Картановое соединение

В математической области дифференциальной геометрии , А связность Картанна является гибким обобщением понятия аффинной связности . Его также можно рассматривать как специализацию общей концепции главного соединения , в которой геометрия основного пучка связана с геометрией базового коллектора с использованием формы припоя . Связности Картана описывают геометрию многообразий, моделируемых на однородных пространствах .

Теория связей Картана была разработана Эли Картаном как часть (и способ формулирования) его метода движущихся систем отсчета ( repère mobile ). ^[1] Основная идея состоит в том, чтобы разработать подходящее понятие форм соединения и кривизны с использованием движущихся рамок, адаптированных к конкретной геометрической задаче. В теории относительности или римановой геометрии ортонормированные системы отсчета используются для получения описания связи Леви-Чивиты как связности Картана. Для групп Ли шкалы Маурера – Картана используются для рассмотрения формы Маурера – Картана группы как связности Картана.

Картан переформулировал дифференциальную геометрию ( псевдо ) римановой геометрии , а также дифференциальную геометрию многообразий с некоторой неметрической структурой, включая группы Ли и однородные пространства . Термин «связь Картана» чаще всего относится к формулировке Картана (псевдо) римановой, аффинной , проективной или конформной связности . Хотя это наиболее часто используемые соединения Картана, они являются частными случаями более общей концепции.

Подход Картана сначала кажется координатно-зависимым из-за выбора фреймов, которые он включает. Однако это не так, и это понятие можно точно описать на языке основных связок. Связности Картана индуцируют ковариантные производные и другие дифференциальные операторы на некоторых ассоциированных связках, отсюда и понятие параллельного переноса. Они имеют много приложений в геометрии и физике: см метод движущихся кадров , Картана формализма и теории Эйнштейна-Картана для некоторых примеров.

Введение [ править ]

По сути, геометрия состоит из понятия соответствия между различными объектами в пространстве. В конце 19 века понятия конгруэнтности обычно обеспечивались действием группы Ли на пространстве. Группы Ли обычно действуют довольно жестко, и поэтому геометрия Картана является обобщением этого понятия конгруэнтности, допускающим наличие кривизны . В плоском картановских геометриях-те с нулевой кривизной, локально эквивалентны однородными пространствами, следовательно , геометрии в смысле Klein.

Клейна состоит из группы Ли G вместе с Ли подгруппы H из G . Вместе G и H определяют однородное пространство G / H , на котором группа G действует левым сдвигом. Цель Клейна была затем исследование объектов , живущие на однородном пространстве , которые были конгруэнтное действием G . Геометрия Картана расширяет понятие геометрии Клейна, прикрепляя к каждой точке многообразия копию геометрии Клейна и рассматривая эту копию как касательную.к коллектору. Таким образом, геометрия многообразия бесконечно идентична геометрии Клейна, но глобально может быть совершенно иной. В частности, Картана геометрии больше не имеют четко определенные действия G на них. Однако связь Картана обеспечивает способ соединения бесконечно малых модельных пространств внутри многообразия посредством параллельного переноса .

Мотивация [ править ]

Рассмотрим гладкую поверхность S в 3-мерном евклидовом пространстве R ³ . Вблизи любой точки S можно аппроксимировать касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Аффинные подпространства модели поверхности, они являются наиболее простыми поверхностями в R ³ , и являются однородными по евклидовой группе плоскости, следовательно , они являются Клейн геометрией в смысле Феликс Клейн «ы программы Erlangen . Каждая гладкая поверхность S имеет единственную касательную к ней аффинную плоскость в каждой точке. Семейство всех таких самолетов в R ³, по одному к каждой точке S , называется конгруэнцией касательных плоскостей. Касательная плоскость может быть «прокатка» вдоль S , и , как он делает это в точку контакта следов из кривых на S . И наоборот, если задана кривая на S , касательная плоскость может катиться по этой кривой. Это позволяет идентифицировать касательные плоскости в разных точках кривой с помощью аффинных (фактически евклидовых) преобразований и является примером связности Картана, называемой аффинной связью .

Другой пример получается заменой плоскостей как модельных поверхностей сферами, которые однородны относительно группы конформных преобразований Мёбиуса. Больше не существует единственной сферы, касающейся гладкой поверхности S в каждой точке, поскольку радиус сферы не определен. Это можно исправить, предположив, что сфера имеет ту же среднюю кривизну, что и S в точке контакта. Такие сферы снова можно катать по кривым на S , и это дает S другой тип связности Картана, называемый конформной связностью .

