Комплексная плоскость

Геометрическое представление z и сопряженного с ним z̅ на комплексной плоскости. Расстояние по светло - голубой линии от начала координат до точки г является модулем или абсолютное значение из г . Угол φ является аргументом в г .

В математике , то комплексная плоскость или г -плоскость является геометрическим представлением комплексных чисел , установленных вещественной оси и перпендикулярной мнимой оси . Его можно представить как модифицированную декартову плоскость , где действительная часть комплексного числа представлена ​​смещением по оси x, а мнимая часть - смещением по оси y. ^{[примечание 1]}

Концепция комплексной плоскости позволяет геометрическую интерпретацию комплексных чисел. При добавлении они складывают похожие векторы . Умножение двух комплексных чисел могут быть выражены наиболее легко в полярных координатах -The величина , или модуль продукта является произведением двух абсолютных величин , или модулей, а также угол или аргумент продукта является суммой двух углов, или аргументы. В частности, умножение на комплексное число по модулю 1 действует как поворот.

Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана или плоскостью Гаусса .

Условные обозначения [ править ]

В комплексном анализе комплексные числа обычно представлены символом z , который можно разделить на действительную ( x ) и мнимую ( y ) части:

${\ displaystyle z = x + iy}$

например: z = 4 + 5 i , где x и y - действительные числа, а i - мнимая единица . В этом обычном обозначении комплексное число z соответствует точке ( x , y ) на декартовой плоскости .

В декартовой плоскости точка ( x , y ) также может быть представлена ​​в полярных координатах как

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\qquad (r,\theta )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \arctan {\frac {y}{x}}\right).}$

В декартовой плоскости можно предположить, что арктангенс принимает значения от - π / 2 до π / 2 (в радианах ), и необходимо позаботиться о том, чтобы определить более полную функцию арктангенса для точек ( x , y ), когда x ≤ 0. ^{[примечание 2]} В комплексной плоскости эти полярные координаты принимают вид

${\displaystyle z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }}$

куда

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\,}$^{[заметка 3]}

Здесь | z | - абсолютное значение или модуль комплексного числа z ; & thetas ; , то аргумент из г , обычно берется на интервале 0 & le ; & thetas ; <2 π ; а последнее равенство (to | z | e ^iθ ) взято из формулы Эйлера . Без ограничения на диапазон θ аргумент z является многозначным, поскольку комплексная экспоненциальная функция периодична с периодом 2 π i . Таким образом, если θ - одно значение arg (z ), остальные значения даются как arg ( z ) = θ + 2 nπ , где n - любое целое число ≠ 0. ^[2]

Хотя он редко используется явно, геометрический взгляд на комплексные числа неявно основан на его структуре евклидова векторного пространства размерности 2, где внутреннее произведение комплексных чисел w и z задается как ; то для комплексного числа z его абсолютное значение | z | совпадает со своей евклидовой нормой, а его аргумент arg ( z ) с углом, изменяющимся от 1 до  z .${\displaystyle \Re (w{\overline {z}})}$

Теория контурной интеграции составляет большую часть комплексного анализа. В этом контексте важно направление движения по замкнутой кривой - изменение направления, в котором пересекается кривая, увеличивает значение интеграла на -1. По соглашению положительное направление - против часовой стрелки. Например, единичный круг перемещается в положительном направлении, когда мы начинаем с точки z = 1, затем движемся вверх и влево через точку z = i , затем вниз и влево через −1, затем вниз и до справа через - i , и, наконец, вверх и вправо до z = 1, откуда мы начали.

Практически весь комплексный анализ связан со сложными функциями,  то есть с функциями, которые отображают некоторое подмножество комплексной плоскости в какое-то другое (возможно, перекрывающееся или даже идентичное) подмножество комплексной плоскости. Здесь принято говорить о домене от ф ( г ) , как лежащий в г - плоскости, в то время как со ссылкой на диапазон от ф ( г ) в виде множества точек в ш плоскости. В символах пишем

${\displaystyle z=x+iy;\qquad f(z)=w=u+iv}$

и часто думают о функции f как о преобразовании плоскости z (с координатами ( x , y )) в плоскость w (с координатами ( u , v )).

