верно по теореме Кантора-Бернштейна-Шрёдера , чтот.е. A и B равны, но они не обязательно должны быть буквально равными (см. изоморфизм ). Это по крайней мере один из а также оказывается эквивалентным аксиоме выбора .
Тем не менее, большинство интересных результатов о мощности и ее арифметике можно выразить просто с помощью = c .
Цель создания присвоения кардинального является присвоение каждому множеству А специфический, уникальный набор , который зависит только от мощности А . Это соответствует первоначальному видению кардиналов Кантора : взять набор и абстрагировать его элементы в канонические «единицы» и собрать эти единицы в другой набор, так что единственной особенностью этого набора является его размер. Они будут полностью упорядочены соотношением, и = c было бы истинным равенством. Однако, как говорит Ю.Н. Мощовакис , это в основном упражнение на математическую элегантность, и вы не получите многого, если только у вас нет «аллергии на индексы». Однако существуют различные полезные приложения «реальных» кардинальных чисел в различных моделях теории множеств.
В современной теории множеств мы обычно используем кардинальное присвоение фон Неймана , которое использует теорию порядковых чисел и всю силу аксиом выбора и замены . Кардинальные присвоения действительно нуждаются в полной аксиоме выбора, если мы хотим достойную кардинальную арифметику и присвоение для всех множеств.
Кардинальное присвоение без аксиомы выбора
Формально, исходя из выбранной аксиомы, мощность множества X - это наименьший ординал α такой, что существует биекция между X и α . Это определение известно как кардинальное присвоение фон Неймана . Если аксиома выбора не предполагается, нам нужно сделать что-то другое. Самое старое определение мощности множества X (неявное в Канторе и явное в Фреге и Principia Mathematica ) - это как множество всех множеств, равных множеству X : это не работает в ZFC или других родственных системах аксиоматической теории множеств, потому что эта коллекция слишком велика для набора, но она работает в теории типов, в New Foundations и связанных системах. Однако, если мы ограничимся из этого класса теми равнодействующими с X, которые имеют наименьший ранг , тогда он будет работать (это уловка из-за Даны Скотт : он работает, потому что коллекция объектов с любым заданным рангом является набором).
Рекомендации
- Мощовакис, Яннис Н. Заметки по теории множеств . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1994.