Динамический бильярд

Частица движется внутри стадиона Бунимовича, известного хаотичного бильярда. См. Раздел «Программное обеспечение» для создания такой анимации.

Динамические бильярдный является динамической системой , в которой чередуется между частицами свободного движением ( как правило , в виде прямой линии) и зеркальных отражениями от границы. Когда частица ударяется о границу, она отражается от нее без потери скорости (т.е. при упругих столкновениях). Бильярд - это гамильтоновы идеализации игры в бильярд , но область, ограниченная границей, может иметь формы, отличные от прямоугольной, и даже быть многомерными. Динамический бильярд также можно изучать на неевклидовых геометриях ; действительно, первые исследования бильярда установили его эргодическое движение наповерхности постоянной отрицательной кривизны . Изучение бильярда, который держат вне области, а не хранится в ней, известно как теория внешнего бильярда .

Движение частицы в биллиарде представляет собой прямую линию с постоянной энергией между отражениями от границы ( геодезическая, если риманова метрика биллиардного стола не плоская). Все отражения являются зеркальными : угол падения непосредственно перед столкновением равен углу отражения сразу после столкновения. Последовательность отражений описываются биллиардным , которая полностью характеризует движение частицы.

Бильярд отражает всю сложность гамильтоновых систем, от интегрируемости до хаотического движения , без трудностей интеграции уравнений движения для определения его отображения Пуанкаре . Биркгоф показал, что биллиардная система с эллиптическим столом интегрируема.

Уравнения движения [ править ]

Гамильтониан для частицы массы т свободно движущейся без трения на поверхности:

H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)

где - потенциал, рассчитанный на ноль внутри области, в которой частица может двигаться, и бесконечность в противном случае: $V(q)$ $\Omega$

V(q)={\begin{cases}0&q\in \Omega \\\infty &q\notin \Omega \end{cases}}

Такая форма потенциала гарантирует зеркальное отражение на границе. Кинетический термин гарантирует, что частица движется по прямой линии без каких-либо изменений энергии. Если частица должна двигаться по неевклидову многообразию , то гамильтониан заменяется на:

H(p,q)={\frac {1}{2m}}p^{i}p^{j}g_{ij}(q)+V(q)

где - метрический тензор в точке . Из-за очень простой структуры этого гамильтониана уравнения движения частицы, уравнения Гамильтона – Якоби , представляют собой не что иное, как уравнения геодезических на многообразии: частица движется по геодезическим . $g_{ij}(q)$ $q\;\in \;\Omega$

Известные бильярдные и бильярдные классы [ править ]

Бильярд Адамара [ править ]

Биллиард Адамара касается движения свободной точечной частицы по поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, простейшей компактной римановой поверхности с отрицательной кривизной, поверхности рода 2 (бублик с двумя отверстиями). Модель точно решаема и задается геодезическим потоком на поверхности. Это самый ранний из когда-либо изученных примеров детерминированного хаоса , представленный Жаком Адамаром в 1898 году.

Бильярд Артина [ править ]

Бильярд Артина рассматривает свободное движение точечной частицы по поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, простейшей некомпактной римановой поверхности , поверхности с одним острием. Он примечателен тем, что он точно решается, но не только эргодичен, но и сильно перемешивает . Это пример системы Аносова . Впервые эту систему изучил Эмиль Артин в 1924 году.

Рассеивающийся и полурассеивающий бильярд [ править ]

Пусть M - полное гладкое риманово многообразие без края, максимальная секционная кривизна которого не больше K и имеет радиус инъективности . Рассмотрим набор из п геодезически выпуклых подмножеств (стены) , таким образом, что их границы являются гладкими подмногообразиями коразмерности один. Пусть , где обозначает внутренность множества . Набор назовем бильярдным. Рассмотрим теперь частицу, которая движется внутри множества B с единичной скоростью по геодезической, пока не достигнет одного из множеств B _i $\rho >0$ $B_{i}\subset M$ $i=1,\ldots ,n$ $B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))$ $\operatorname {Int} (B_{i})$ $B_{i}$ $B\subset M$ (такое событие называется столкновение) , где он отражает в соответствии с законом «угол падения равен углу отражения» (если она достигает одного из множеств , траектория не определяется после этого момента). Такая динамическая система называется полудисперсным бильярдом . Если стенки строго выпуклые, то бильярд называют рассеивающим . Название мотивировано наблюдением, что локально параллельный пучок траекторий рассеивается после столкновения со строго выпуклой частью стены, но остается локально параллельным после столкновения с плоским участком стены. $B_{i}\cap B_{j}$ $i\neq j$

