Обогащенная категория

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Поиск источников: «Расширенная категория» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( август 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории категории , филиал математики , обогащенные категории обобщают идею категории , заменив Хома наборы с предметами из общей моноидальной категории . Это мотивировано тем наблюдением , что во многих практических приложениях рупор набора часто имеет дополнительную структуру , которая должна уважаться, например, того , чтобы быть векторным пространством из морфизмов , или топологическое пространство морфизмов. В обогащенной категории набор морфизмов (гом-множество), связанный с каждой парой объектов, заменяется объектомв некоторой фиксированной моноидальной категории «гом-объектов». Чтобы имитировать (ассоциативную) композицию морфизмов в обычной категории, гом-категория должна иметь средства для объединения гом-объектов ассоциативным образом: то есть должна быть бинарная операция над объектами, дающая нам по крайней мере структура моноидальной категории , хотя в некоторых контекстах может потребоваться, чтобы операция была коммутативной и, возможно, также имела правый сопряженный элемент (т.е. делала категорию симметричной моноидальной или даже симметричной замкнутой моноидальной соответственно). ^{[ необходима цитата ]}

Таким образом, расширенная теория категорий включает в себя самые разные структуры, включая

обычные категории, где гом-набор несет дополнительную структуру, помимо того, что он является набором. То есть существуют операции или свойства морфизмов, которые необходимо учитывать при композиции (например, существование 2-ячеек между морфизмами и их горизонтальная композиция в 2-категории или операция сложения морфизмов в абелевой категории )
категориально-подобные сущности, которые сами по себе не имеют понятия индивидуального морфизма, но чьи гом-объекты имеют аналогичные композиционные аспекты (например, предварительные порядки , где правило композиции обеспечивает транзитивность, или метрические пространства Ловера , где гом-объекты являются числовыми расстояниями, а правило композиции обеспечивает неравенство треугольника).

В случае, когда категория гом-объекта оказывается категорией множеств с обычным декартовым произведением, определения расширенной категории, обогащенного функтора и т. Д. Сводятся к исходным определениям из обычной теории категорий.

Обогащенная категория с гом-объектами из моноидальной категории M называется обогащенной категорией над M или обогащенной категорией в M , или просто M-категорией . Из-за того, что Мак Лейн предпочитает букву V в отношении моноидальной категории, обогащенные категории также иногда обычно называют V-категориями .

Определение [ править ]

Пусть $(M, \otimes, I, α, λ, ρ)$ - моноидальная категория . Тогда обогащенная категория C (альтернативно, в ситуациях, когда выбор моноидальной категории должен быть явным, категория, обогащенная над M , или M - категория ), состоит из

класс О.Б. ( С ) от объектов из C ,
объект $C (a, b)$ из M для каждой пары объектов a , b в C , используемый для определения стрелки в C как стрелки в M , $f:a\rightarrow b$ $f:I\rightarrow C(a,b)$
$идентификатор$ стрелки $a$ $:$ $I$ $\to$ $C$ $($ $a$ $,$ $a$ $)$ в M, обозначающий идентичность для каждого объекта a в C , и
стрелка $° abc : C (b, c) \otimes C (a, b) \to C (a, c)$ в M, обозначающая композицию для каждой тройки объектов a , b , c в C , используемая для определения композиции и в C как вместе с тремя диаграммами коммутации, обсуждаемыми ниже. $f:a\rightarrow b$ $g:b\rightarrow c$ $g\circ _{\textbf {C}}f={^{\circ }}_{abc}(g\otimes f)$

Первая диаграмма выражает ассоциативность композиции:

Таким образом, теперь ассоциатор моноидальной категории M берет на себя требование ассоциативности .

