Бесплатная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то свободная группа F _S на заданном множестве S состоит из всех слов , которые могут быть построены из членов S , учитывая два слова по - другому , если их равенство не следует из аксиом группы (например , ст = Суу ^-1 т , но s ≠ t ⁻¹ для s , t , u ∈ S ). Члены S называются генераторами из F _S, а количество образующих - ранг свободной группы. Произвольная группа G называется свободным , если оно изоморфно к F _S для некоторого подмножества S из G , то есть, если существует подмножество S из G , таких , что каждый элемент из G может быть записана точно одним способом как произведение конечного многие элементы S и их обратные (не считая тривиальных вариаций, таких как st = suu ⁻¹ t ).

Родственное, но другое понятие - свободная абелева группа ; как понятия конкретные экземпляры свободного объекта от универсальной алгебры . Таким образом, свободные группы определяются своим универсальным свойством .

История [ править ]

Свободные группы впервые возникли при изучении гиперболической геометрии как примеры фуксовых групп (дискретных групп, действующих изометриями на гиперболической плоскости ). В статье 1882 года Вальтер фон Дейк указал, что эти группы имеют простейшие возможные представления . ^[1] Алгебраическое изучение свободных групп было начато Якобом Нильсеном в 1924 году, который дал им название и установил многие из их основных свойств. ^{[2] [3] [4]} Макс Ден осознал связь с топологией и получил первое доказательство полной теоремы Нильсена – Шрайера .^[5] Отто Шрайер опубликовал алгебраическое доказательство этого результата в 1927 г. ^[6], а Курт Рейдемейстер включил исчерпывающее рассмотрение свободных групп в свою книгу 1932 г. по комбинаторной топологии . ^[7] Позже, в 1930-х годах, Вильгельм Магнус обнаружил связь между нижним центральным рядом свободных групп и свободными алгебрами Ли .

Примеры [ править ]

Группа ( Z , +) целых чисел не имеет ранга 1; генераторная установка S = {1}. Целые числа также являются свободной абелевой группой , хотя все свободные группы ранга неабелевы. Свободная группа на двухэлементном множестве S встречается в доказательстве парадокса Банаха – Тарского и описывается там.${\ displaystyle \ geq 2}$

С другой стороны, никакая нетривиальная конечная группа не может быть свободной, поскольку элементы свободной образующей свободной группы имеют бесконечный порядок.

В алгебраической топологии , то фундаментальная группа из букета K окружностей (набор K петель , имеющих только одну общую точку) является свободной группой на множестве K элементов.

Строительство [ править ]

Свободная группа Р _S с множеством свободного образующих S может быть построена следующим образом . S - это набор символов, и мы предполагаем, что для каждого s в S существует соответствующий «обратный» символ, s ⁻¹ , в наборе S ⁻¹ . Пусть T  =  S  ∪  S ^-1 , и определит слово в S , чтобы быть любым письменным произведением элементов Т . То есть слово в S - это элемент моноида, порожденный T. Пустое слово - это слово без символов. Например, если S  = { a ,  b ,  c }, то T  = { a ,  a ⁻¹ ,  b ,  b ⁻¹ ,  c ,  c ⁻¹ } и

${\ displaystyle ab ^ {3} c ^ {- 1} ca ^ {- 1} c \,}$

это слово в S .

Если элемент S лежит непосредственно рядом со своим обратным, слово можно упростить, опустив пару c, c ⁻¹ :

${\ displaystyle ab ^ {3} c ^ {- 1} ca ^ {- 1} c \; \; \ longrightarrow \; \; ab ^ {3} \, a ^ {- 1} c.}$

Слово, которое не может быть далее упрощено, называется сокращенным .

Свободная группа F _S определяется как группа всех сокращенных слов в S с конкатенацией слов (с последующим сокращением, если необходимо) в качестве групповой операции. Идентичность - пустое слово.

