Символы Кристоффеля

В математике и физике , то символы Кристоффеля являются массив чисел , описывающих метрическую связность . ^[1] Метрическая связь - это специализация аффинной связи с поверхностями или другими многообразиями, снабженная метрикой , позволяющая измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связь может быть определена без ссылки на метрику, и следуют многие дополнительные концепции: параллельный перенос , ковариантные производные , геодезические.и т. д. также не требуют понятия метрики. ^{[2] [3]} Однако, когда доступна метрика, эти концепции могут быть напрямую связаны с «формой» самого многообразия; эта форма определяется тем, как касательное пространство присоединяется к пространству котангенса с помощью метрического тензора . ^[4] Абстрактно можно было бы сказать, что многообразие имеет ассоциированный ( ортонормированный ) пучок реперов , причем каждая « рамка » является возможным выбором системы координат . Из инвариантной метрики следует, что структурной группой расслоения реперов является ортогональная группа O ( p, q ) . В результате такое многообразие обязательно является ( псевдо ) римановым многообразием . ^{[5] [6]} Символы Кристоффеля дают конкретное представление о связи (псевдо) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные понятия, такие как параллельный транспорт, геодезические и т. Д., Затем могут быть выражены в терминах символов Кристоффеля.

Вообще говоря, для данного метрического тензора существует бесконечное количество метрических связей ; однако существует уникальное соединение, не имеющее кручения , соединение Леви-Чивита . В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связью Леви-Чивиты, работая в системе координат (называемой голономными координатами ), где кручение исчезает. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как локальные базы координат изменяются от точки к точке.

В каждой точке нижележащего n -мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются как Γ ⁱ _jk для i , j , k = 1, 2,…, n . Каждая запись этого массива n × n × n является действительным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются как компоненты тензора , но при общих преобразованиях координат ( диффеоморфизмы ) они не. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их отношения к аффинной связи; лишь немногие следуют из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O ( m , n ) (или группой Лоренца O (3, 1) для общей теории относительности).

Символы Кристоффеля используются для выполнения практических расчетов. Например, тензор кривизны Римана может быть полностью выражен через символы Кристоффеля и их первые частные производные . В общей теории относительности связь играет роль гравитационного силового поля с соответствующим гравитационным потенциалом, являющимся метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор обладают некоторой симметрией, многие из Γ ⁱ _jk равны нулю .

Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900). ^[7]

Примечание [ править ]

Приведенные ниже определения действительны как для римановых многообразий, так и для псевдоримановых многообразий , например, из общей теории относительности , с тщательным различием между верхними и нижними индексами ( контрвариантные и ковариантные индексы). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.

В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при этом векторы выделены жирным шрифтом. В коэффициенты связности по связности Леви-Чивита (или псевдоримановом связи) , выраженной в координатной основе называются символы Кристоффеля .

Предварительные определения [ править ]

Учитывая систему координат х ^I для я = 1, 2, ..., п на п -многообразие М , в касательные векторы

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} = \ partial _ {i}, \ quad i = 1, \, 2, \, \ точки, \, n}$

определить то, что называется локальным базисом касательного пространства к M в каждой точке его области. Их можно использовать для определения метрического тензора :

${\ displaystyle g_ {ij} = \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j}}$

и его обратное:

${\ displaystyle g ^ {ij} = \ left (g ^ {- 1} \ right) _ {ij}}$

который, в свою очередь, может использоваться для определения двойственного базиса:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

Некоторые тексты пишут для , так что метрический тензор принимает особенно привлекательную форму . Это соглашение также однозначно оставляет использование символа для vierbein .${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}$${\displaystyle e_{i}}$

Определение в евклидовом пространстве [ править ]

В евклидовом пространстве можно доказать, что приведенное ниже общее определение символов Кристоффеля второго рода эквивалентно следующему:

${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}}$

Тогда символы Кристоффеля первого вида можно найти с помощью понижения индекса :

