Конвей группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Конвея - это три спорадические простые группы Co 1 , Co 2 и Co 3 вместе с связанной конечной группой Co 0, введенной ( Conway  1968 , 1969 ).

Самый большой из групп Conway, Co ₀ , является группой автоморфизмов в Leech решетки Л относительно сложения и скалярного произведения . В нем порядок

8 315 553 613 086 720 000

но это не простая группа. Простая группа Co ₁ порядка

4 157 776 806 543 360 000

определяется как отношение Co ₀ к его центру , который состоит из скалярных матриц ± 1.

Скалярное произведение на Leech решетке определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух векторов сомножителей; это целое число. Квадрат нормы вектора является его скалярное произведение с самим собой, всегда четное число. Обычно говорят о типе вектора решетки Пиявки: половина квадрата нормы. Подгруппы часто называются в соответствии с типами соответствующих фиксированных точек. В этой решетке нет векторов типа 1.

Группы Co 2 (порядка42 305 421 312 000 ) и Co 3 (порядка495,766,656,000 ) состоят из автоморфизмов Λ, фиксирующих вектор решетки типа 2 и вектор типа 3 соответственно. Поскольку скаляр −1 не фиксирует ненулевой вектор, эти две группы изоморфны подгруппам в Co ₁ .

История [ править ]

Томас Томпсон ( 1983 ) рассказывает, как Джон Лич около 1964 года исследовал плотные упаковки сфер в евклидовых пространствах большой размерности. Одним из открытий Лича была упаковка решетки в 24-мерном пространстве, основанная на том, что впоследствии было названо решеткой Пиявки Λ. Он задавался вопросом, содержит ли группа симметрии его решетки интересную простую группу, но чувствовал, что ему нужна помощь кого-то более знакомого с теорией групп. Ему пришлось много расспрашивать, потому что математики были заняты своими собственными задачами. Джон Конвей согласился разобраться в проблеме. Джон Г. Томпсонсказал, что ему было бы интересно, если бы ему дали приказ группы. Конвей рассчитывал потратить месяцы или годы на решение проблемы, но нашел результаты всего за несколько сеансов.

Витт (1998 , стр. 329) заявил, что он нашел решетку Пиявки в 1940 году, и намекнул, что он вычислил порядок ее группы автоморфизмов Co ₀ .

Мономиальная подгруппа N в Co ₀ [ править ]

Конвей начал свое исследование Co ₀ с подгруппы, которую он назвал N , голоморфом (расширенного) двоичного кода Голея (в виде диагональных матриц с 1 или -1 в качестве диагональных элементов) группой Матье M 24 (в качестве матриц перестановок ). N ≈ 2 ¹² : M ₂₄ .

В стандартном представлении двоичного кода Голея, используемом в этой статье, 24 координаты расположены так, что 6 последовательных блоков (тетрад) из 4 составляют секстет .

Матрицы Co ₀ являются ортогональными ; т.е. они оставляют внутренний продукт неизменным. Обратное является транспонированной . Co ₀ не имеет матриц определителя −1.

Решетка Лича может быть легко определена как Z - модуль , порожденный множеством Λ ₂ из всех векторов 2 -го типа, состоящий из

(4, 4, 0 ²² )

(2 ⁸ , 0 ¹⁶ )

(−3, 1 ²³ )

и их образы под N . Λ ₂ под N распадается на 3 орбиты размеров1,104 ,97 152 и98304 .Затем | Λ ₂ | знак равно196,560 = 2 ⁴ ⋅3 ³ ⋅5⋅7⋅13 . Conway сильно подозревалчто Co ₀ был транзитивен на Л ₂ , исамом деле он нашел новую матрицу, не мономиальную и не является целым числом матрицы.

Пусть η - матрица 4 на 4

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ - 1 & 1 & -1 & -1 \\ - 1 & -1 & 1 & -1 \\ - 1 & -1 & -1 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Пусть теперь ζ - блочная сумма шести матриц: каждая из нечетных чисел η и - η . ^{[1] [2]} ζ - симметричная и ортогональная матрица, следовательно, инволюция . Некоторые экспериментируют показывает , что переставляет векторы между различными орбитами N .