Рассеивающая граница играет для биллиардов ту же роль, что и отрицательная кривизна для геодезических потоков, вызывая экспоненциальную неустойчивость динамики. Именно этот механизм диспергирования придает диспергирующим бильярдам самые сильные хаотические свойства, как это было установлено Яковом Г. Синаем . ^[1] А именно, бильярд эргодично , смешивание , Бернулли , имеющий положительный Колмогоров-Sinai энтропия и экспоненциальное затухание из корреляций .

Хаотические свойства обычных полурассеивающих бильярдов не так хорошо изучены, однако свойства одного важного типа полурассеивающих бильярдов, газа твердых шариков, изучались в некоторых деталях с 1975 года (см. Следующий раздел).

Общие результаты Дмитрия Бураго и Сержа Ферлегера ^[2] о равномерной оценке числа столкновений в невырожденном полудисперсионном биллиарде позволяют установить конечность его топологической энтропии и не более чем экспоненциальный рост периодических траекторий. ^[3] Напротив, вырожденные полудисперсные биллиарды могут иметь бесконечную топологическую энтропию. ^[4]

Газ Лоренца, он же Синайский бильярд [ править ]

Частица, движущаяся внутри бильярда Синая, также известная как газ Лоренца.

Стол газа Лоренца (также известный как бильярд Синая) представляет собой квадрат с удаленным от его центра диском; стол плоский, без кривизны. Бильярд возникает в результате изучения поведения двух взаимодействующих дисков, подпрыгивающих внутри квадрата, отражаясь от границ квадрата и друг от друга. Исключив центр масс как конфигурационную переменную, динамика двух взаимодействующих дисков сводится к динамике бильярда Синая.

Бильярд был введен Яковом Г. Синаем как пример взаимодействующей гамильтоновой системы, которая проявляет физические термодинамические свойства: почти все (с точностью до нулевой меры) ее возможные траектории эргодичны и имеет положительный показатель Ляпунова .

Большим достижением Синая с этой моделью было показать, что классический ансамбль Больцмана – Гиббса для идеального газа, по сути, является максимально хаотическим бильярдом Адамара.

Стадион Бунимовича [ править ]

Стол, называемый стадионом Бунимовича, представляет собой прямоугольник, увенчанный полукругами, форму, называемую стадионом . До того, как его представил Леонид Бунимович , считалось , что биллиарды с положительными показателями Ляпунова нуждаются в выпуклых рассеивателях, таких как диск в биллиарде Синая, для экспоненциального расхождения орбит. Бунимович показал, что, рассматривая орбиты за точкой фокусировки вогнутой области, можно получить экспоненциальную расходимость.

Магнитный бильярд [ править ]

Движение заряженной частицы внутри бильярда на Синае с перпендикулярным магнитным полем.

Магнитный бильярд представляет собой бильярд, в котором заряженная частица распространяется под действием перпендикулярного магнитного поля. В результате траектория частицы меняется с прямой на дугу окружности. Радиус этого круга обратно пропорционален напряженности магнитного поля. Такой бильярд был полезен в реальных приложениях бильярда, обычно для моделирования наноустройств (см. Приложения).

Обобщенный бильярд [ править ]

Обобщенные биллиарды (ОБ) описывают движение материальной точки (частицы) внутри замкнутой области с кусочно-гладкой границей . На границе скорость точки преобразуется по мере того, как частица подвергается действию обобщенного биллиардного закона. GB были введены Львом Дмитриевичем Пустыльниковым в общем случае ^[5] и, в случае, когда является параллелепипедом ^[6], в связи с обоснованием второго начала термодинамики . С физической точки зрения ГБ описывают газ, состоящий из конечного числа частиц, движущихся в сосуде, при этом стенки сосуда нагреваются или охлаждаются. Суть обобщения заключается в следующем. Когда частица попадает в границу $\Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Pi$ $\Gamma$ , его скорость преобразуется с помощью заданной функции , определенной на прямом произведении (где - действительная линия, - точка границы, а - время), согласно следующему закону. Предположим, что траектория частицы, которая движется со скоростью , пересекается в момент времени . Затем в какой-то момент частица приобретает скорость , как если бы она испытывала упругий толчок от бесконечно тяжелой плоскости , касательной к этой точке , и в момент времени движется по нормали к at со скоростью . Подчеркнем, что позиция $f(\gamma ,\,t)$ $\Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ $\gamma \,\in \,\Gamma$ $t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}$ $v$ $\Gamma$ $\gamma \,\in \,\Gamma$ $t^{*}$ $t^{*}$ $v^{*}$ $\Gamma ^{*}$ $\Gamma$ $\gamma$ $t^{*}$ $\Gamma$ $\gamma$ $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})$ самой границы фиксируется, а ее действие на частицу определяется через функцию . $f$