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.}$

Переставив, мы видим, что (предполагая, что частная производная принадлежит касательному пространству, что не может иметь место в неевклидовом искривленном пространстве):

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}$

На словах массивы, представленные символами Кристоффеля, отслеживают, как основание изменяется от точки к точке. Если производная не лежит в касательном пространстве, правое выражение - это проекция производной на касательное пространство (см. Ковариантную производную ниже). Символы второго типа разлагают изменение по базису, а символы первого типа - по дуальному базису. В таком виде легко увидеть симметрию двух нижних или последних двух индексов:

${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}}$и ,${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

из определения и того факта, что частные производные коммутируют (при условии, что многообразие и система координат хорошо себя ведут ).${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Те же числовые значения для символов Кристоффеля второго типа также относятся к производным двойственного базиса, как видно из выражения:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k}}$,

который мы можем переставить как:

${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}}$.

Общее определение [ править ]

Символы Кристоффеля первого рода [ править ]

Символы Кристоффеля первого типа могут быть производными либо от символов Кристоффеля второго типа, либо из метрики, ^[8]

${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$

или только по метрике, ^[8]

${\displaystyle \Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.}$

В качестве альтернативного обозначения также можно найти ^{[7] [9] [10]}

${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$

Стоит отметить, что [ ab , c ] = [ ba , c ] . ^[11]

Символы Кристоффеля второго рода (симметричное определение) [ править ]

Символы Кристоффеля второго типа являются коэффициентами связи - в координатном базисе - связи Леви-Чивита . Другими словами, символы Кристоффеля второго рода ^{[12] [13]} Γ ^k _ij (иногда Γ^k
_ijили {^k
_ij} ) ^{[7] [12]} определяются как уникальные коэффициенты, такие что

${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k}}$,

где ∇ _i - связность Леви-Чивита на M, взятая в координатном направлении e _i (т.е. ∇ _i ≡ ∇ _{e i} ), и где e _i = ∂ _i - локальный координатный ( голономный ) базис . Поскольку эта связность имеет нулевое кручение и голономные векторные поля коммутируют (т.е. ), мы имеем${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$

${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}}$.

Следовательно, в этом базисе коэффициенты связности симметричны:

Γ ^k _ij = Γ ^k _ji . ^[12]

По этой причине соединение без кручения часто называют симметричным .

Символы Кристоффеля могут быть выведены из обращения в нуль ковариантной производной от метрического тензора г _Ik :

${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$

В качестве сокращенного обозначения символ набла и символы частной производной часто опускаются, и вместо этого используются точка с запятой и запятая для обозначения индекса, который используется для производной. Таким образом, вышеизложенное иногда записывается как

${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$

Используя то, что символы симметричны в двух нижних индексах, можно явно решить для символов Кристоффеля как функции метрического тензора, переставляя индексы и пересуммируя: ^[11]

${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$

где ( g ^jk ) - это обратная матрица ( g _jk ) , определяемая как (с использованием дельты Кронекера и обозначений Эйнштейна для суммирования) g ^ji g _ik = δ  ^j _k . Хотя символы Кристоффеля записываются в той же нотации, что и тензоры с индексной нотацией , они не преобразуются, как тензоры, при изменении координат .

Сокращение индексов [ править ]

Стягивание верхнего индекса к любому из нижних индексов (симметричных) приводит к

${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$

где - определитель метрического тензора. Эта идентичность может использоваться для оценки расхождения векторов.${\displaystyle g=\det g_{ik}}$

Коэффициенты связи в неголономном базисе [ править ]

Символы Кристоффеля чаще всего определяются на основе координат, что является принятым здесь соглашением. Другими словами, название символов Кристоффеля зарезервировано только для координатных (т. Е. Голономных ) систем отсчета. Однако коэффициенты связности также могут быть определены в произвольном (т. Е. Неголономном) базисе касательных векторов u _i формулой

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.}$

Явно в терминах метрического тензора это ^[13]

${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}$

где c _klm = g _mp c _kl ^p - коэффициенты коммутации базиса; это,

${\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}$

где u _k - базисные векторы, а [,] - скобка Ли . Стандартные единичные векторы в сферических и цилиндрических координатах представляют собой пример базиса с ненулевыми коэффициентами коммутации. Разница между связью в такой системе отсчета и связью Леви-Чивиты известна как тензор конторсии .

Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение) [ править ]

Когда мы выбираем базис Х _я ≡ U _я ортонормировано: г _AB ≡ п _AB = ⟨ Х , Х _б ⟩ тогда г _{ки, л} ≡ п _{ки, л} = 0 . Это означает, что

${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$

и коэффициенты связи становятся антисимметричными по первым двум индексам:

${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$

где

${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$

В этом случае коэффициенты связности ω ^a _bc называются коэффициентами вращения Риччи . ^{[14] [15]}

Эквивалентно, можно определить коэффициенты вращения Риччи следующим образом: ^[13]

${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$

где u _i - ортонормированный неголономный базис, а u ^k = η ^kl u _{l -} его ко-базис .

Закон превращения при изменении переменной [ править ]

При изменении переменной с на символы Кристоффеля преобразуются как${\displaystyle \left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)}$${\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)}$

${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}}$

где верхняя черта обозначает символы Кристоффеля в системе координат. Символ Кристоффеля трансформируется не как тензор, а как объект в связке струй . Точнее, символы Кристоффеля можно рассматривать как функции на связке струй связки реперов M , независимо от какой-либо локальной системы координат. Выбор локальной системы координат определяет локальную часть этого связки, которую затем можно использовать для возврата символов Кристоффеля к функциям на M , хотя, конечно, эти функции затем зависят от выбора локальной системы координат.${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

Для каждой точки существуют системы координат, в которых символы Кристоффеля обращаются в нуль. ^[16] Они называются (геодезическими) нормальными координатами и часто используются в римановой геометрии .

Есть несколько интересных свойств, которые можно вывести непосредственно из закона преобразования.

• Для линейного преобразования неоднородная часть преобразования (второй член в правой части) тождественно обращается в нуль, а затем ведет себя как тензор.${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$
• Если у нас есть два поля связей, скажем и , то их различие является тензором, поскольку неоднородные члены компенсируют друг друга. Неоднородные члены зависят только от того, как меняются координаты, но не зависят от самого символа Кристоффеля.${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$${\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$
• Если символ Кристоффеля несимметричен относительно своих нижних индексов в одной системе координат, т. Е., То они остаются несимметричными при любом изменении координат. Следствием этого свойства является то, что невозможно найти систему координат, в которой все элементы символа Кристоффеля равны нулю в точке, если только нижние индексы не симметричны. Это свойство было независимо указано Альбертом Эйнштейном ^[17] и Эрвином Шредингером ^[18] .${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}$

Связь с параллельным переносом и выводом символов Кристоффеля в римановом пространстве [ править ]

Если вектор переносится параллельно по кривой, параметризованной некоторым параметром на римановом многообразии , скорость изменения компонентов вектора определяется выражением${\displaystyle \xi ^{i}}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.}$

Теперь просто используя условие , что скалярное произведение , образованные два произвольных векторов и является неизменным достаточно , чтобы получить символы Кристоффеля. Состояние${\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}$${\displaystyle \xi ^{i}}$${\displaystyle \eta ^{k}}$

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}$

которые по правилу продукта расширяются до

${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.}$

Применяя правило параллельного переноса для двух произвольных векторов и переименовывая фиктивные индексы и собирая коэффициенты для (произвольного), мы получаем${\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}$

${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.}$

Это то же самое, что и уравнение, полученное путем обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора в разделе «Общие определения». Отсюда вывод прост. Циклически переставляя индексы в приведенном выше уравнении, мы можем получить еще два уравнения, а затем линейно комбинируя эти три уравнения, мы можем выразить их через метрический тензор.${\displaystyle ikl}$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$