Дифференциальные геометры в конце 19-го и начале 20-го веков были очень заинтересованы в использовании семейств моделей, таких как плоскости или сферы, для описания геометрии поверхностей. Семейство модельных пространств, прикрепленных к каждой точке поверхности S , называется конгруэнцией : в предыдущих примерах есть канонический выбор такой конгруэнции. Картанова соединение обеспечивает идентификацию между моделью пространств в конгруэнции вдоль любой кривой в S . Важной особенностью этих отождествлений является то, что точка контакта пространства модели с S всегда перемещается вместе с кривой. Это общее условие характерно для картановских связностей.

В современной трактовке аффинных связей точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая затем является векторным пространством), а перемещение начала координат корректируется смещением, поэтому связи Картана не нужны. Однако в целом нет канонического способа сделать это: в частности, для конформного соединения конгруэнтности сфер, невозможно естественным образом отделить движение точки контакта от остального движения.

В обоих этих примерах модель пространство представляет собой однородное пространство G / Н .

• В первом случае G / H - аффинная плоскость, G = Aff ( R ² ) - аффинная группа плоскости, а H = GL (2) - соответствующая общая линейная группа.
• Во втором случае G / H - конформная (или небесная ) сфера, где G = O ⁺ (3,1) - (ортохронная) группа Лоренца , а H - стабилизатор нулевой прямой в R ^3,1 .

Картана геометрии S состоит из копии пространства модели G / H в каждой точке S (с отмеченной точкой контакта) вместе с понятием «параллельного переноса» вдоль кривых , который идентифицирует эти копии , используя элементы G . Это понятие параллельного переноса является общим в интуитивном смысле, поскольку точка контакта всегда перемещается по кривой.

В общем, пусть G группа с подгруппой H и М многообразие той же размерности, что и G / H . Затем, грубо говоря, соединение Картана на М является G -связность , который является общим по отношению к редукции к H .

Аффинные связи [ править ]

Аффинная связность на многообразии М представляет собой соединение на кадр расслоение (главное расслоении) из М (или эквивалентно, соединение на касательном расслоении (векторное расслоение) из М ). Ключевым аспектом точки зрения Картана является разработка этого понятия в контексте основных связок (которые можно было бы назвать «общей или абстрактной теорией фреймов»).

Пусть H - группа Ли , ее алгебра Ли . Тогда главным Н -расслоение является расслоение Р над М с гладким действием в Н на Р , которая свободно и транзитивно на волокнах. Таким образом , P является гладким многообразием с гладким отображением П : P → M , который выглядит локально как тривиальное расслоение M × H → M . Связка кадров M${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ является главным GL ( n ) -расслоением, а если M - риманово многообразие , то расслоение ортонормированных реперов является главным O ( n ) -расслоением.

Пусть R _ч обозначим через (правый) действие ч ∈ H на P . Производная этого действия определяет вертикальное векторное поле на P для каждого элемента ξ из : если h ( t ) является однопараметрической подгруппой с h (0) = e (единичный элемент) и h '( 0 ) = ξ , то соответствующее вертикальное векторное поле${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

${\ displaystyle X _ {\ xi} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} R_ {h (t)} {\ biggr |} _ {t = 0}. \,}$

Основной Н -связность на Р является 1-формой на P , со значениями в алгебре Ли из Н , такие , что${\ displaystyle \ omega \ двоеточие TP \ to {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega }$
2. для любого , ω ( X _ξ ) = ξ (тождественно на Р ).${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$

Интуитивная идея состоит в том, что ω ( X ) представляет собой вертикальную составляющую из X , используя изоморфизм слоев П с Н для идентификации вертикальных векторов с элементами .${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Связки кадров имеют дополнительную структуру, называемую формой припоя , которую можно использовать для расширения основной связи на P до тривиализации касательной связки P, называемой абсолютным параллелизмом .

