Главное значение Коши

В математике , то главное значение Коши , названный в честь Огюстен Луи Коши , является способ присвоения значений некоторых несобственных интегралов , которые иначе были бы неопределенными.

Формулировка [ править ]

В зависимости от типа особенности в подынтегральном выражении f главное значение Коши определяется в соответствии со следующими правилами:

(1) Для особенности при конечном числе b :

${\ Displaystyle \ lim _ {\; \ varepsilon \ rightarrow 0 ^ {+}} \, \ left [\, \ int _ {a} ^ {b- \ varepsilon} f (x) \, \ mathrm {d} х ~ + ~ \ int _ {b + \ varepsilon} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x \, \ right]}$

с a < b < c и где b - трудная точка, в которой поведение функции f таково, что   

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ pm \ infty \ quad}$для любых a < b и

${\ displaystyle \ int _ {b} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ mp \ infty \ quad}$для любого c > b  .

(См. « Плюс» или «минус» для точного использования обозначений ± и.)

(2) Для особенности на бесконечности:

${\ displaystyle \ lim _ {a \ rightarrow \ infty} \, \ int _ {- a} ^ {a} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

куда ${\ Displaystyle ~ \ int _ {- \ infty} ^ {0} е (х) \, \ mathrm {d} х = \ pm \ infty ~}$

и ${\ displaystyle ~ \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ mp \ infty ~.}$

В некоторых случаях необходимо иметь дело с особенностями одновременно как при конечном числе b, так и на бесконечности. Обычно это делается с помощью ограничения формы

${\displaystyle \lim _{\;\eta \rightarrow 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]~.}$

В тех случаях, когда интеграл может быть разбит на два независимых конечных предела,

${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\;\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty \quad }$ и ${\displaystyle \quad \lim _{\;\eta \rightarrow 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ~,}$

конечный результат тот же, но больше не соответствует определению и технически не называется «основным значением».

Главное значение Коши также можно определить в терминах контурных интегралов комплекснозначной функции f ( z ): z = x + iy , x , y ∈ ℝ , с полюсом на контуре C. Определим C ( ε ) как тот же контур, из которого удалена часть внутри диска радиуса ε вокруг полюса. Если функция f ( z ) интегрируема по C ( ε ) независимо от того, насколько мала ε становится, то главное значение Коши является пределом: ^[1]

${\displaystyle \mathrm {P} \int _{C}f(z)\ \mathrm {d} z=\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\ \mathrm {d} z~.}$

В случае функций, интегрируемых по Лебегу , то есть функций, интегрируемых по модулю , эти определения совпадают со стандартным определением интеграла.

Если функция F ( г ) является мероморфна , то Сохоцкий-Племель теорема относится главное значение интеграла по С со средней стоимостью интегралов с контуром смещенного немного выше и ниже, так что остаток теорема может быть применен к эти интегралы.

Интегралы главного значения играют центральную роль в обсуждении преобразований Гильберта . ^[2]

Теория распространения [ править ]

Позвольте быть набор функций выступа , т. Е. Пространство гладких функций с компактным носителем на действительной прямой . Тогда карта${\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$

определяется через главное значение Коши как

${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$

это раздача . Сама карта иногда может называться главным значением (отсюда и обозначение pv ). Это распределение появляется, например, в преобразовании Фурье функции Знака и ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Четкость как распределение [ править ]

Чтобы доказать существование предела

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$

для функции Шварца сначала заметим, что она непрерывна , поскольку${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}u(x)-u(-x)=0}$ и поэтому

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}=2u'(0),}$

поскольку является непрерывным и применяется правило L'Hospital .${\displaystyle u'(x)}$

Следовательно, существует и, применяя теорему о среднем значении к , получаем, что${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle u(x)-u(-x)}$

${\displaystyle \left|\int _{0}^{1}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{0}^{1}{\frac {|u(x)-u(-x)|}{x}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}{\frac {2x}{x}}\sup _{x\in \mathbb {R} }|u'(x)|\,\mathrm {d} x\leq 2\sup _{x\in \mathbb {R} }|u'(x)|.}$

Кроме того,

${\displaystyle \left|\int _{1}^{\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right|\leq 2\sup _{x\in \mathbb {R} }|x\cdot u(x)|\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=2\sup _{x\in \mathbb {R} }|x\cdot u(x)|,}$

отметим, что отображение ограничено обычными полунормами для функций Шварца . Следовательно, эта карта, поскольку она очевидно линейна, определяет непрерывный функционал в пространстве Шварца и, следовательно, умеренное распределение .${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$

Заметим, что доказательство просто должно быть непрерывно дифференцируемым в окрестности точки и быть ограниченным до бесконечности. Таким образом, главное значение определяется при еще более слабых предположениях, таких как интегрируемость с компактным носителем и дифференцируемость в 0.${\displaystyle u}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle xu}$${\displaystyle u}$

Более общие определения [ править ]

Главное значение - это обратное распределение функции и почти единственное распределение с таким свойством:${\displaystyle x}$

${\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}$

где - постоянная и распределение Дирака.${\displaystyle K}$${\displaystyle \delta }$

В более широком смысле главное значение можно определить для широкого класса сингулярных интегральных ядер на евклидовом пространстве . Если имеет изолированную особенность в начале координат, но в остальном является «хорошей» функцией, то распределение главных значений определяется на гладких функциях с компактным носителем как${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$

Такой предел не может быть четко определен или, будучи четко определенным, не обязательно определяет распределение. Это, однако, хорошо определено, если является непрерывной однородной функцией степени , интеграл которой по любой сфере с центром в нуле. Так обстоит дело, например, с преобразованиями Рисса .${\displaystyle K}$${\displaystyle -n}$

Примеры [ править ]

Рассмотрим значения двух пределов:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$

Это главное значение Коши иначе некорректно определенного выражения

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$

Также:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}$

Аналогично имеем

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$

Это главное значение иначе неопределенного выражения

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$

но

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

Обозначение [ править ]

Разные авторы используют разные обозначения для главного значения функции Коши , среди прочего:${\displaystyle f}$

${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$

${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$

а также PV и VP${\displaystyle P,}$${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle P_{v},}$ ${\displaystyle (CPV),}$

См. Также [ править ]

• Конечный интеграл Адамара
• Преобразование Гильберта
• Теорема Сохоцкого – Племеля.

Ссылки [ править ]