Отношение к безиндексной нотации [ править ]

Пусть X и Y - векторные поля с компонентами X ⁱ и Y ^k . Тогда k- я компонента ковариантной производной Y по X имеет вид

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}$

Здесь используется обозначение Эйнштейна , поэтому повторяющиеся индексы указывают на суммирование по индексам, а сокращение с метрическим тензором служит для повышения и понижения индексов:

${\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$

Имейте в виду, что g _ik ≠ g ^ik и что g ⁱ _k = δ  ⁱ _k , символ Кронекера . По соглашению метрический тензор - это тензор с нижними индексами; правильный способ получить g ^ik из g _ik - решить линейные уравнения g ^ij g _jk = δ  ⁱ _k .

Утверждение о том, что соединение не имеет кручения , а именно, что

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}$

эквивалентно утверждению, что в координатной основе символ Кристоффеля симметричен по двум нижним индексам:

${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}$

Безиндексные свойства преобразования тензора задаются откатами для ковариантных индексов и прямыми действиями для контравариантных индексов. В статье о ковариантных производных дается дополнительное обсуждение соответствия между безиндексной нотацией и индексированной нотацией.

Ковариантные производные тензоров [ править ]

Ковариантная производная из контравариантным векторного поля V ^м является

${\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$

По следствию расходимость вектора может быть получена как

${\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$

Ковариантная производная ковекторного поля ω _m равна

${\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.}$

Симметрия символа Кристоффеля теперь подразумевает

${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi }$

для любого скалярного поля, но в общем случае ковариантные производные тензорных полей более высокого порядка не коммутируют (см. тензор кривизны ).

Ковариантная производная тензорного поля типа (2, 0) A ^ik равна

${\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$

это,

${\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}$

Если тензорное поле смешанное, то его ковариантная производная равна

${\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}$

а если тензорное поле имеет тип (0, 2), то его ковариантная производная равна

${\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$

Контравариантные производные тензоров [ править ]

Чтобы найти контравариантную производную векторного поля, мы должны сначала преобразовать ее в ковариантную производную с помощью метрического тензора

${\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$

Приложения [ править ]

В общей теории относительности [ править ]

Символы Кристоффеля часто используются в общей теории относительности Эйнштейна , где пространство-время представлено изогнутым 4-мерным лоренцевым многообразием со связностью Леви-Чивиты . В уравнения поля Эйнштейна -Какой определяют геометрию пространства - времени в присутствии вещества, содержат тензор Риччи , и поэтому вычисления символов Кристоффеля имеет важное значение. После определения геометрии пути частиц и световых лучей вычисляются путем решения геодезических уравнений, в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.

В классической (нерелятивистской) механике [ править ]

Пусть - обобщенные координаты и - обобщенные скорости, тогда кинетическая энергия для единицы массы определяется выражением , где - метрический тензор . Если потенциальная функция существует, то контравариантные компоненты обобщенной силы на единицу массы равны . Метрика (здесь в чисто пространственной области) может быть получена из линейного элемента . Подставляя лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа , получаем ^[19]${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}$${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle V\left(x^{i}\right)}$${\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}$${\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$${\displaystyle L=T-V}$

${\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}$

Теперь умножая на , получаем${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.}$

Когда могут быть приняты декартовы координаты (как в инерциальных системах отсчета), у нас есть евклидовы метрики, символ Кристоффеля исчезает, и уравнение сводится ко второму закону движения Ньютона . В криволинейных координатах ^[20] (принудительно в неинерциальных системах отсчета, где метрика неевклидова и не плоская) фиктивные силы, такие как центробежная сила и сила Кориолиса, происходят от символов Кристоффеля, то есть из чисто пространственных криволинейных координат.

В координатах земной поверхности [ править ]

Дана сферическая система координат , которая описывает точки на поверхности земли (аппроксимируется как идеальная сфера).