Мы принимаем положительное направление движения самолета , чтобы быть к внутренней части . Таким образом, если производная , то после удара частица ускоряется. $\Gamma ^{*}$ $\Pi$ $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0$

Если скорость , приобретенная частицей в результате вышеуказанного закона отражения, направлена внутрь области , то частица выйдет за границу и продолжит движение до следующего столкновения с . Если скорость направлена наружу , то частица остается в этой точке до тех пор, пока в какой-то момент взаимодействие с границей не заставит частицу покинуть ее. $v^{*}$ $\Pi$ $\Pi$ $\Gamma$ $v^{*}$ $\Pi$ $\Gamma$ $\gamma$ ${\tilde {t}}\;>\;t^{*}$

Если функция не зависит от времени ; т.е. обобщенный биллиард совпадает с классическим. $f(\gamma ,\,t)$ $t$ $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0$

Этот обобщенный закон отражения очень естественен. Во-первых, он отражает очевидный факт неподвижности стенок сосуда с газом. Во-вторых, действие стенки на частицу остается классическим упругим толчком. По сути, мы рассматриваем бесконечно движущиеся границы с заданными скоростями.

Считается отражением от границы как в рамках классической механики (ньютоновский случай), так и теории относительности (релятивистский случай). $\Gamma$

Основные результаты: в ньютоновском случае энергия частицы ограничена, энтропия Гиббса является константой, ^[6]^[7]^[8] (в Примечаниях) и в релятивистском случае энергия частицы, энтропия Гиббса, энтропия с относительно фазового объема растут до бесконечности, ^[6]^[8] (в Примечаниях), ссылки на обобщенные биллиарды.

Квантовый хаос [ править ]

Квантовая версия бильярда легко изучается несколькими способами. Классический гамильтониан для бильярда, приведенный выше, заменяется уравнением Шредингера стационарного состояния или, точнее, $H\psi \;=\;E\psi$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q)

где - лапласиан . Потенциал, который бесконечен вне области, но равен нулю внутри нее, переводится в граничные условия Дирихле : $\nabla ^{2}$ $\Omega$

\psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega

Как обычно, волновые функции считаются ортонормированными :

\int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}

Любопытно, что уравнение Шредингера для свободного поля совпадает с уравнением Гельмгольца :

\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi =0

с

k^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}2mE_{n}

Это означает, что двух- и трехмерный квантовый бильярд можно моделировать с помощью классических резонансных мод резонатора радара заданной формы, открывая тем самым дверь для экспериментальной проверки. (Изучение мод резонатора радара должно быть ограничено поперечными магнитными (TM) модами, поскольку именно они подчиняются граничным условиям Дирихле).

Полуклассический предел соответствует, как можно видеть, эквивалентному увеличению массы, так что он ведет себя классически. $\hbar \;\to \;0$ $m\;\to \;\infty$

В качестве общего утверждения можно сказать, что всякий раз, когда классические уравнения движения интегрируемы (например, прямоугольные или круглые бильярдные столы), квантово-механическая версия биллиардов полностью разрешима. Когда классическая система хаотична, тогда квантовая система, как правило, не является точно решаемой и представляет многочисленные трудности при ее квантовании и оценке. Общее изучение хаотических квантовых систем известно как квантовый хаос .

Особенно яркий пример рубцевания на эллиптическом столе дает наблюдение так называемого квантового миража .