В общем, предположим, что M имеет размерность n и H действует на R ⁿ (это может быть любое n -мерное вещественное векторное пространство). Форма припоя на главной H -расслоения P над M представляет собой R ^п -значной 1-форма & thetas : T P → R ^н , который является горизонтальным и эквивариантным так , что она индуцирует расслоение гомоморфизма из Т М до ассоциированного расслоения P × _H R ⁿ. Кроме того, требуется, чтобы это был изоморфизм расслоения. Связки фреймов имеют (каноническую или тавтологическую) форму пайки, которая переводит касательный вектор X ∈ T _p P в координаты d π _p ( X ) ∈ T _{π ( p )} M относительно фрейма p .

Пара ( ω , θ ) (основное соединение и форма припоя) определяет 1-форму п на Р , со значениями в алгебре Ли в полупрямом продукте G из H с R ^н , который обеспечивает изоморфизм каждого касательного пространства Т _п П с . Это индуцирует главное соединение & alpha ; на соответствующей основной G -расслоения P × _H G . Это связь Картана.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Связности Картана обобщают аффинные связи двумя способами.

• Действие H на R ⁿ не обязательно должно быть эффективным. Это позволяет, например, включать в теорию спиновые связи, в которых H является спиновой группой Spin ( n ), а не ортогональной группой O ( n ).
• Группа G не обязательно должна быть полупрямым произведением H на R ⁿ .

Геометрии Клейна как модельные пространства [ править ]

Программа Кляйна в Эрлангене предполагала, что геометрию можно рассматривать как исследование однородных пространств : в частности, это изучение многих геометрий, представляющих интерес для геометров XIX века (и ранее). Клейн геометрия состояла из пространства, наряду с законом для движения в пространстве (аналог евклидовых преобразований классической евклидовой геометрии ) , выраженные в виде группы Ли из преобразований . Эти обобщенные пространства оказываются однородными гладкими многообразиями, диффеоморфными фактор-пространству группы Ли по подгруппе Ли. Дополнительная дифференциальная структура, которой обладают эти однородные пространства, позволяет изучать и обобщать их геометрию с помощью исчисления.

Общий подход Картана состоит в том, чтобы начать с такой гладкой геометрии Клейна , заданной группой Ли G и подгруппой Ли H , с ассоциированными алгебрами Ли и соответственно. Пусть P является основным главным однородным пространством из G . Клейна геометрия является однородным пространством , заданное фактор P / H из P правого действия H . На слоях канонической проекции существует правое H- действие${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

π : P → P / H

задается формулой R _h g = gh . Кроме того, каждое волокно из П является копией Н . Р имеет структуру основного H -расслоения над P / H . ^[2]

Векторное поле X на P является вертикальным, если d π ( X ) = 0. Любой ξ ∈ порождает каноническое вертикальное векторное поле X _ξ , взяв производную правого действия однопараметрической подгруппы H, ассоциированной с ξ. Форма Маурера-Картана η из P является значной один-форма на P , который идентифицирует каждую касательное пространство алгебры Ли. Обладает следующими свойствами:${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. Ad ( h ) R _h ^* η = η для всех h в H
2. η ( X _ξ ) = ξ для всех ξ в${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. для всех g ∈ P , η ограничивает линейный изоморфизм T _g P с (η - абсолютный параллелизм на P ).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Помимо этих свойств, η удовлетворяет структурному (или структурному ) уравнению

${\displaystyle d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.}$

Наоборот, можно показать, что для многообразия M и главного H -расслоения P над M и 1-формы η с этими свойствами, P локально изоморфна как H -расслоение главному однородному расслоению G → G / H . Структурное уравнение является условием интегрируемости для существования такого локального изоморфизма.

Геометрия Картана является обобщением гладкой геометрии Клейна, в которой структурное уравнение не предполагается, а вместо этого используется для определения понятия кривизны . Таким образом, геометрии Клейна называются плоскими моделями для геометрий Картана. ^[3]

Псевдогруппы [ править ]

Картановские связности тесно связаны с псевдогрупповыми структурами на многообразии. Каждый из них считается смоделированным на основе геометрии Клейна G / H , подобно тому, как риманова геометрия моделируется на евклидовом пространстве . На многообразии М , можно представить себе присоединение к каждой точке М копии модели пространства G / H . Затем симметрия модельного пространства встраивается в геометрию Картана или структуру псевдогруппы, утверждая, что модельные пространства ближайших точек связаны преобразованием в G. Фундаментальное различие между геометрией Картана и геометрией псевдогруппы состоит в том, что симметрия для геометрии Картана связывает бесконечно близкие точки посредством бесконечно малого преобразования в G (т. Е. Элемента алгебры Ли группы G ) и аналогичного понятия симметрии для структуры псевдогруппы применяется для точек, которые физически разделены внутри коллектора.

