Плотный набор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Плотный набор» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В топологии и смежных областях математики , A подмножество из топологического пространства X называется плотным (в X ) , если каждая точка х в X либо принадлежит A или является предельной точкой из А ; то есть замыкание в А представляет собой весь набор X . ^[1] Неформально, для каждой точки в X , точка либо в A, либо произвольно «близка» к члену A. - например, рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел, потому что каждое действительное число либо является рациональным числом, либо имеет рациональное число, произвольно близкое к нему (см. Диофантово приближение ).

Формально, подмножество топологического пространства X плотно в X , если для любой точки х в X , любая окрестность из й содержит по крайней мере одну точку из A (то есть, имеет непустое пересечение с каждым непустым открытым подмножеством из Х ). Эквивалентно, плотно в X тогда и только тогда , когда наименьшее замкнутое подмножество из X , содержащее А является Х само по себе. Это также можно выразить, сказав, что закрытие из A является X , или что внутренняя часть дополнения в А пусто.

Плотность топологического пространства X является наименее кардинальной из плотного подмножества X .

Плотность в метрических пространствах [ править ]

Альтернативное определение плотного множества в случае метрических пространств следующее. Когда топология на X задается метрикой , то замыкание из А в X является объединением из А и множество всех пределов последовательностей элементов в А (его предельных точек ), ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$

{\ displaystyle {\ overline {A}} = A \ cup \ left \ {\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ mid a_ {n} \ in A {\ text {для всех}} n \ in \ mathbb {N} \ right \}}

Тогда A плотно в X, если

{\ displaystyle {\ overline {A}} = X.}

Если последовательность плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве X , то также плотно в X . Этот факт является одной из эквивалентных форм теоремы Бэра о категории . ${\ displaystyle \ left \ {U_ {n} \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ bigcap _ {п = 1} ^ {\ infty} U_ {п}}$

Примеры [ править ]

В действительных числах с обычной топологией имеют рациональные числа как счетное плотное подмножество , который показывает , что мощность плотного подмножества топологического пространства может быть строго меньше , чем мощность самого пространства. Эти иррациональные числа являются еще плотным подмножеством , который показывает , что топологическое пространство может иметь несколько непересекающихсяплотные подмножества (в частности, два плотных подмножества могут быть дополнениями друг друга), и они даже не обязательно должны быть одинаковой мощности. Возможно, что еще более удивительно, и рациональные, и иррациональные числа имеют пустую внутреннюю часть, показывая, что плотные множества не обязательно должны содержать непустые открытые множества. Пересечение двух плотных открытых подмножеств топологического пространства снова плотно и открыто.

По аппроксимационной теореме Вейерштрасса любую заданную комплекснозначную непрерывную функцию, определенную на отрезке [ a , b ], можно равномерно аппроксимировать настолько точно, насколько это необходимо, с помощью полиномиальной функции . Другими словами, полиномиальные функции плотны в пространстве C [ a , b ] непрерывных комплекснозначных функций на интервале [ a , b ], снабженном супремум-нормой .

Каждое метрическое пространство плотно в своем пополнении .

Свойства [ править ]

Каждое топологическое пространство представляет собой плотное подмножество самого себя. Для множества X с дискретной топологией все пространство является единственным плотным подмножеством. Каждое непустое подмножество множества X, снабженное тривиальной топологией , плотно, и каждая топология, для которой каждое непустое подмножество плотно, должна быть тривиальной.

Плотность транзитивна : даны три подмножества A , B и C топологического пространства X с A ⊆ B ⊆ C ⊆ X, такие что A плотно в B, а B плотно в C (в соответствующей топологии подпространства ), то A также плотно в C .

Изображения из плотного подмножества при сюръективной непрерывной функции снова плотно. Плотность топологического пространства (наименьшая из мощностей его плотных подмножеств) является топологическим инвариантом .

Топологическое пространство со связным плотным подмножеством обязательно само связно.

Непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножеств: если две непрерывные функции F , г : Х → Y в хаусдорфова пространства Y соглашаются на плотном подмножестве X , то они совпадают на всем X .

Для метрических пространств существуют универсальные пространства, в которые могут быть вложены все пространства заданной плотности : метрическое пространство плотности $α$ изометрично подпространству $C ([0, 1] α, R)$ , пространству вещественных непрерывных функций на продукт из $альфа$ копия единичного интервала . ^[2]

Связанные понятия [ править ]

Точка х подмножеств A топологического пространства X называется предельной точка из А (в X ) , если каждая окрестность х содержит точку , кроме й самого, а изолированная точка из A в противном случае. Подмножество без изолированных точек называется плотным в себе .

Подмножество A топологического пространства X называется нигде не плотным (в X ), если в X нет окрестности, на которой A плотно. Точно так же подмножество топологического пространства нигде не является плотным тогда и только тогда, когда внутренность его замыкания пуста. Внутренность дополнения нигде не плотного набора всегда плотная. Дополнением к замкнутому нигде не плотному множеству является открытое плотное множество. Для топологического пространства X подмножество A в X, которое может быть выражено как объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств X , называется скудным.. Рациональные числа, хотя и плотны в действительных числах, являются скудными как подмножество действительных чисел.

Топологическое пространство со счетным плотным подмножеством называется сепарабельным . Топологическое пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда пересечение счетного числа плотных открытых множеств всегда плотно. Топологическое пространство называется разрешимым, если оно представляет собой объединение двух непересекающихся плотных подмножеств. В более общем смысле топологическое пространство называется κ-разрешимым для кардинала κ, если оно содержит κ попарно непересекающихся плотных множеств.

Вложение топологического пространства X в качестве плотного подмножества компактного пространства называется компактифи- из X .

Линейный оператор между топологическими векторными пространствами X и Y называется плотно определен , если его доменом является плотным подмножеством X , и если его диапазон находится внутри Y . См. Также непрерывное линейное расширение .

Топологическое пространство X является hyperconnected тогда и только тогда , когда каждое непустое открытое множество плотно в X . Топологическое пространство субмаксимально тогда и только тогда, когда каждое плотное подмножество открыто.

Если - метрическое пространство, то непустое подмножество Y называется ε-плотным, если ${\ displaystyle \ left (X, d_ {X} \ right)}$

{\ displaystyle (\ forall x \ in X) \, (\ существует y \ in Y) \, d_ {X} (x, y) \ leq \ varepsilon.}

Тогда можно показать, что D плотно в том и только в том случае, если оно ε-плотно для любого ${\ displaystyle \ left (X, d_ {X} \ right)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0.}$

См. Также [ править ]

Теорема Блумберга
Плотный порядок
Плотный (теория решетки)

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

^ Стин, Луизиана; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-X
^ Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура» . Бык. Austral. Математика. Soc . 1 (2): 169–173. DOI : 10.1017 / S0004972700041411 .

Общие ссылки [ править ]

Николя Бурбаки (1989) [1971]. Общая топология, главы 1–4 . Элементы математики. Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2.
Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446

[CEIT-1] Стин, Луизиана; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-X

[2] Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура» . Бык. Austral. Математика. Soc . 1 (2): 169–173. DOI : 10.1017 / S0004972700041411 .

[1]