Обобщенный четырехугольник

GQ (2,2), Салфетка

В геометрии , А обобщенный четырехугольник является структура заболеваемости , основной особенностью является отсутствие каких - либо треугольников (еще содержит много четырехугольники). Обобщенный четырехугольник по определению является полярным пространством ранга два. Это обобщенные n-угольники с n = 4 и около 2n-угольников с n = 2. Они также в точности являются частичными геометриями pg ( s , t , α) с α = 1.

Определение [ править ]

Обобщенный четырехугольник - это структура инцидентности ( P , B , I), где I ⊆ P × B - отношение инцидентности , удовлетворяющее некоторым аксиомам . Элементы P по определению являются точками обобщенного четырехугольника, элементы B - прямыми . Аксиомы следующие:

Существует s ( s ≥ 1) такое, что на каждой прямой ровно s + 1 точка. На двух разных линиях есть не более одной точки.
Существует t ( t ≥ 1) такое, что через каждую точку проходит ровно t + 1 прямая. Через две разные точки проходит не более одной линии.
Для каждой точки р не на линии L , есть уникальную линию M и единственную точку д , такое , что р находится на М и Q на M и L .

( s , t ) - параметры обобщенного четырехугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если s или t равно единице, обобщенный четырехугольник называется тривиальным . Например, сетка 3x3 с P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} является тривиальным GQ с s = 2 и t = 1. Обобщенный четырехугольник с параметрами ( s , t ) часто обозначают GQ ( s , t ).

Наименьший нетривиальный обобщенный четырехугольник - это GQ (2,2) , представление которого Стэн Пейн в 1973 году назвал «салфеткой».

Свойства [ править ]

${\ Displaystyle | P | = (st + 1) (s + 1)}$
${\ Displaystyle | В | = (st + 1) (t + 1)}$
${\ Displaystyle (s + t) | st (s + 1) (t + 1)}$
${\ displaystyle s \ neq 1 \ Longrightarrow t \ leq s ^ {2}}$
${\ Displaystyle т \ neq 1 \ Longrightarrow s \ leq t ^ {2}}$

Графики [ править ]

Линия граф из обобщенного четырехугольника GQ (2,4)

Есть два интересных графика, которые можно получить из обобщенного четырехугольника.

Граф коллинеарности, имеющий в качестве вершин точки обобщенного четырехугольника с соединенными коллинеарными точками. Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ((s + 1) (st + 1), s (t + 1), s-1, t + 1), где (s, t) - порядок GQ.
Граф инцидентности , вершины которого являются точками и прямыми обобщенного четырехугольника, а две вершины смежны, если одна является точкой, другая - прямой, а точка лежит на прямой. Заболеваемость график обобщенного четырехугольника характеризуется быть подключен , двудольный граф с диаметром четыре и обхватом восемь. Поэтому это пример клетки . Графы инцидентности конфигураций сегодня обычно называют графами Леви , но исходный граф Леви был графом инцидентности GQ (2,2).

Двойственность [ править ]

Если ( P , B , I) - обобщенный четырехугольник с параметрами ( s , t ), то ( B , P , I ⁻¹ ) с I ⁻¹ - обратной зависимостью инцидентности, также является обобщенным четырехугольником. Это дуальный обобщенный четырехугольник . Его параметры ( t , s ). Даже если s = t , дуальная структура не обязательно должна быть изоморфной исходной структуре.

Обобщенные четырехугольники с линиями размера 3 [ править ]

Существует ровно пять (возможных вырожденных) обобщенных четырехугольников, в которых каждая прямая имеет три инцидентных с ней точки, четырехугольник с множеством пустых прямых, четырехугольник со всеми линиями, проходящими через фиксированную точку, соответствующую графу ветряной мельницы Wd (3, n) , сетка размером 3x3, четырехугольник GQ (2,2) и единственный GQ (2,4). Эти пять четырехугольников соответствуют пяти корневым системам в ADE-классах A _n , D _n , E ₆ , E ₇ и E ₈ , т. Е. Системам корней с простой связкой. См. ^[1] и. ^[2]

Классические обобщенные четырехугольники [ править ]