Процесс привязки пространств к точкам и сопутствующие симметрии могут быть конкретно реализованы с помощью специальных систем координат . ^[4] Для каждой точки р Е М , А окрестность U _р из р дается вместе с отображением ф _р  : U _р → G / H . Таким образом, модель пространство прикреплено к каждой точке M , реализуя M локально в каждой точке , как открытое подмножество G / H . Мы думаем об этом как о семействе систем координат на M, Параметризованных точками М . Две такие параметризованные системы координат φ и φ ′ являются H- связанными, если существует элемент h _p ∈ H , параметризованный параметром p , такой, что

φ ′ _p = h _p φ _p . ^[5]

Эта свобода примерно соответствует представлению физиков о калибровке .

Ближайшие точки связаны между собой кривой. Предположим, что p и p ′ - две точки в M, соединенные кривой p _t . Тогда p _t дает понятие переноса модельного пространства вдоль кривой. ^[6] Пусть τ _t  : G / H → G / H (локально определенное) составное отображение

τ _t = φ _{p t} o φ _{p 0} ⁻¹ .

Интуитивно τ _t - это транспортная карта. Структура псевдогруппа требует , чтобы τ _т быть симметрия модели пространства для каждого т : τ _т ∈ G . Картанова соединение требует только , что производная от τ _т быть симметрия модели пространства: τ ' ₀ ∈ г , алгебра Ли G .

Типичным для Картана, одной из мотиваций для введения понятия связи Картана было изучение свойств псевдогрупп с бесконечно малой точки зрения. Связь Картана определяет псевдогруппу именно тогда, когда производная транспортной карты τ 'может быть интегрирована , таким образом восстанавливая истинную ( G -значную) транспортную карту между системами координат. Таким образом, действует условие интегрируемости , и метод Картана для реализации условий интегрируемости заключался в введении дифференциальной формы .

В этом случае τ ′ ₀ определяет дифференциальную форму в точке p следующим образом. Для кривой γ ( t ) = p _t в M, начинающейся в p , мы можем связать касательный вектор X , а также транспортное отображение τ _t ^γ . Взяв производную, мы получаем линейное отображение

${\displaystyle X\mapsto \left.{\frac {d}{dt}}\tau _{t}^{\gamma }\right|_{t=0}=\theta (X)\in {\mathfrak {g}}.}$

Таким образом , θ определяет г - значной дифференциальная 1-форма на М .

Однако эта форма зависит от выбора параметризованной системы координат. Если h  : U → H является H- соотношением между двумя параметризованными системами координат φ и φ ′, то соответствующие значения θ также связаны соотношением

${\displaystyle \theta _{p}^{\prime }=Ad(h_{p}^{-1})\theta _{p}+h_{p}^{*}\omega _{H},}$

где ω _Н является Маурера-Картана форма Н .

Формальное определение [ править ]

Геометрия Картана, смоделированная на однородном пространстве G / H, может рассматриваться как деформация этой геометрии, которая допускает наличие кривизны . Например:

• риманова многообразия можно рассматривать как деформацию евклидова пространства ;
• лоренцево многообразие можно рассматривать как деформацию пространства Минковского ;
• конформное многообразие можно рассматривать как деформацию конформной сферы ;
• многообразие, снабженное аффинной связностью, можно рассматривать как деформацию аффинного пространства .

Есть два основных подхода к определению. В обоих подходах M - гладкое многообразие размерности n , H - группа Ли размерности m с алгеброй Ли , а G - группа Ли размерности n + m с алгеброй Ли , содержащей H в качестве подгруппы.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Определение через калибровочные переходы [ править ]

Связность Картанна состоит ^{[7] [8]} о наличии координат атласа открытых множеств ¯u в М , наряду с -значными 1-формой θ _U определены на каждом графике таким образом, что${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. θ _U  : T U → .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
2. θ _U мод  : T _U U → является линейным изоморфизмом для каждого U ∈ U .${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$
3. Для любой пары карт U и V в атласе существует гладкое отображение h  : U ∩ V → H такое, что

${\displaystyle \theta _{V}=Ad(h^{-1})\theta _{U}+h^{*}\omega _{H},\,}$

где ω _Н является форма Маурера-Картана из H .