В случае, когда M - категория множеств, а $(\otimes, I, α, λ, ρ)$ - моноидальная структура $(\times, {•},\dots),$ заданная декартовым произведением , конечным одноточечным множеством и канонические изоморфизмы, которые они индуцируют, то каждый $C (a, b)$ - это множество, элементы которого можно рассматривать как «индивидуальные морфизмы» C , тогда как °, теперь функция, определяет, как составляются последовательные морфизмы. В этом случае каждый путь, ведущий к $C (a, d)$ на первой диаграмме соответствует одному из двух способов составления трех последовательных индивидуальных морфизмов $a \to b \to c \to d$ , то есть элементов из $C (a, b)$ , $C (b, c)$ и $C (c, d)$ . Коммутативность диаграммы - это просто утверждение, что оба порядка композиции дают один и тот же результат, точно такой, как требуется для обычных категорий.

Новым здесь является то, что приведенное выше выражает требование ассоциативности без какой-либо явной ссылки на отдельные морфизмы в обогащенной категории C - опять же, эти диаграммы предназначены для морфизмов в моноидальной категории M , а не в C - таким образом, концепция ассоциативности композиция имеет смысл в общем случае, когда гом-объекты $C (a, b)$ абстрактны, а сама C даже не должна иметь никакого понятия индивидуального морфизма.

Представление о том, что обычная категория должна иметь тождественные морфизмы, заменяется второй и третьей диаграммами, которые выражают идентичность в терминах левых и правых униторов :

и

Возвращаясь к случаю, когда M - категория множеств с декартовым произведением, морфизмы $id a : I \to C (a, a)$ становятся функциями из одноточечного множества I и должны затем для любого данного объекта a идентифицировать конкретный элемент каждого множества $C (a, a)$ , что-то, что мы можем тогда думать как "морфизм тождества для a в CКоммутативность последних двух диаграмм - это тогда утверждение, что композиции (определяемые функциями °), включающие эти выделенные индивидуальные «морфизмы тождества в C », ведут себя в точности согласно правилам тождества для обычных категорий.

Обратите внимание, что здесь упоминается несколько различных понятий «идентичность»:

моноидальная объект идентичности $Я$ из М , будучи тождество ⊗ только в моноидном -theoretic смысла, и даже тогда , только с точностью до канонического изоморфизма $(Х, р)$ .
тождественный морфизм $1 С ( , б) : С ( , б) \to C ( , б)$ , что М имеет для каждого из его объектов, в силу того , что (по крайней мере) обычной категории.
обогащенная категория идентичности $ID : Я \to С ( , )$ для каждого объекта а в C , что опять морфизм М , который, даже в том случае , когда С будет считаться, что отдельные морфизмы себе, не обязательно выявление конкретного.

Примеры расширенных категорий [ править ]

Обычные категории - это категории, обогащенные ( Set , ×, {•}), категорией множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции, как отмечалось выше.
2-категории - это категории, расширенные по сравнению с Cat , категорией малых категорий , с моноидальной структурой, задаваемой декартовым произведением. В этом случае 2-клетки между морфизмами a → b и правилом вертикальной композиции, которое их связывает, соответствуют морфизмам обычной категории C ( a , b ) и ее собственному правилу композиции.
Локально малые категории - это категории, обогащенные ( SmSet , ×), категорией малых множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции. (Локально малая категория - это категория, гом-объекты которой являются малыми множествами.)
Локально конечные категории , по аналогии, являются категориями, обогащенными над ( FinSet , ×), категорией конечных множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции.
Предварительно упорядоченные множества - это категории, обогащенные определенной моноидальной категорией 2 , состоящей из двух объектов и одной неединичной стрелки между ними, которую мы можем записать как ЛОЖЬ → ИСТИНА , соединение как операция моноида и ИСТИНА как его моноидальная идентичность. Затем гом-объекты 2 ( a , b ) просто отрицают или подтверждают конкретное бинарное отношение для данной пары объектов ( a , b ); для более привычных обозначений это соотношение можно записать как $a \leq b$ . Наличие композиций и идентичности, необходимых для категории, обогащенной2 немедленно перевести в следующие аксиомы соответственно

a ≤ b и b ≤ c ⇒ a ≤ c (транзитивность)

ИСТИНА ⇒ a ≤ a (рефлексивность)

которые являются не чем иным, как аксиомами, что ≤ является предпорядком. А поскольку все диаграммы в 2 коммутируют, это единственное содержание аксиом обогащенной категории для категорий, обогащенных более чем 2 .