Приложения [ править ]

Бильярд, как квантовый, так и классический, применялся в нескольких областях физики для моделирования весьма разнообразных систем реального мира. Примеры включают лучевую оптику , ^[9] лазеры , ^[10]^[11] акустику , ^[12] оптические волокна (например, волокна с двойной оболочкой ^[13]^[14] ) или квантово-классическое соответствие. ^[15] Одно из их наиболее частых применений - моделирование частиц, движущихся внутри наноустройств, например квантовых точек , ^[16]^[17] pn-переходов , ^[18] сверхрешеток антиточек, ^[19]^[20] среди прочего. Причина такой широко распространенной эффективности бильярда как физических моделей кроется в том факте, что в ситуациях с небольшим количеством беспорядка или шума движение, например, таких частиц, как электроны или световые лучи, очень похоже на движение точки. частицы в бильярде. Кроме того, энергосберегающий характер столкновений частиц является прямым отражением сохранения энергии в гамильтоновой механике.

Программное обеспечение [ править ]

Программное обеспечение с открытым исходным кодом для моделирования бильярда существует для различных языков программирования. От самых последних до самых старых существующих программ: DynamicalBilliards.jl (Julia), Bill2D (C ++) и Billiard Simulator (Matlab). Анимации, представленные на этой странице, были созданы с помощью DynamicalBilliards.jl.

См. Также [ править ]

Модель Ферми – Улама (бильярд с колеблющимися стенками).
Алгоритм сжатия Любачевского – Стиллингера моделирует столкновение твердых сфер не только с границами, но и между собой при увеличении размеров ^[14]
Арифметический бильярд

Заметки [ править ]