По аналогии со случаем, когда θ _U пришло из систем координат, условие 3 означает, что φ _U связано с φ _V соотношением h .

Кривизна связи Картана состоит из системы 2-форм, определенных на диаграммах, заданных формулой

${\displaystyle \Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].}$

Ω _U удовлетворяют условию совместимости:

Если формы θ _U и θ _V связаны функцией h  : U ∩ V → H , как указано выше, то Ω _V = Ad ( h ⁻¹ ) Ω _U

Определение можно сделать независимым от систем координат, образуя фактор-пространство

${\displaystyle P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim }$

дизъюнктного объединения по всем U в атласе. Отношение эквивалентности ~ определено на парах ( x , h ₁ ) ∈ U ₁ × H и ( x , h ₂ ) ∈ U ₂ × H формулой

( x , h ₁ ) ~ ( x , h ₂ ) тогда и только тогда, когда x ∈ U ₁ ∩ U ₂ , θ _{U 1} связано с θ _{U 2} соотношением h , а h ₂ = h ( x ) ⁻¹ h ₁ .

Тогда P является главным H -расслоением на M , и из условия совместности форм связности θ _U следует, что они поднимаются до -значной 1-формы η, определенной на P (см. Ниже).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Определение через абсолютный параллелизм [ править ]

Пусть P является главным H расслоение над M . Тогда связность Картана ^[9] - это -значная 1-форма η на P такая, что${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. для всех h в H Ad ( h ) R _h ^* η = η
2. для всех ξ in , η ( X _ξ ) = ξ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. для всех p в P ограничение η определяет линейный изоморфизм касательного пространства T _p P в .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Последнее условие иногда называют условие Картанно : это означает , что η определяет абсолютный параллелизм на P . Второе условие означает, что η уже инъективен на вертикальных векторах и что 1-форма η mod со значениями in является горизонтальной. Векторное пространство является представлением о Н с помощью присоединенного представления Н о , и первое условие означает , что η мод эквивариантен. Следовательно, он определяет гомоморфизм расслоения из T M в ассоциированное расслоение${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$. Условие Картана эквивалентно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом, так что η mod является формой припоя .${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Кривизны связности Картана является значной 2-форма Ω определяется${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ].}$

Обратите внимание, что это определение соединения Картана очень похоже на определение основного соединения . Однако есть несколько важных отличий. Во- первых, 1-форма η принимает значения в , но эквивариантен только под действием H . В самом деле, он не может быть эквивариантным относительно полной группы G, потому что нет G- расслоения и G- действия. Во-вторых, 1-форма - это абсолютный параллелизм, который интуитивно означает, что η дает информацию о поведении дополнительных направлений в главном пучке (а не просто является оператором проекции на вертикальное пространство). Конкретно, наличие формы припоя связывает (или припаивает) соединение Картана к нижележащему${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$дифференциальная топология многообразия.

Интуитивная интерпретация связи Картана в этой форме состоит в том, что она определяет разрыв тавтологического главного расслоения, связанного с геометрией Клейна. Таким образом, геометрии Картана являются деформированными аналогами геометрии Клейна. Эта деформация - это примерно рецепт для прикрепления копии модельного пространства G / H к каждой точке M и мышления этого модельного пространства как касательного (и бесконечно идентичного ) многообразию в точке контакта. Затем слой тавтологического расслоения G → G / H геометрии Клейна в точке контакта отождествляется со слоем расслоенияP . Каждый такой слой (в G ) несет форму Маурера-Картана для G , и связность Картана является способом сборки этих форм Маурера-Картана, собранных из точек контакта, в когерентную 1-форму η, определенную на всем расслоении. Тот факт, что только элементы H вносят вклад в уравнение Маурера-Картана Ad ( h ) R _h ^* η = η, имеет интуитивную интерпретацию, что любые другие элементы G будут перемещать модельное пространство от точки контакта, и поэтому больше не касаться многообразия.

Из связности Картана, определенной в этих условиях, можно восстановить соединение картановскую как системы 1-форм на многообразии (как в определении калибра), принимая коллекцию местных тривиализаций из P , приведенных как секции ев _U  : U → P, и положив θ _U = s ^* η - откаты картановской связи вдоль сечений.