Диаграмма Аргана [ править ]

Диаграмма Аргана относится к геометрическому графику комплексных чисел в виде точек z = x + iy с использованием оси x в качестве действительной оси и оси Y в качестве мнимой оси. ^[3] Такие участки названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые они были описаны норвежско-датским землеустроителем и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). ^{[примечание 4]} Диаграммы Аргана часто используются для построения положений нулей и полюсов функции на комплексной плоскости.

Стереографические проекции [ править ]

Может быть полезно думать о комплексной плоскости, как если бы она занимала поверхность сферы. Для сферы единичного радиуса поместите ее центр в начало комплексной плоскости, сориентировав ее так, чтобы экватор на сфере совпадал с единичным кругом на плоскости, а северный полюс находился «над» плоскостью.

Мы можем установить взаимно однозначное соответствие между точками на поверхности сферы за вычетом северного полюса и точками на комплексной плоскости следующим образом. Для данной точки на плоскости проведите прямую линию, соединяющую ее с северным полюсом на сфере. Эта линия будет пересекать поверхность сферы ровно в одной точке. Точка z = 0 будет спроецирована на южный полюс сферы. Поскольку внутренняя часть единичного круга находится внутри сферы, вся эта область ( | z | <1 ) будет отображена на южное полушарие. Сама единичная окружность ( | z | = 1 ) будет отображена на экватор, а внешняя часть единичной окружности ( | z| > 1 ) будет нанесен на карту северного полушария без северного полюса. Ясно, что эта процедура обратима - для любой точки на поверхности сферы, не являющейся северным полюсом, мы можем провести прямую линию, соединяющую эту точку с северным полюсом и пересекающую плоскую плоскость ровно в одной точке.

В рамках этой стереографической проекции северный полюс не связан ни с одной точкой комплексной плоскости. Мы улучшаем взаимно-однозначное соответствие, добавляя еще одну точку к комплексной плоскости - так называемую точку на бесконечности  - и отождествляя ее с северным полюсом на сфере. Это топологическое пространство, комплексная плоскость плюс бесконечно удаленная точка, известно как расширенная комплексная плоскость . При обсуждении комплексного анализа мы говорим об одной «бесконечно удаленной точке». На прямой действительных чисел есть две бесконечно удаленные точки (положительная и отрицательная) , но на расширенной комплексной плоскости есть только одна бесконечно удаленная точка (северный полюс). ^[5]

Представьте на мгновение, что произойдет с линиями широты и долготы, когда они будут проецироваться со сферы на плоскую плоскость. Все линии широты параллельны экватору, поэтому они станут идеальными кругами с центром в начале координат z = 0 . И линии долготы станут прямыми линиями, проходящими через начало координат (а также через «точку в бесконечности», поскольку они проходят как через северный, так и через южный полюса на сфере).

Это не единственная возможная, но правдоподобная стереографическая ситуация проекции сферы на плоскость, состоящую из двух или более значений. Например, северный полюс сферы может быть помещен поверх начала координат z = −1 в плоскости, касательной к окружности. Детали особого значения не имеют. Любая стереографическая проекция сферы на плоскость создаст одну «точку в бесконечности», и она отобразит линии широты и долготы на сфере в круги и прямые линии, соответственно, на плоскости.

Разрезание самолета [ править ]

При обсуждении функций комплексной переменной часто бывает удобно думать о разрезе в комплексной плоскости. Эта идея естественно возникает в нескольких различных контекстах.