Вычислить | Co ₀ | лучше всего рассматривать Λ ₄ , множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является одним из ровно 48 векторов типа 4, конгруэнтных друг другу по модулю 2Λ, попадающих в 24 ортогональные пары { v , - v }. Набор из 48 таких векторов называется рамкой или крестом . N имеет в качестве орбиты стандартный фрейм из 48 векторов формы (± 8, 0 ²³ ). Подгруппа фиксации данного кадра является конъюгатом из N . Группа 2 ¹² , изоморфная коду Голея, действует как знакоперемены векторов кадра, а M ₂₄переставляет 24 пары кадра. Можно показать, что Co ₀ транзитивен на Λ ₄ . Конвей умножил порядок 2 ¹² | M ₂₄ | из N по количеству кадров, причем последний равен частному | Λ ₄ | / 48 =8,252,375 = 3 ⁶ ⋅5 ³ ⋅7⋅13 . Этот продукт является порядком любой подгруппы Co _0, которая должным образом содержит N ; следовательно, N максимальная подгруппа в Co ₀ и содержит 2-силовские подгруппы из Co ₀ . N также является подгруппой в Co ₀ всех матриц с целочисленными компонентами.

Поскольку Λ включает векторы формы (± 8, 0 ²³ ) , Co ₀ состоит из рациональных матриц, знаменатели которых все являются делителями 8.

Наименьшее нетривиальное представление Co ₀ над любым полем - это 24-мерное представление, полученное из решетки Лича, и оно является точным над полями характеристики, отличной от 2.

Инволюции в Co ₀ [ править ]

Можно показать, что любая инволюция в Co ₀ сопряжена с элементом кода Голея. Co ₀ имеет 4 класса сопряженных инволюций.

Можно показать, что матрица перестановок формы 2 ¹² сопряжена с додекадой . Его централизатор имеет вид 2 ¹² : M ₁₂ и имеет сопряженные внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица из этого класса сопряженности имеет трассу 0.

Можно показать, что матрица перестановок формы 2 ⁸ 1 ⁸ сопряжена с октадой ; у него есть след 8. Это и его минус (след −8) имеют общий централизатор вида (2 ^{1 + 8} × 2) .O ₈ ⁺ (2) , подгруппу, максимальную в Co ₀ .

Группы подрешеток [ править ]

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно обнаруженные спорадические простые группы, описанные в трудах конференций ( Brauer & Sah 1969 ), изоморфны подгруппам или факторам подгрупп в Co ₀ .

Сам Конвей использовал обозначения для стабилизаторов точек и подпространств, где он ставил точку. Исключительными были 0,0 и 0,1 , то есть Co ₀ и Co ₁ . Для целого n ≥ 2 пусть .n обозначает стабилизатор точки типа n (см. Выше) в решетке Лича.

Затем Конвей назвал стабилизаторы плоскостей, определяемых треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Пусть .hkl - поточечный стабилизатор треугольника с ребрами (разностями вершин) типов h , k и l . Треугольник обычно называют треугольником hkl . В простейших случаях Co ₀ транзитивен на рассматриваемых точках или треугольниках, а группы стабилизаторов определены с точностью до сопряженности.

Конвей идентифицировал .322 с группой Маклафлина McL (заказ898,128,000 ) и 0,332 с группой Хигмана – Симса HS (заказ44 352 000 ); оба они были недавно обнаружены.

Вот таблица ^{[3] [4]} некоторых групп подрешеток:

Две другие спорадические группы [ править ]

Две спорадические подгруппы могут быть определены как факторы стабилизаторов структур на решетке Лича. Отождествляя R ²⁴ с C ¹² и Λ с

${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ left [e ^ {{\ frac {2} {3}} \ pi i} \ right] ^ {12},}$

полученная группа автоморфизмов (т. е. группа решеточных автоморфизмов Лича, сохраняющих сложную структуру ) при делении на группу из шести элементов комплексных скалярных матриц дает группу Сузуки Suz (порядок448 345 497 600 ). Эта группа была обнаружена Мичио Судзуки в 1968 году.

Аналогичная конструкция дает группу Холла – Янко J ₂ (порядок604,800 ) как фактор группы кватернионных автоморфизмов Λ по группе ± 1 скаляров.