^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 31 декабря 2013 года . Проверено 6 июня 2014 .CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Бураго, Д .; Ferleger, S .; Кононенко, А. (1 января 1998 г.). "Равномерные оценки числа столкновений в полудисперсных бильярдах". Анналы математики . 147 (3): 695–708. DOI : 10.2307 / 120962 . JSTOR 120962 .
^ Бураго, Д .; Ферлегер, С. (26 мая 1997 г.). «Топологическая энтропия полудисперсных бильярдов» . Эргодическая теория и динамические системы . 18 (4): 791. DOI : 10,1017 / S0143385798108246 .
^ Бураго, D. (1 февраля 2006). «Полудисперсные биллиарды бесконечной топологической энтропии». Эргодическая теория и динамические системы . 26 (1): 45–52. DOI : 10.1017 / S0143385704001002 .
^ Пустыльников, LD (1999). «Закон увеличения энтропии и обобщенный биллиард». Российские математические обзоры . 54 (3): 650–651. Bibcode : 1999RuMaS..54..650P . DOI : 10,1070 / rm1999v054n03abeh000168 .
^ a b c Пустыльников, Л.Д. (1995). «Модели Пуанкаре, кровавое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми». Российские математические обзоры . 50 (1): 145–189. Bibcode : 1995RuMaS..50..145P . DOI : 10,1070 / rm1995v050n01abeh001663 .
^ Пустыльников, LD (2005). «Обобщенный ньютоновский периодический биллиард в шаре». УМН . 60 (2): 171–172. Bibcode : 2005RuMaS..60..365P . DOI : 10.1070 / RM2005v060n02ABEH000839 .Английский перевод в Russian Mathematical Surveys , 60 (2), pp. 365-366 (2005).
^ а б Дерябин Михаил В .; Пустыльников, Лев Д. (2007). «Неравновесный газ и обобщенный бильярд». Журнал статистической физики . 126 (1): 117–132. Bibcode : 2007JSP ... 126..117D . DOI : 10.1007 / s10955-006-9250-4 .
^ Кузнецов, Дмитрий; Молони, Джером В. (сентябрь 2004 г.). «Граничное поведение мод лапласиана Дирихле». Журнал современной оптики . 51 (13): 1955–1962. Bibcode : 2004JMOp ... 51.1955K . DOI : 10.1080 / 09500340408232504 . ISSN 0950-0340 .
↑ Stone, A. Douglas (июнь 2010 г.). «Хаотические бильярдные лазеры». Природа . 465 (7299): 696–697. DOI : 10.1038 / 465696a . ISSN 1476-4687 . PMID 20535191 .
^ Gmachl, С. (1998-06-05). «Направленное излучение большой мощности от микролазеров с хаотическими резонаторами». Наука . 280 (5369): 1556–1564. arXiv : cond-mat / 9806183 . Bibcode : 1998Sci ... 280.1556G . DOI : 10.1126 / science.280.5369.1556 . PMID 9616111 .
^ Коянаги, Синитиро; Накано, Такеру; Кавабэ, Тетсудзи (1 августа 2008 г.). «Применение гамильтониана лучевого движения к акустике помещений». Журнал акустического общества Америки . 124 (2): 719–722. Bibcode : 2008ASAJ..124..719K . DOI : 10.1121 / 1.2946714 . ISSN 0001-4966 . PMID 18681564 .
^ Leproux, P .; С. Феврие; В. Дойя; П. Рой; Д. Пагну (2003). «Моделирование и оптимизация волоконных усилителей с двойной оболочкой с использованием хаотического распространения накачки». Оптоволоконная технология . 7 (4): 324–339. Bibcode : 2001OptFT ... 7..324L . DOI : 10.1006 / ofte.2001.0361 .
^ a b Б. Д. Любачевский, Ф. Х. Стиллинджер, Геометрические свойства случайных упаковок дисков, J. Statistical Physics 60 (1990), 561-583 http://www.princeton.edu/~fhs/geodisk/geodisk.pdf
^ Stöckmann, H.J .; Стейн, Дж. (1990-05-07). « Квантовый хаос в бильярде изучается с помощью микроволнового поглощения». Письма с физическим обзором . 64 (19): 2215–2218. Bibcode : 1990PhRvL..64.2215S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.64.2215 . ISSN 0031-9007 . PMID 10041617 .
^ Пономаренко, Л.А.; Щедин, Ф .; Кацнельсон, Мичиган; Yang, R .; Хилл, EW; Новоселов, К.С.; Гейм, АК (18.04.2008). "Хаотический бильярд Дирака в графеновых квантовых точках". Наука . 320 (5874): 356–358. arXiv : 0801.0160 . Bibcode : 2008Sci ... 320..356P . DOI : 10.1126 / science.1154663 . ISSN 0036-8075 . PMID 18420930 .
^ Берд, Джонатан П., изд. (2003). Электронный транспорт в квантовых точках . DOI : 10.1007 / 978-1-4615-0437-5 . ISBN 978-1-4020-7459-2.
^ Чен, Шаовэнь; Хан, Чжэн; Элахи, Мирза М .; Хабиб, К.М. Масум; Ван, Лэй; Вен, Бо; Гао, Юанда; Танигучи, Такаши; Ватанабэ, Кендзи; Хон, Джеймс; Гош, Авик В. (30 сентября 2016 г.). «Электронная оптика с pn переходами в баллистическом графене». Наука . 353 (6307): 1522–1525. arXiv : 1602.08182 . Bibcode : 2016Sci ... 353.1522C . DOI : 10.1126 / science.aaf5481 . ISSN 0036-8075 . PMID 27708099 .
^ Weiss, D .; Roukes, ML; Меншиг, А .; Grambow, P .; фон Клитцинг, К .; Вейманн, Г. (1991-05-27). «Электронный пинбол и соразмерные орбиты в периодическом массиве рассеивателей» (PDF) . Письма с физическим обзором . 66 (21): 2790–2793. Bibcode : 1991PhRvL..66.2790W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.66.2790 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043617 .
^ Дацерис, Джордж; Гейзель, Тео; Флейшманн, Рагнар (30 апреля 2019 г.). «Устойчивость баллистического транспорта в сверхрешетках антиточек» . Новый журнал физики . 21 (4): 043051. Bibcode : 2019NJPh ... 21d3051D . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / ab19cc . ISSN 1367-2630 .

Ссылки [ править ]

Бильярд Синая [ править ]

Синай, Я. Г. (1963). «[Об основах эргодической гипотезы динамической системы статистической механики]». Доклады Академии Наук СССР . 153 (6): 1261–1264.(на англ. яз., ДАН, 4 (1963), с. 1818–1822).
Я. Г. Синай, "Динамические системы с упругими отражениями", Российские математические обзоры , 25 , (1970) с. 137–191.
В.И. Арнольд и А. Авез, Эргодическая теория динамических систем , (1967), Готье-Виллар, Париж. (Английское издание: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968). (Содержит обсуждение и ссылки на бильярд Синая.)
Д. Хейтманн, Дж. П. Коттхаус, "Спектроскопия массивов квантовых точек", Physics Today (1993), стр. 56–63. (Предоставляет обзор экспериментальных испытаний квантовых версий бильярда Синая, реализованных в виде наноразмерных (мезоскопических) структур на кремниевых пластинах.)
С. Шридхар и В. Т. Лу, " Синайский бильярд, дзета-функции Рюэля и резонансы Рюэля: микроволновые эксперименты ", (2002) Journal of Statistical Physics , Vol. 108 № 5/6, стр. 755–766.
Линас Вепстас, Бильярд Синая , (2001). (Предоставляет изображения бильярда Синая с трассировкой лучей в трехмерном пространстве. Эти изображения обеспечивают графическую, интуитивно понятную демонстрацию сильной эргодичности системы.)
Н. Чернов, Р. Маркарян, «Хаотический бильярд», 2006, Математический обзор и монографии № 127, AMS.