Многозначные отношения и точки ветвления [ править ]

Рассмотрим простое двузначное отношение

${\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.}$

Прежде чем мы сможем рассматривать это отношение как однозначную функцию , диапазон результирующего значения должен быть каким-то образом ограничен. Когда имеешь дело с квадратными корнями из неотрицательных действительных чисел, это легко сделать. Например, мы можем просто определить

${\displaystyle y=g(x)={\sqrt {x}}\ =x^{1/2}}$

быть неотрицательным действительным числом y таким, что y ² = x . Эта идея не так хорошо работает в двумерной комплексной плоскости. Чтобы понять, почему, давайте подумаем о том, как значение f ( z ) изменяется при движении точки z по единичной окружности. Мы можем написать

${\displaystyle z=re^{i\theta }\quad {\mbox{and take}}\quad w=z^{1/2}={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}\qquad (0\leq \theta \leq 2\pi ).}$

Очевидно, что когда z движется полностью по кругу, w очерчивает только половину круга. Таким образом, одно непрерывное движение в комплексной плоскости преобразовало положительный квадратный корень e ⁰ = 1 в отрицательный квадратный корень e ^iπ = −1.

Эта проблема возникает из-за того, что точка z = 0 имеет только один квадратный корень, в то время как любое другое комплексное число z 0 имеет ровно два квадратных корня. На прямой с действительными числами мы могли бы обойти эту проблему, установив «барьер» в единственной точке x = 0. В комплексной плоскости необходим барьер большего размера, чтобы не дать замкнутому контуру полностью охватить точку ветвления z = 0. Это обычно делается путем введения среза ветки ; в этом случае «разрез» может проходить от точки z = 0 вдоль положительной вещественной оси до точки на бесконечности, так что аргумент переменной z в плоскости разреза ограничивается диапазоном 0 ≤ arg ( z) <2 π .

Теперь мы можем дать полное описание w = z ^½ . Для этого нам нужны две копии z- плоскости, каждая из которых срезана по действительной оси. На одном экземпляре мы определяем квадратный корень из 1 как e ⁰ = 1, а на другом мы определяем квадратный корень из 1 как e ^iπ = −1. Мы называем эти две копии полных вырезанных плоских листов . Используя аргумент непрерывности, мы видим, что (теперь однозначная) функция w = z ^½ отображает первый лист в верхнюю половину w -плоскости, где 0 ≤ arg ( w ) < π, отображая второй лист в нижнюю половину w -плоскости (где π ≤ arg ( w ) <2 π ). ^[6]

Отрезок ветви в этом примере не обязательно должен лежать вдоль действительной оси. Это даже не обязательно должна быть прямая линия. Подойдет любая непрерывная кривая, соединяющая начало координат z = 0 с бесконечно удаленной точкой. В некоторых случаях отрезок ветви даже не должен проходить через бесконечно удаленную точку. Например, рассмотрим отношения

${\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2}.}$

Здесь многочлен z ² - 1 обращается в нуль при z = ± 1, поэтому очевидно , что g имеет две точки ветвления. Мы можем «разрезать» плоскость вдоль вещественной оси от −1 до 1 и получить лист, на котором g ( z ) - однозначная функция. В качестве альтернативы разрез может проходить от z = 1 вдоль положительной действительной оси через бесконечно удаленную точку, затем продолжаться «вверх» по отрицательной действительной оси до другой точки ветвления, z = −1.

Эту ситуацию легче всего визуализировать с помощью стереографической проекции, описанной выше . На сфере один из этих разрезов проходит в продольном направлении через южное полушарие, соединяя точку на экваторе ( z = −1) с другой точкой на экваторе ( z = 1) и проходя через южный полюс (начало координат, z = 0) в пути. Второй вариант разреза проходит в продольном направлении через северное полушарие и соединяет те же две экваториальные точки, проходя через северный полюс (то есть точку на бесконечности).

Ограничение области мероморфных функций [ править ]

Мероморфны функция является сложной функцией , которая является голоморфной и поэтому аналитическая всюду в своей области , за исключением конечного или счетное , число точек. ^{[примечание 5]} Точки, в которых такая функция не может быть определена, называются полюсами мероморфной функции. Иногда все эти полюса лежат на одной прямой. В этом случае математики могут сказать, что функция «голоморфна на плоскости сечения». Вот простой пример.