Семь простых групп, описанных выше, составляют то, что Роберт Грисс называет вторым поколением счастливой семьи , которое состоит из 20 спорадических простых групп, встречающихся в группе монстров . Некоторые из семи групп содержат по крайней мере часть из пяти групп Матье , которые составляют первое поколение .

Сеть групп продуктов Suzuki [ править ]

Co ₀ имеет 4 класса сопряженности элементов порядка 3. В M ₂₄ элемент формы 3 ⁸ порождает нормальную группу в копии S ₃ , которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение PSL (2,7 ) × S ₃ в M ₂₄ переставляет октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co ₀ этот мономиальный нормализатор 2 ⁴ : PSL (2,7) × S ₃ раскладывается до максимальной подгруппы вида 2.A ₉ × S ₃ , где 2.A ₉- двойная крышка знакопеременной группы A ₉ .

Джон Томпсон указал на то, что было бы полезно исследовать нормализаторы меньших подгрупп вида 2.A _n ( Conway 1971 , p. 242). Таким образом находятся несколько других максимальных подгрупп Co ₀ . Более того, в полученной цепочке появляются две спорадические группы.

Существует подгруппа 2.A ₈ × S ₄ , единственная из этой цепи, не максимальная в Co ₀ . Далее идет подгруппа (2.A ₇ × PSL ₂ (7)): 2 . Далее идет (2.A ₆ × SU ₃ (3)): 2 . Унитарная группа SU ₃ (3) (порядок6048 ) имеет граф из 36 вершин в ожидании следующей подгруппы. Эта подгруппа ( 2.A ₅ o 2.HJ): 2 , в которой появляется группа Холла – Янко HJ. Вышеупомянутый граф расширяется до графа Холла – Янко со 100 вершинами. Далее следует ( 2.A ₄ o 2.G ₂ (4)): 2 , G ₂ (4) - исключительная группа лиева типа .

Цепочка заканчивается на 6.Suz: 2 (Suz = спорадическая группа Сузуки ), что, как упоминалось выше, соответствует сложному представлению Решетки Пиявки.

Обобщенный чудовищный самогон [ править ]

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея – Томпсона равен = {1, 0, 276,${\ Displaystyle T_ {2A} (\ тау)}$−2 048 ,11 202 ,−49,152 ,…} ( OEIS :  A007246 ) и = {1, 0, 276,${\ Displaystyle T_ {4A} (\ тау)}$2,048 ,11 202 ,49,152 ,…} ( OEIS :  A097340 ), где можно установить постоянный член a (0) = 24 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

и η ( τ ) - эта функция Дедекинда .

Ссылки [ править ]

• Конуэй, Джон Хортон (1968), «Совершенный группа порядка 8,315,553,613,086,720,000 и спорадических простых групп», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 из (2): 398-400, DOI : 10.1073 / PNAS .61.2.398 , MR  0237634 , PMC  225171 , PMID  16591697
• Брауэр, Р .; Сах, Чих-хан, ред. (1969), Теория конечных групп: симпозиум , WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, MR  0240186
• Конуэй, Джон Хортон (1969), "группа порядка 8,315,553,613,086,720,000", Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79-88, DOI : 10,1112 / БЛМ / 1.1.79 , ISSN  0024-6093 , MR  0248216
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, MR  0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0920369
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту  0749038
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR  0827219
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту  1707296
• Атлас представлений конечных групп: Co 1 версия 2
• Атлас представлений конечных групп: Co 1 версия 3
• Уилсон, Роберт А. (1983), "Максимальные подгруппы группы Конвея Co₁", журнал алгебры , 85 (1): 144-165, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (83) 90122-9 , ISSN  0021-8693 , Руководство по ремонту  0723071
• Уилсон, Роберт А. (1988), "О 3-локальных подгруппах группы Конвея Co₁", Журнал алгебры , 113 (1): 261–262, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (88) 90192-5 , ISSN  0021-8693 , Руководство по ремонту  0928064
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для выпускников по математике 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-41970-6 , ISBN 978-3-540-57061-5, MR  1643949
• RT Curtis и BT Fairburn (2009), "Симметричное представление элементов группы Конвея .0", Journal of Symbolic Computing, 44: 1044-1067.

Внешние ссылки [ править ]