${\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Для точки x R - это расстояние до ядра земли (обычно приблизительно радиус земли ). θ и φ - широта и долгота . Положительный θ - северное полушарие. Для упрощения производных углы даны в радианах (где d sin (x) / dx = cos (x), значения в градусах вводят дополнительный множитель 360/2 пи).

В любом месте касательными направлениями являются (вверх), (север) и (восток) - вы также можете использовать индексы 1,2,3.${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$${\displaystyle e_{\varphi }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Соответствующий метрический тензор имеет только диагональные элементы (квадраты длин векторов). Это преимущество системы координат, а не в целом.

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}$

Теперь можно рассчитать необходимое количество. Примеры:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$

Полученные в результате символы Кристоффеля второго типа (упорядоченные по индексу «производной» i в матрице):${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Эти значения показывают , как направления касательных (столбцы: , , ) изменение, видно с точки зрения внешнего (например , из космоса), но , учитывая , в касательных направлениях фактического места (строки: R , θ , ф ).${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$${\displaystyle e_{\varphi }}$

В качестве примера возьмем ненулевые производные по θ in , что соответствует движению на север (положительное значение dθ):${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}$

• Новое направление на север изменится на -R dθ в направлении вверх (R). Таким образом, северное направление будет вращаться вниз к центру Земли.${\displaystyle e_{\theta }}$
• Точно так же направление вверх будет скорректировано в сторону севера. Различная длина и приводит к коэффициенту 1 / R.${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$
• Двигаясь на север, вектор касательной к востоку изменяет свою длину (-tan (θ) по диагонали), он сжимается (-tan (θ) dθ <0) в северном полушарии и увеличивается (-tan (θ) dθ> 0 ) в южном полушарии.${\displaystyle e_{\varphi }}$

Эти эффекты могут быть незаметны во время движения, потому что они являются настройками, которые сохраняют измерения в координатах R , θ , φ . Тем не менее, это может повлиять на расстояния, физические уравнения и т. Д. Поэтому, если, например, вам нужно точное изменение магнитного поля, указывающего приблизительно «на юг», может потребоваться также скорректировать ваши измерения путем изменения направления на север с помощью символов Кристоффеля. чтобы получить "истинное" ( тензорное ) значение.

Символы Кристоффеля первого типа показывают такое же изменение с использованием координат с метрической корректировкой, например, для производной по φ :${\displaystyle {\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Основное введение в математику искривленного пространства-времени
• Доказательства с использованием символов Кристоффеля
• Дифференцируемое многообразие
• Список формул в римановой геометрии
• Исчисление Риччи
• Тензор Римана – Кристоффеля
• Уравнения Гаусса – Кодацци
• Пример вычисления символов Кристоффеля

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), « Основы механики» , Лондон: Бенджамин / Каммингс Паблишинг, стр. См. Главу 2, параграф 2.7.1, ISBN. 0-8053-0102-Xпа
• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1965), Введение в общую теорию относительности (первое издание), McGraw-Hill Book Company
• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1951), Классическая теория полей , Курс теоретической физики , Том 2 (Четвертое пересмотренное издание на английском языке), Oxford: Pergamon Press, стр. См. Главу 10, параграфы 85, 86 и 87, ISBN 0-08-025072-6 |volume= has extra text (help)
• Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Dover Publications , ISBN 978-0-486-66721-8
• Миснер, Чарльз В .; Thorne, Kip S .; Уиллер, Джон Арчибальд (1970), Gravitation , New York: WH Freeman, стр. См. Главу 8, параграф 8.5, ISBN 0-7167-0344-0
• Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , Cambridge University Press, ISBN 0-521-63019-3
• Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию , Том 2, Опубликовать или погибнуть, ISBN 0-914098-71-3 |volume= has extra text (help)
• Chatterjee, U .; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . Академические издательства. ISBN 978-93-8059-905-2.
• Струик, DJ (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликованы в Дувре в 1988 г.). Дувр. ISBN 0-486-65609-8.
• П. Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.