Слово называется циклически сокращенным, если его первая и последняя буква не обратны друг другу. Каждое слово сопряжено с циклически сокращенным словом, а циклически сокращенное сопряжение циклически сокращенного слова - это циклическая перестановка букв в слове. Например, b ^-1 abcb не сокращается циклически, но сопряжен с abc , которое циклически сокращается. Единственными циклически восстанавливаемыми конъюгатами abc являются abc , bca и cab .

Универсальная собственность [ править ]

Свободная группа F _S является универсальной группы , порожденной множеством S . Это можно формализовать следующим универсальным свойством : для любой функции f из S в группу G существует единственный гомоморфизм φ :  F _S  →  G, который коммутирует следующую диаграмму (где безымянное отображение означает включение из S в F _S ):

То есть, гомоморфизмы F _S  →  G находится во взаимно однозначное соответствие с функциями S  →  G . Для несвободной группы наличие отношений ограничило бы возможные образы генераторов при гомоморфизме.

Чтобы увидеть, как это соотносится с конструктивным определением, представьте, что отображение S в F _S отправляется каждому символу в слово, состоящее из этого символа. Для построения φ для данного е , сначала заметим , что φ посылает пустое слово к личности G , и он должен согласиться с F на элементах S . Для остальных слов (состоящих из более чем одного символа) φ можно однозначно расширить, так как это гомоморфизм, т. Е. Φ ( ab ) = φ ( a ) φ ( b ).

Указанное выше свойство характеризует свободные группы с точностью до изоморфизма и иногда используется в качестве альтернативного определения. Он известен как универсальное свойство свободных групп, а также множество производящей S называется базисом для F _S . Основа для свободной группы не определяется однозначно.

Будучи характеризуется универсальным свойством является стандартной функцией свободных объектов в универсальной алгебре . На языке теории категорий построение свободной группы (аналогично большинству конструкций свободных объектов) представляет собой функтор из категории множеств в категорию групп . Этот функтор остается сопряженным с забывчивым функтором от групп к множествам.

Факты и теоремы [ править ]

Некоторые свойства свободных групп легко следуют из определения:

1. Любая группа G является гомоморфным образом некоторой свободной группы F ( S ). Пусть S некоторое множество образующих в G . Естественное отображение f : F ( S ) → G является эпиморфизмом , что доказывает утверждение. Эквивалентно G изоморфна фактор-группе некоторой свободной группы F ( S ). Ядро ф представляет собой совокупность отношений в представлении о G . Если здесь S можно выбрать конечным, то G называетсяконечно порожденный .
2. Если S имеет более одного элемента, то F ( S ) не абелев , и фактически центр F ( S ) тривиален (то есть состоит только из единичного элемента).
3. Две свободные группы F ( S ) и F ( T ) изоморфны тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность . Эта мощность называется рангом свободной группы F . Таким образом , для каждого кардинального числа к , есть, до изоморфизма, ровно одна свободная группа ранга к .
4. Свободная группа конечного ранга n > 1 имеет экспоненциальную скорость роста порядка 2 n - 1.

Еще несколько связанных результатов:

1. Теорема Нильсена – Шрайера : каждая подгруппа свободной группы свободна.
2. В свободной группе ранга k явно есть подгруппы любого ранга меньше k . Менее очевидно, что ( неабелева! ) Свободная группа ранга не меньше 2 имеет подгруппы всех счетных рангов.
3. Коммутант свободной группы ранга к > 1 имеет бесконечный ранг; например, для F ( a , b ) он свободно порождается коммутаторами [ a ^m , b ⁿ ] для ненулевых m и n .
4. Свободная группа из двух элементов является универсальной SQ ; сказанное выше следует из того, что любая универсальная группа SQ имеет подгруппы всех счетных рангов.
5. Любая группа , которая действует на дереве, свободно и с сохранением ориентации , является свободной группой счетного ранга (задается 1 плюс эйлерова характеристика на фактор - графа ).
6. Граф Кэли свободной группы конечного ранга относительно свободного порождающего множества - это дерево, на котором группа действует свободно, сохраняя ориентацию.
7. Группоидом подход к этим результатам, приведены в работе PJ Higgins ниже, является своего рода извлечена из подхода с использованием охватывающих пространства . Это позволяет получить более сильные результаты, например, по теореме Грушко , и нормальную форму для фундаментального группоида графа групп. В этом подходе широко используются свободные группоиды на ориентированном графе.
8. Из теоремы Грушко следует , что если подмножество B свободной группы F на n элементах порождает F и имеет n элементов, то B порождает F свободно.