Гамма - функция , определяемая

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони и имеет простые полюсы в точках 0, −1, −2, −3, ... потому что ровно один знаменатель в бесконечном произведении обращается в нуль, когда z равно нулю или отрицательному целому числу. ^{[примечание 6]} Поскольку все ее полюса лежат на отрицательной действительной оси, от z = 0 до бесконечно удаленной точки, эта функция может быть описана как «голоморфная на плоскости разреза, разрез проходит вдоль отрицательной вещественной оси от 0 ( включительно) до бесконечно удаленной точки ».

В качестве альтернативы, Γ ( z ) можно описать как «голоморфную в плоскости сечения с - π <arg ( z ) < π и исключая точку z = 0».

Этот разрез немного отличается от разреза ветки, с которым мы уже сталкивались, потому что он фактически исключает отрицательную действительную ось из плоскости разреза. Разрез ветви оставил действительную ось, соединенную с плоскостью разреза с одной стороны (0 ≤ θ ), но оторвал ее от плоскости разреза по другой стороне ( θ <2 π ).

Конечно, на самом деле нет необходимости исключать весь прямой отрезок от z = 0 до −∞ для построения области, в которой Γ ( z ) голоморфна. Все, что нам действительно нужно сделать, это проколоть плоскость в счетно бесконечном множестве точек {0, −1, −2, −3, ...}. Но замкнутый контур в проколотой плоскости может охватывать один или несколько полюсов Γ ( z ), давая контурный интеграл, который не обязательно равен нулю, по теореме о вычетах . Разрезая комплексную плоскость, мы гарантируем не только голоморфность Γ ( z ) в этой ограниченной области - мы также гарантируем, что контурный интеграл Γ по любой замкнутой кривой, лежащей в плоскости разреза, тождественно равен нулю.

Определение регионов конвергенции [ править ]

Многие сложные функции определяются бесконечными рядами или цепными дробями . Фундаментальным соображением при анализе этих бесконечно длинных выражений является определение части комплексной плоскости, в которой они сходятся к конечному значению. Разрез в плоскости может облегчить этот процесс, как показывают следующие примеры.

Рассмотрим функцию, определяемую бесконечным рядом

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.}$

Поскольку z ² = (- z ) ² для любого комплексного числа z , ясно, что f ( z ) является четной функцией от z , поэтому анализ можно ограничить одной половиной комплексной плоскости. А поскольку серия не определена, когда

${\displaystyle z^{2}+n=0\quad \Leftrightarrow \quad z=\pm i{\sqrt {n}},}$

имеет смысл разрезать плоскость вдоль всей мнимой оси и установить сходимость этого ряда, где действительная часть z не равна нулю, прежде чем приступить к более трудной задаче исследования f ( z ), когда z - чисто мнимое число. ^{[примечание 7]}

В этом примере разрез представляет собой простое удобство, потому что точки, в которых бесконечная сумма не определена, изолированы, и плоскость разреза может быть заменена плоскостью с соответствующим проколом . В некоторых случаях резка необходима, а не просто удобна. Рассмотрим бесконечную периодическую цепную дробь

${\displaystyle f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.}$

Это можно показать , что F ( Z ) сходится к конечному значению , если и только если г не является отрицательным действительное число такое , что г <-¼. Другими словами, область сходимости для этой непрерывной дроби является плоскостью сечения, где разрез проходит вдоль отрицательной действительной оси от −¼ до бесконечно удаленной точки. ^[8]

Склеивание отрезанных плоскостей обратно вместе [ править ]

Мы уже видели, как отношения

${\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}}$

может быть преобразована в однозначную функцию, разделив область определения f на два несвязанных листа. Также возможно «склеить» эти два листа вместе, чтобы сформировать единую риманову поверхность, на которой f ( z ) = z ^1/2 может быть определена как голоморфная функция, образ которой представляет собой всю w- плоскость (за исключением точки w = 0 ). Вот как это работает.