Обобщенные метрические пространства Уильяма Ловера , также известные как псевдоквазиметрические пространства , представляют собой категории, обогащенные над неотрицательными расширенными действительными числами $R + \infty$ , где последним придается обычная структура категорий через обратный к обычному порядку (т. Е. Существует морфизм r → s тогда и только тогда, когда r ≥ s ) и моноидальную структуру через сложение (+) и нуль (0). Хом-объекты $R + \infty (a, b)$ по существу являются расстояниями d ( a , b ), а существование композиции и тождества переводится как

d ( b , c ) + d ( a , b ) ≥ d ( a , c ) (неравенство треугольника)

0 ≥ d ( а , а )

Категории с нулевыми морфизмами - это категории, обогащенные над ( Set * , ∧), категорией отмеченных множеств с разбивающим произведением в качестве моноидальной операции; особая точка Хом-объект Хомы ( A , B ) соответствует нулевому морфизму от А до B .
Категория Ab из абелевых групп и категория R-Mod из модулей над коммутативным кольцом , а категория Вект из векторных пространств над заданным полем обогащены над собой, где морфизмы наследуют алгебраической структуры «точечно». В более общем смысле, предаддитивные категории - это категории, обогащенные над ( Ab , ⊗) тензорным произведением как моноидальной операцией (абелевы группы рассматриваются как Z -модули).

Связь с моноидальными функторами [ править ]

Если есть моноидальный функтор из категории моноидального М к моноидальной категории N , то любая категория , обогащенная над М может быть переосмыслена как категория обогащенной над N . Каждая моноидальная категория M имеет моноидальный функтор M ( I , -) по отношению к категории множеств, поэтому любая обогащенная категория имеет базовую обычную категорию. Во многих примерах (например, приведенных выше) этот функтор точен , поэтому категорию, обогащенную над M, можно описать как обычную категорию с определенной дополнительной структурой или свойствами.

Обогащенные функторы [ править ]

Обогащенная функтор является подходящим обобщением понятия функтора к обогащенным категориям. Обогащенные функторы затем отображают между обогащенными категориями, которые уважают обогащенную структуру.

Если C и D являются M -категориями (то есть категориями, обогащенными над моноидальной категорией M ), M- обогащенный функтор T : C → D - это карта, которая назначает каждому объекту C объект из D и каждой паре объектов a и b в C обеспечивают морфизм в M T _ab : C ( a , b ) → D ( T ( a ),T ( b )) между гом-объектами C и D (которые являются объектами в M ), удовлетворяя расширенные версии аксиом функтора, а именно сохранение тождественности и композиции.

Поскольку гом-объекты не обязательно должны быть множествами в обогащенной категории, нельзя говорить о конкретном морфизме. Больше нет ни понятия тождественного морфизма, ни особой композиции двух морфизмов. Вместо этого морфизмы из единицы в гом-объект следует рассматривать как выбор идентичности, а морфизмы из моноидального продукта следует рассматривать как композицию. Обычные функториальные аксиомы заменяются соответствующими коммутативными диаграммами, включающими эти морфизмы.

В деталях видно, что диаграмма

коммутирует, что составляет уравнение

T_{aa}\circ \operatorname {id} _{a}=\operatorname {id} _{T(a)},

где я есть единичный объект М . Это аналогично правилу F (id _a ) = id _{F ( a )} для обычных функторов. Дополнительно требуется, чтобы диаграмма

коммутируют, что аналогично правилу F ( fg ) = F ( f ) F ( g ) для обычных функторов.

См. Также [ править ]

Внутренняя категория
Сопряжение Исбелла

Ссылки [ править ]

Келли, GM (2005) [1982]. Основные понятия теории обогащенных категорий . Отпечатки в теории и приложениях категорий. 10 .
Мак-Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Ловер, FW (2002) [1973]. Метрические пространства, обобщенная логика и замкнутые категории . Отпечатки в теории и приложениях категорий. 1 .
Обогащенная категория в nLab