Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( март 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике, сохраняющаяся величина из динамической системы является функцией зависимого переменной величины , которая остается постоянная вдоль каждой траектории системы. [1]
Не все системы имеют сохраняемые количества, и сохраненные количества не уникальны, так как всегда можно применить функцию к сохраняемому количеству, например, сложить число.
Поскольку многие законы физики выражают своего рода сохранение , сохраняющиеся величины обычно существуют в математических моделях физических систем. Например, любая модель классической механики будет иметь механическую энергию как сохраняемую величину до тех пор, пока задействованные силы консервативны .
Дифференциальные уравнения [ править ]
Для системы дифференциальных уравнений первого порядка
где жирным шрифтом обозначены векторные величины, скалярная функция H ( r ) является сохраняющейся величиной системы, если для всех времен и начальных условий в некоторой конкретной области,
Обратите внимание, что, используя правило многомерной цепочки ,
так что определение может быть записано как
который содержит информацию, специфичную для системы, и может быть полезен при поиске сохраняемых количеств или установлении наличия или отсутствия сохраняемых количеств.
Гамильтонова механика [ править ]
Для системы, определяемой гамильтонианом H , функция f обобщенных координат q и обобщенных импульсов p эволюционирует во времени
и, следовательно, сохраняется тогда и только тогда, когда . Здесь обозначает скобку Пуассона .
Лагранжева механика [ править ]
Предположим, что система задана лагранжианом L с обобщенными координатами q . Если L не имеет явной зависимости от времени (так ), то энергия E, определяемая формулой
сохраняется.
Кроме того, если , то q называется циклической координатой и обобщенным импульсом p, определяемым формулой
сохраняется. Это может быть получено с помощью уравнений Эйлера – Лагранжа .
См. Также [ править ]
- Консервативная система
- Функция Ляпунова
- Гамильтонова система
- Закон сохранения
- Теорема Нётер
- Заряд (физика)
- Инвариант (физика)