Как основные связи [ править ]

Другой способ определения связи Картана - это как главное соединение в некотором главном G- расслоении. С этой точки зрения соединение Картана состоит из

• главное G -расслоение Q над M
• главная G -связность α на Q (связность Картана)
• главное H -подрасслоение P в Q (т.е. редукция структурной группы)

такой, что обратный вызов η элемента α на P удовлетворяет условию Картана.

Принципиальная схема соединений α на Q может быть извлечен из формы п , принимая Q быть связано расслоение P × _H G . С другой стороны , форма η может быть извлечен из & alpha ; , потянув назад вдоль включения P ⊂ Q .

Так как α является главным соединением, оно индуцирует соединение по любому ассоциированного расслоения к Q . В частности, расслоение Q × _G G / H однородных пространств над M , слои которого являются копиями модельного пространства G / H , обладает связностью. Сокращение структуры группы H эквивалентным образом задается сечением s из E = Q × _G G / H . Слой над x в M${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$можно рассматривать как касательное пространство в точке s ( x ) к слою Q × _G G / H над x . Следовательно, условие Картана имеет интуитивную интерпретацию, согласно которой модельные пространства касаются M вдоль сечения s . Поскольку это отождествление касательных пространств вызвано связностью, отмеченные точки, заданные s, всегда перемещаются при параллельном переносе.

Определение связи Эресмана [ править ]

Еще один способ определить связность Картана - это связность Эресмана на расслоении E = Q × _G G / H из предыдущего раздела. ^[10] Тогда соединение Картана состоит из

• Расслоение π: E → M со слоем G / H и вертикальной V пространства E ⊂ T E .
• Раздел с  : М → Е .
• G-соединение θ: T E → V , Е такие , что

s ^* θ _х  : Т _х М → V , _{с ( х )} Е представляет собой линейный изоморфизм векторных пространств для всех х ∈ M .

Это определение усложняет интуитивные идеи, представленные во введении. Во-первых, предпочтительный участок s можно рассматривать как идентифицирующий точку контакта между коллектором и касательным пространством. Последнее условие, в частности, означает, что касательное пространство к M в точке x изоморфно касательному пространству модельного пространства в точке контакта. Таким образом, модельные пространства касаются многообразия.

Это определение также делает акцент на идее развития . Если x _t - кривая в M , то связность Эресмана на E обеспечивает связанную параллельную транспортную карту τ _t  : E _{x t} → E _{x 0} от волокна через конечную точку кривой до волокна над начальной точкой. В частности, поскольку E снабжен предпочтительной секцией s , точки s ( x _t ) переносятся обратно в волокно по x _0.и начертите кривую в E _{x 0} . Затем эта кривая называется развитием кривой x _t .

Для того, чтобы показать , что это определение эквивалентно выше других, необходимо ввести соответствующее понятие двигающейся системы для расслоения E . В общем, это возможно для любого G -связности на расслоение со структурной группой G . См. Ehresmann connection # Связанные пакеты для более подробной информации.

Специальные соединения Картана [ править ]

Редуктивные связи Картана [ править ]

Пусть P - главное H -расслоение на M , наделенное картановской связностью η: T P → . Если является редуктивным модулем для H , что означает, что допускает Ad ( H ) -инвариантное расщепление векторных пространств , то -компонента η обобщает форму припоя для аффинной связности . ^[11] Более подробно, распадается на п и компоненты: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

η = η + η ._{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

Следует отметить , что 1-форму η является основным Н -связностью на оригинальной картановой расслоении P . Более того, 1-форма η удовлетворяет:_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

η ( X ) = 0 для любого вертикального вектора X ∈ T , P . (η является горизонтальным .)_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

R _ч ^* η = Ad ( ч ^-1 ) η для каждого ч ∈ H . (η является эквивариантным под правым H -действия.)_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

Другими словами, η является припой форма для расслоения P .