Представьте себе две копии разрезанной комплексной плоскости, причем разрезы проходят вдоль положительной вещественной оси от z = 0 до бесконечно удаленной точки. На одном листе определим 0 ≤ arg ( z ) <2 π , так что 1 ^1/2 = e ⁰ = 1 по определению. На втором листе положим 2 π ≤ arg ( z ) <4 π , так что 1 ^1/2 = e ^iπ = −1, опять же по определению. Теперь переверните второй лист вверх дном так, чтобы мнимая ось указывала в направлении, противоположном мнимой оси на первом листе, причем обе действительные оси указывали в одном направлении, и «склейте» два листа вместе (так, чтобы край на первый лист с меткой « θ = 0 » соединяется с кромкой с меткой « θ <4 π » на втором листе, а край на втором листе с меткой « θ = 2 π » соединяется с кромкой с меткой « θ <2. π »на первом листе). Результатом является область римановой поверхности, на которой f ( z ) = z ^1/2однозначно и голоморфно (кроме z = 0 ). ^[6]

Чтобы понять, почему f однозначно в этой области, представьте контур вокруг единичного круга, начиная с z = 1 на первом листе. Когда 0 ≤ θ <2 π, мы все еще находимся на первом листе. Когда θ = 2 π, мы перешли на второй лист и должны сделать второй полный обход вокруг точки ветвления z = 0 перед возвращением в нашу начальную точку, где θ = 4 π эквивалентно θ = 0 , потому что Кстати, мы склеили два листа вместе. Другими словами, поскольку переменная zделает два полных оборота вокруг точки ветвления, изображение z на w- плоскости образует только один полный круг.

Формальная дифференциация показывает, что

${\displaystyle f(z)=z^{1/2}\quad \Rightarrow \quad f^{\prime }(z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}z^{-1/2}}$

из чего мы можем заключить, что производная f существует и конечна всюду на римановой поверхности, за исключением случая, когда z = 0 (то есть f голоморфна, кроме случая z = 0 ).

Каким образом риманова поверхность функции

${\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2},}$

также обсуждалось выше , быть построенным? Снова мы начинаем с двух копий z- плоскости, но на этот раз каждая из них разрезается вдоль реального отрезка прямой от z = −1 до z = 1 - это две точки ветвления g ( z ). Мы переворачиваем один из них вверх дном, чтобы две воображаемые оси указывали в противоположных направлениях, и склеиваем соответствующие края двух вырезанных листов. Мы можем проверить, что g является однозначной функцией на этой поверхности, обведя контур вокруг круга единичного радиуса с центром в точке z = 1 . Начиная с точки z = 2на первом листе мы поворачиваем половину круга до того, как встретимся с разрезом в точке z = 0 . Разрез выталкивает нас на второй лист, так что, когда z сделал один полный оборот вокруг точки ветвления z = 1 , w сделал всего половину полного оборота, знак w поменял местами (так как e ^iπ = −1 ), и наш путь привел нас к точке z = 2 на втором листе поверхности. Пройдя еще пол-оборота, мы встретим другую сторону разреза, где z = 0 , и, наконец, достигнем нашей начальной точки ( z= 2 на первом листе) после двух полных оборотов вокруг точки ветвления.

Естественный способ обозначить θ = arg ( z ) в этом примере - установить - π < θ ≤ π на первом листе и π < θ ≤ 3 π на втором. Воображаемые оси на двух листах указывают в противоположных направлениях, так что направление вращения против часовой стрелки сохраняется, когда замкнутый контур перемещается от одного листа к другому (помните, что второй лист перевернут ). Представьте себе эту поверхность, вложенную в трехмерное пространство, причем оба листа параллельны оси xy.-самолет. Затем на поверхности появляется вертикальное отверстие, в котором два разреза соединяются вместе. Что, если разрез будет сделан от z = −1 вниз по действительной оси до бесконечно удаленной точки и от z = 1 вверх по действительной оси, пока разрез не встретится с самим собой? Снова можно построить риманову поверхность, но на этот раз «дыра» горизонтальна. Говоря топологически , обе версии этой римановой поверхности эквивалентны - это ориентируемые двумерные поверхности рода один.