Странный бильярд [ править ]

T. Schürmann и I. Hoffmann, Энтропия странных биллиардов внутри n-симплексов. J. Phys. A28, page 5033ff, 1995. PDF-документ

Стадион Бунимовича [ править ]

Л.А. Бунимович (1979). «Об эргодических свойствах бильярда, не рассеивающегося в никуда». Commun Math Phys . 65 (3): 295–312. Bibcode : 1979CMaPh..65..295B . DOI : 10.1007 / BF01197884 .
Бунимович, Я.А. Г. Синай (1980). «Марковские перегородки для дисперсного бильярда». Commun Math Phys . 78 (2): 247–280. Bibcode : 1980CMaPh..78..247B . DOI : 10.1007 / bf01942372 .
Флэш-анимация хаотичного стадиона Бунимовича

Обобщенный бильярд [ править ]

М. В. Дерябин, Л. Д. Пустыльников, "Обобщенные релятивистские биллиарды", Рег. и Chaotic Dyn. 8 (3), стр. 283–296 (2003).
М. В. Дерябин, Л. Д. Пустыльников, "Об обобщенных релятивистских бильярдах во внешних силовых полях", Письма по математической физике , 63 (3), стр. 195–207 (2003).
М. В. Дерябин, Л. Д. Пустыльников, "Экспоненциальные аттракторы в обобщенных релятивистских биллиардах", Комм. Математика. Phys. 248 (3), стр. 527–552 (2004).

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Бильярд» . MathWorld .
Научная статья по динамическому бильярду (Леонид Бунимович)
Введение в динамические системы с использованием бильярда , Институт физики сложных систем им. Макса Планка

[1] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 31 декабря 2013 года . Проверено 6 июня 2014 .CS1 maint: archived copy as title (link)

[2] Бураго, Д .; Ferleger, S .; Кононенко, А. (1 января 1998 г.). "Равномерные оценки числа столкновений в полудисперсных бильярдах". Анналы математики . 147 (3): 695–708. DOI : 10.2307 / 120962 . JSTOR 120962 .

[3] Бураго, Д .; Ферлегер, С. (26 мая 1997 г.). «Топологическая энтропия полудисперсных бильярдов» . Эргодическая теория и динамические системы . 18 (4): 791. DOI : 10,1017 / S0143385798108246 .

[4] Бураго, D. (1 февраля 2006). «Полудисперсные биллиарды бесконечной топологической энтропии». Эргодическая теория и динамические системы . 26 (1): 45–52. DOI : 10.1017 / S0143385704001002 .

[Pustyln1-5] Пустыльников, LD (1999). «Закон увеличения энтропии и обобщенный биллиард». Российские математические обзоры . 54 (3): 650–651. Bibcode : 1999RuMaS..54..650P . DOI : 10,1070 / rm1999v054n03abeh000168 .

[Pustyln2-6] Пустыльников, Л.Д. (1995). «Модели Пуанкаре, кровавое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми». Российские математические обзоры . 50 (1): 145–189. Bibcode : 1995RuMaS..50..145P . DOI : 10,1070 / rm1995v050n01abeh001663 .

[Pustyln3-7] Пустыльников, LD (2005). «Обобщенный ньютоновский периодический биллиард в шаре». УМН . 60 (2): 171–172. Bibcode : 2005RuMaS..60..365P . DOI : 10.1070 / RM2005v060n02ABEH000839 .Английский перевод в Russian Mathematical Surveys , 60 (2), pp. 365-366 (2005).

[Pustyln7-8] а б Дерябин Михаил В .; Пустыльников, Лев Д. (2007). «Неравновесный газ и обобщенный бильярд». Журнал статистической физики . 126 (1): 117–132. Bibcode : 2007JSP ... 126..117D . DOI : 10.1007 / s10955-006-9250-4 .