Рассматривая различные случаи полярных пространств ранга не менее трех и экстраполируя их на ранг 2, можно найти эти (конечные) обобщенные четырехугольники:

Гиперболическая квадрика , параболическая квадрика и эллиптическая квадрика - единственные возможные квадрики в проективных пространствах над конечными полями с проективным индексом 1. Мы находим эти параметры соответственно: ${\ displaystyle Q ^ {+} (3, q)}$ ${\ displaystyle Q (4, q)}$ ${\ displaystyle Q ^ {-} (5, q)}$

{\ Displaystyle Q (3, q): \ s = q, t = 1}

(это просто сетка)

{\ Displaystyle Q (4, q): \ s = q, t = q}

{\ Displaystyle Q (5, q): \ s = q, t = q ^ {2}}

Эрмитово многообразие имеет проективное индекс 1 , если и только если п 3 или 4. Мы находим: ${\ Displaystyle Н (п, д ^ {2})}$

{\ displaystyle H (3, q ^ {2}): \ s = q ^ {2}, t = q}

{\ displaystyle H (4, q ^ {2}): \ s = q ^ {2}, t = q ^ {3}}

Симплектическая полярность в имеет максимальное изотропное подпространство размерности 1 тогда и только тогда, когда . Здесь мы находим обобщенный четырехугольник с . ${\ Displaystyle PG (2d + 1, q)}$ ${\ displaystyle d = 1}$ ${\ Displaystyle W (3, q)}$ ${\ Displaystyle s = q, t = q}$

Обобщенный четырехугольник, производный от , всегда изоморфен двойственному к , и оба они самодвойственны и, следовательно, изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда они четны. ${\ displaystyle Q (4, q)}$ ${\ Displaystyle W (3, q)}$ ${\ displaystyle q}$

Неклассические примеры [ править ]

Пусть O будет гиперовал в с д еще основной мощностью , а также встраивать , что проективная (Дезаргово) плоскость в . Теперь рассмотрим структуру инцидентности, в которой все точки являются точками, не входящими в состав, линии - это те, которые не входят , пересекаются в точке O , а инцидентность является естественной. Это (q-1, q + 1) -обобщенный четырехугольник. ${\ Displaystyle PG (2, q)}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle PG (3, q)}$ $T_{2}^{*}(O)$ $\pi$ $\pi$ $\pi$
Пусть q - степень простого числа (нечетная или четная), и рассмотрим симплектическую полярность в . Выбираем произвольную точку p и определяем . Пусть линии нашей структуры инцидентности - это все абсолютные прямые, не входящие вместе со всеми прямыми, проходящими через p, которые не входят , и пусть точки будут всеми точками, кроме входящих . Заболеваемость снова естественная. Мы снова получаем (q-1, q + 1) -обобщенный четырехугольник $\theta$ $PG(3,q)$ $\pi =p^{\theta }$ $\pi$ $\pi$ $PG(3,q)$ $\pi$

Ограничения по параметрам [ править ]

Используя сетки и двойные сетки, любое целое число z , z ≥ 1 допускает обобщенные четырехугольники с параметрами (1, z ) и ( z , 1). Кроме того, до сих пор были обнаружены только следующие параметры, где q - произвольная степень простого числа :

(q,q)

(q,q^{2})

и

(q^{2},q)

(q^{2},q^{3})

и

(q^{3},q^{2})

(q-1,q+1)

и

(q+1,q-1)

Ссылки [ править ]

^ Cameron PJ; Goethals, JM; Зайдель, Дж. Дж .; Shult, EE Линейные графики, корневые системы и эллиптическая геометрия
^ http://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/genq.pdf

SE Payne и JA Thas . Конечные обобщенные четырехугольники. Research Notes in Mathematics, 110. Pitman (Advanced Publishing Program), Бостон, Массачусетс, 1984. vi + 312 стр. ISBN 0-273-08655-3 , ссылка http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ. pdf

[1] Cameron PJ; Goethals, JM; Зайдель, Дж. Дж .; Shult, EE Линейные графики, корневые системы и эллиптическая геометрия

[2] ttp://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/genq.pdf

[1]