Следовательно, Р оборудован с формой η определяет (первый порядок) H -структуру на M . Форма η определяет связность на H -структуре._{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}

Параболические соединения Картана [ править ]

Если это полупростая алгебра Ли с параболической подалгебры (т.е. содержит максимальную разрешимая подалгебра в ) и G и P связаны групп Ли, то связность Картана по образцу ( G , P , , ) называется параболической геометрия Картана , или просто параболическая геометрия . Отличительной чертой параболических геометрий является структура алгебры Ли на ее кокасательных пространствах : это возникает из-за того, что перпендикулярное подпространство ^⊥ в in относительно формы Киллинга${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$из является подалгеброй , а форма Киллинга индуцирует естественную двойственность между ^⊥ и . Таким образом, расслоение , ассоциированное к ^⊥ изоморфно кокасательному расслоению .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Параболические геометрии включают в себя многие из тех, которые представляют интерес для исследования и применения связей Картана, например, следующие примеры:

• Конформные связи : здесь G = SO ( p +1, q +1), а P - стабилизатор нулевого луча в R ^{n + 2} .
• Проективные связности : здесь G = PGL (n + 1) и P - стабилизатор точки в RP ⁿ .
• CR-структуры и связности Картана-Черна-Танаки: G = PSU ( p +1, q +1), P = стабилизатор точки на проективной нулевой гиперквадрике .
• Контактные проективные связности: ^[12] Здесь G = SP (2n + 2), а P - стабилизатор луча, порожденного первым стандартным базисным вектором в R ^{n + 2} .
• Родовой ранг 2 распределения на 5-многообразиях: Здесь G = Aut ( O _s ) является группой автоморфизмов алгебры О _с из расщепленных октонионов , А замкнутая подгруппа из SO (3,4), а Р есть пересечение G с стабилизатор изотропной линии, натянутой на первый стандартный базисный вектор в R ^7, рассматриваемый как чисто мнимые расщепленные октонионы (ортогональное дополнение к единичному элементу в O _s ). ^[13]

Связанные дифференциальные операторы [ править ]

Ковариантное дифференцирование [ править ]

Предположим, что M - геометрия Картана, смоделированная на G / H , и пусть ( Q , α ) - главное G- расслоение со связностью, а ( P , η ) - соответствующая редукция к H с η, равным подъему α . Пусть V есть представление о G , и образуют векторное расслоение V = Q × _G V над M . Тогда основная G -связность α на Qиндуцирует ковариантную производную на V , которая является линейным дифференциальным оператором первого порядка

${\displaystyle \nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),}$

где обозначает пространство k -форм на M со значениями в V, так что это пространство сечений V и пространство сечений Hom (T M , V ). Для любого сечения v поля V стягивание ковариантной производной ∇ v с векторным полем X на M обозначается ∇ _X v и удовлетворяет следующему правилу Лейбница:${\displaystyle \Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )}$${\displaystyle \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )}$${\displaystyle \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )}$

${\displaystyle \nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v}$

для любой гладкой функции F на M .

Ковариантная производная также может быть изготовлена из картановских соединений п на P . На самом деле, конструируя его таким образом немного более общее в том , что V не нужно быть полноценным представлением G . ^[14] Предположим вместо этого, что V является ( , H ) -модулем: представлением группы H с совместимым представлением алгебры Ли . Напомним, что сечение v индуцированного векторного расслоения V над M можно рассматривать как H -эквивариантное отображение P → V${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Мы примем эту точку зрения. Пусть X векторное поле на M . Выберите любой правоинвариантный лифт к касательному расслоению P . Определять${\displaystyle {\bar {X}}}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$.

Чтобы показать, что ∇ v правильно определено, он должен:

1. не зависеть от выбранного подъемника ${\displaystyle {\bar {X}}}$
2. быть эквивариантными, так что она опускается до сечения расслоения V .

Для (1) неоднозначность при выборе правоинвариантного лифта X является преобразованием вида где - правоинвариантное вертикальное векторное поле, индуцированное из . Итак, вычисляя ковариантную производную в терминах новой подъемной силы , мы имеем${\displaystyle X\mapsto X+X_{\xi }}$${\displaystyle X_{\xi }}$${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\bar {X}}+X_{\xi }}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$

поскольку , взяв дифференциал свойства эквивариантности в h равным единице.${\displaystyle \xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0}$${\displaystyle h\cdot R_{h}^{*}v=v}$

Для (2) заметим, что поскольку v эквивариантно и правоинвариантно, оно эквивариантно. С другой стороны, поскольку η также эквивариантно, отсюда следует, что оно также эквивариантно.${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle dv({\bar {X}})}$${\displaystyle \eta ({\bar {X}})\cdot v}$

Фундаментальная или универсальная производная [ править ]

Предположим , что V является лишь представление подгруппы H и не обязательно большая группа G . Пусть пространство V значной дифференциальная к -формам на P . При наличии картановской связности существует канонический изоморфизм${\displaystyle \Omega ^{k}(P,V)}$