[9] Кузнецов, Дмитрий; Молони, Джером В. (сентябрь 2004 г.). «Граничное поведение мод лапласиана Дирихле». Журнал современной оптики . 51 (13): 1955–1962. Bibcode : 2004JMOp ... 51.1955K . DOI : 10.1080 / 09500340408232504 . ISSN 0950-0340 .

[10] Stone, A. Douglas (июнь 2010 г.). «Хаотические бильярдные лазеры». Природа . 465 (7299): 696–697. DOI : 10.1038 / 465696a . ISSN 1476-4687 . PMID 20535191 .

[11] Gmachl, С. (1998-06-05). «Направленное излучение большой мощности от микролазеров с хаотическими резонаторами». Наука . 280 (5369): 1556–1564. arXiv : cond-mat / 9806183 . Bibcode : 1998Sci ... 280.1556G . DOI : 10.1126 / science.280.5369.1556 . PMID 9616111 .

[12] Коянаги, Синитиро; Накано, Такеру; Кавабэ, Тетсудзи (1 августа 2008 г.). «Применение гамильтониана лучевого движения к акустике помещений». Журнал акустического общества Америки . 124 (2): 719–722. Bibcode : 2008ASAJ..124..719K . DOI : 10.1121 / 1.2946714 . ISSN 0001-4966 . PMID 18681564 .

[Doya-13] Leproux, P .; С. Феврие; В. Дойя; П. Рой; Д. Пагну (2003). «Моделирование и оптимизация волоконных усилителей с двойной оболочкой с использованием хаотического распространения накачки». Оптоволоконная технология . 7 (4): 324–339. Bibcode : 2001OptFT ... 7..324L . DOI : 10.1006 / ofte.2001.0361 .

[:0-14] Б. Д. Любачевский, Ф. Х. Стиллинджер, Геометрические свойства случайных упаковок дисков, J. Statistical Physics 60 (1990), 561-583 http://www.princeton.edu/~fhs/geodisk/geodisk.pdf

[15] Stöckmann, H.J .; Стейн, Дж. (1990-05-07). « Квантовый хаос в бильярде изучается с помощью микроволнового поглощения». Письма с физическим обзором . 64 (19): 2215–2218. Bibcode : 1990PhRvL..64.2215S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.64.2215 . ISSN 0031-9007 . PMID 10041617 .

[16] Пономаренко, Л.А.; Щедин, Ф .; Кацнельсон, Мичиган; Yang, R .; Хилл, EW; Новоселов, К.С.; Гейм, АК (18.04.2008). "Хаотический бильярд Дирака в графеновых квантовых точках". Наука . 320 (5874): 356–358. arXiv : 0801.0160 . Bibcode : 2008Sci ... 320..356P . DOI : 10.1126 / science.1154663 . ISSN 0036-8075 . PMID 18420930 .

[17] Берд, Джонатан П., изд. (2003). Электронный транспорт в квантовых точках . DOI : 10.1007 / 978-1-4615-0437-5 . ISBN 978-1-4020-7459-2.

[18] Чен, Шаовэнь; Хан, Чжэн; Элахи, Мирза М .; Хабиб, К.М. Масум; Ван, Лэй; Вен, Бо; Гао, Юанда; Танигучи, Такаши; Ватанабэ, Кендзи; Хон, Джеймс; Гош, Авик В. (30 сентября 2016 г.). «Электронная оптика с pn переходами в баллистическом графене». Наука . 353 (6307): 1522–1525. arXiv : 1602.08182 . Bibcode : 2016Sci ... 353.1522C . DOI : 10.1126 / science.aaf5481 . ISSN 0036-8075 . PMID 27708099 .

[19] Weiss, D .; Roukes, ML; Меншиг, А .; Grambow, P .; фон Клитцинг, К .; Вейманн, Г. (1991-05-27). «Электронный пинбол и соразмерные орбиты в периодическом массиве рассеивателей» (PDF) . Письма с физическим обзором . 66 (21): 2790–2793. Bibcode : 1991PhRvL..66.2790W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.66.2790 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043617 .

[20] Дацерис, Джордж; Гейзель, Тео; Флейшманн, Рагнар (30 апреля 2019 г.). «Устойчивость баллистического транспорта в сверхрешетках антиточек» . Новый журнал физики . 21 (4): 043051. Bibcode : 2019NJPh ... 21d3051D . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / ab19cc . ISSN 1367-2630 .