Использование комплексной плоскости в теории управления [ править ]

В теории управления одно использование комплексной плоскости известно как « s-плоскость ». Он используется для графической визуализации корней уравнения, описывающего поведение системы (характеристическое уравнение). Уравнение обычно выражается как полином от параметра s преобразования Лапласа , отсюда и название плоскости s. Точки в s-плоскости принимают форму , в которой 'j' используется вместо обычного 'i' для представления мнимой составляющей.${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

Еще одно связанное использование комплексной плоскости с критерием устойчивости Найквиста . Это геометрический принцип, который позволяет определить стабильность системы обратной связи с обратной связью, исследуя график Найквиста ее амплитуды и фазового отклика в зависимости от частоты (или передаточной функции контура ) в комплексной плоскости.

«Z-плоскость» - это версия s-плоскости с дискретным временем, где z-преобразования используются вместо преобразования Лапласа.

Квадратичные пространства [ править ]

Комплексная плоскость связана с двумя различными квадратичными пространствами . Для точки z = x + iy на комплексной плоскости функция возведения в квадрат z ² и квадрат нормы являются квадратичными формами . Первым часто пренебрегают после того, как последний используется для установки метрики на комплексной плоскости. Эти различные грани комплексной плоскости как квадратичного пространства возникают при построении алгебр над полем с помощью процесса Кэли – Диксона . Эту процедуру можно применить к любому полю${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$, и для полей и получаются разные результаты: когда ℝ - поле взлета, тогда ℂ строится с квадратичной формой, но процесс также может начинаться с и z ² , и в этом случае генерируются алгебры, отличные от тех, что происходит от ℝ. В любом случае порождаемые алгебры являются композиционными алгебрами ; в этом случае комплексная плоскость является точкой для двух различных композиционных алгебр.${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$

Другие значения «комплексной плоскости» [ править ]

В предыдущих разделах этой статьи комплексная плоскость рассматривается с точки зрения геометрического представления комплексных чисел. Хотя такое использование термина «комплексная плоскость» имеет долгую и богатую математически историю, это ни в коем случае не единственное математическое понятие, которое можно охарактеризовать как «комплексная плоскость». Есть как минимум три дополнительных возможности.

1. Двумерное комплексное векторное пространство, «комплексная плоскость» в том смысле, что это двумерное векторное пространство, координаты которого являются комплексными числами . См. Также: Комплексное аффинное пространство § Два измерения .
2. (1 + 1) -мерное пространство Минковского , также известное как расщепленная комплексная плоскость , является «комплексной плоскостью» в том смысле, что алгебраические расщепляемые комплексные числа можно разделить на две действительные компоненты, которые легко сопоставить с точкой ( x , y ) в декартовой плоскости.
3. Набор двойных чисел над вещественными числами также может быть помещен во взаимно однозначное соответствие с точками ( x , y ) декартовой плоскости и представляет собой еще один пример «комплексной плоскости».

Терминология [ править ]

Хотя терминология «комплексная плоскость» является исторически принятой, объект можно было бы более уместно назвать «сложная линия», поскольку это одномерное комплексное векторное пространство .

См. Также [ править ]

• Диаграмма созвездия
• Сфера Римана
• s-plane
• Синфазная и квадратурная составляющие
• Реальная линия

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитированные работы [ править ]

• Фланиган, Фрэнсис Дж. (1983). Комплексные переменные: гармонические и аналитические функции . Дувр. ISBN 0-486-61388-7.
• Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной . Прентис-Холл.
• Уолл, HS (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей . Компания Д. Ван Ностранд.Перепечатано (1973) ISBN издательства Chelsea Publishing Company 0-8284-0207-8 . 
• Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные со сложным самолетом .

• Вайсштейн, Эрик В. «Диаграмма Аргана» . MathWorld .
• Жан-Робер Арган, "Essai sur une manière de représenter des Quantités Imminaires dans les constructions géométriques", 1806, онлайн и проанализировано на BibNum [для английской версии щелкните 'à télécharger']