${\displaystyle \varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})}$

дано где и .${\displaystyle \varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))}$${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k}(P,V)}$${\displaystyle \xi _{j}\in {\mathfrak {g}}}$

Для каждого k внешняя производная является операторным дифференциальным оператором первого порядка

${\displaystyle d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,}$

а значит, при k = 0 он определяет дифференциальный оператор

${\displaystyle \varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,}$

Поскольку η эквивариантно, если v эквивариантно, то Dv  : = φ (d v ) также. Отсюда следует, что эта композиция спускается до дифференциального оператора первого порядка D с сечений V = P × _H V на сечения расслоения . Это называется фундаментальной или универсальной производной или фундаментальным D-оператором.${\displaystyle P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Чап, Андреас; Говер, А. Род (2002), «Тракторные вычисления для параболической геометрии]» (PDF) , Труды Американского математического общества , 354 (4): 1511–1548, DOI : 10.1090 / S0002-9947-01-02909-9 , архивировано из оригинального (PDF) 11.08.2017.
• Čap, A .; Сагершниг, К. (2009), «О конформной структуре Нуровски, связанной с общим распределением ранга два в пятом измерении», Journal of Geometry and Physics , 59 (7): 901–912, arXiv : 0710.2208 , Bibcode : 2007arXiv0710.2208C , DOI : 10.1016 / j.geomphys.2009.04.001.
• Картана, Эли (1910), "Les Systèmes де Pfaff à Cinq переменных и др ле УРАВНЕНИЙ Окс dérivées partielles дю второй Ordre", Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , 27 : 109-192, DOI : 10,24033 / asens.618.
• Картан, Эли (1923), "Sur les varétés à affine affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24051 / asens.7.
• Картан, Эли (1924), "Sur les varétés à connected projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033 / bsmf.1053.
• Картана, Эли (1926), "Les Groupes d'holonomie де ESPACES обобщающий", Acta Mathematica , 48 (1-2): 1-42, DOI : 10.1007 / BF02629755.
• Картан, Эли (1951), с приложениями Роберта Германа (ред.), Геометрия римановых пространств (перевод Джеймса Глейзбрука из Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2-е изд.), Math Sci Press, Массачусетс (опубликовано в 1983 г.) , ISBN 978-0-915692-34-7.
• Шевалле, К. (1946), Теория групп Ли , Princeton University Press, ISBN 0-691-08052-6.
• Эресманн, К. (1950), «Бесконечные связи в непространственных волокнах», Colloque de Topologie, Брюссель : 29–55, MR  0042768.
• Fox, DJF (2005), «Контактные проективные структуры», Математический журнал Университета Индианы , 54 (6): 1547–1598, arXiv : math / 0402332 , doi : 10.1512 / iumj.2005.54.2603.
• Гриффитс, Phillip (1974), «О методе Картана групп Ли и перемещения кадров применительно к единственности и существования вопросов в дифференциальной геометрии», Герцога математический журнал , 41 (4): 775-814, DOI : 10.1215 / S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID  12966544.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 и 2 (новая редакция), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Кобаяси, Шошичи (1970), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (1-е изд.), Springer, ISBN 3-540-05848-6.
• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Теория Connections", Annali ди Matematica Pura эд Applicata , серия 4, 43 : 119-194, DOI : 10.1007 / BF02411907.
• Lumiste, Ü. (2001a) [1994], «Конформная связь» , в Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Lumiste, Ü. (2001b) [1994], «Связности на многообразии» , в Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Сагершниг, К. (2006), «Разделенные октонионы и общие распределения ранга два в измерении пять» , Archivum Mathematicum , 42 (Suppl): 329–339.
• Шарп, Р. У. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
• Словак, Ян (1997), Параболические геометрии (PDF) , Примечания к лекциям, часть докторской диссертации, Университет Масарика^{[ постоянная мертвая ссылка ]} .

Книги [ править ]

• Кобаяси, Шошичи (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Classics in Mathematics, 1995 ed.), Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-58659-3.

Раздел 3. Связи Картана [страницы 127–130] рассматривает конформные и проективные связи единообразно.

Внешние ссылки [ править ]

• Ü. Lumiste (2001) [1994], "Аффинная связь" , Энциклопедия математики , EMS Press