Свободная абелева группа [ править ]

Аналогичным образом с очевидными модификациями определяется свободная абелева группа на множестве S через универсальное свойство: рассмотрим пару ( F , φ ), где F - абелева группа, а φ : S → F - функция. F называется свободной абелевой группой на S относительно φ, если для любой абелевой группы G и любой функции ψ : S → G существует единственный гомоморфизм f : F → G такой, что

е ( φ ( s )) = ψ ( ы ), для всех х в S .

Свободную абелеву группу на S можно явно идентифицировать как свободную группу F ( S ) по модулю подгруппы, порожденной ее коммутаторами, [F ( S ), F ( S )], то есть ее абелианизацией . Другими словами, свободная абелева группа на S - это множество слов, которые различаются только с точностью до букв. Следовательно, ранг свободной группы можно также определить как ранг ее абелианизации как свободной абелевой группы.

Проблемы Тарского [ править ]

Примерно в 1945 году Альфред Тарский спросил, имеют ли свободные группы на двух или более образующих одну и ту же теорию первого порядка и разрешима ли эта теория . Села (2006) ответил на первый вопрос, показав, что любые две неабелевы свободные группы имеют одну и ту же теорию первого порядка, а Харлампович и Мясников (2006) ответили на оба вопроса, показав, что эта теория разрешима.

Аналогичный нерешенный (по состоянию на 2011 г.) вопрос в свободной теории вероятностей спрашивает, изоморфны ли групповые алгебры фон Неймана любых двух неабелевых конечно порожденных свободных групп.

См. Также [ править ]

• Генераторная группа группы
• Презентация группы
• Преобразование Нильсена , факторизация элементов группы автоморфизмов свободной группы
• Обычная форма для свободных групп и бесплатное произведение групп
• Бесплатный продукт

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Харлампович, Ольга; Мясников, Алексей (2006). «Элементарная теория свободных неабелевых групп» (PDF) . Журнал алгебры . 302 (2): 451–552. DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2006.03.033 . Руководство по ремонту  2293770 . Архивировано из оригинального (PDF) 21 октября 2016 года . Проверено 4 сентября 2015 .
• В. Магнус, А. Каррасс и Д. Солитар, «Комбинаторная теория групп», Довер (1976).
• П. Дж. Хиггинс, 1971, "Категории и группоиды", ван Ностранд, {Нью-Йорк}. Перепечатки в теории и приложениях категорий, 7 (2005), стр. 1–195.
• Села, Злил (2006). «Диофантова геометрия над группами. VI. Элементарная теория свободной группы». Геом. Функц. Анальный . 16 (3): 707–730. DOI : 10.1007 / s00039-006-0565-8 . Руководство по ремонту  2238945 .
• Серр, Жан-Пьер , Деревья , Спрингер (2003) (английский перевод «arbres, amalgames, SL ₂ », 3-е издание, astérisque 46 (1983))
• П. Дж. Хиггинс, Фундаментальный группоид графа групп , Журнал Лондонского математического общества (2) 13 (1976), вып. 1, 145–149.
• Алуффи, Паоло (2009). Алгебра: Глава 0 . Книжный магазин AMS. п. 70. ISBN 978-0-8218-4781-7.CS1 maint: ref = harv ( ссылка ).
• Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра . Springer. п. 27. ISBN 978-0-387-71567-4.CS1 maint: ref = harv ( ссылка ).