В физике , общековариантных преобразования являются симметриями из теории гравитации на мировом многообразии . Это калибровочные преобразования , параметрические функции которых являются векторными полями на. С физической точки зрения общековариантные преобразования рассматриваются как частные ( голономные ) преобразования системы отсчета в общей теории относительности . В математике общековариантные преобразования определяются как частные автоморфизмы так называемых естественных расслоений .
Математическое определение
Позволять - расслоенное многообразие с локальными расслоенными координатами. Каждый автоморфизмпроецируется на диффеоморфизм своей базы. Однако обратное неверно. Диффеоморфизм не обязательно вызывать автоморфизм .
В частности, инфинитезимальный генератор однопараметрической группы Ли автоморфизмовявляется проецируемым векторным полем
на . Это векторное поле проецируется на векторное поле. на , поток которой является однопараметрической группой диффеоморфизмов . Наоборот, пусть быть векторным полем на . Возникает задача построения его подъемника на проектируемое векторное поле на проецируется на . Такой лифт существует всегда, но он не обязательно должен быть каноническим. Учитывая связь на , каждое векторное поле на рождает горизонтальное векторное поле
на . Этот горизонтальный подъемникдает мономорфизм из-модуль векторных полей на к -модуль векторных полей на , но этот мономорфизм не является морфизмом алгебры Ли, если только плоский.
Однако существует категория упомянутых выше натуральных связок. которые допускают функториальный подъем на любого векторного поля на такой, что является мономорфизмом алгебры Ли
Этот функториальный подъем является бесконечно малым общековариантным преобразованием .
В общем случае рассматривается мономорфизм группы диффеоморфизмов группе автоморфизмов расслоения натурального расслоения . Автоморфизмы называются общековариантными преобразованиями . Например, нет вертикального автоморфизма является общековариантным преобразованием.
Примером естественных расслоений являются тензорные расслоения . Например, касательный пучок из является естественным пучком. Каждый диффеоморфизм из порождает касательный автоморфизм из что является общековариантным преобразованием . По голономным координатам на , это преобразование читается как
Пакет рамок линейных касательных реперов в также является естественным пучком. Общековариантные преобразования образуют подгруппу голономных автоморфизмов. Все связки, связанные со связкой кадров, являются естественными. Однако есть естественные связки, не связанные с.
Смотрите также
Рекомендации
- Коларж И., Михор П., Словак Й. Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
- Сарданашвили Г. , Advanced Дифференциальная геометрия теоретикам. Расслоения волокон, многообразия струй и лагранжева теория, Lambert Academic Publishing: Saarbrücken, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886
- Сондерс, DJ (1989), геометрия струйных пучков , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7