В математике , то проблема моментов Хаусдорфа , названный в честь Феликса Хаусдорфа , просит необходимых и достаточных условий , что в данной последовательности ( м 0 , м 1 , м 2 , ...) быть последовательность моментов
некоторой борелевской меры μ с носителем на единичном отрезке [0, 1] . В случае m 0 = 1 это эквивалентно существованию случайной величины X, поддерживаемой на [0, 1] , такой, что E [ X n ] = m n .
Существенное различие между этой и другими хорошо известными проблемами моментов состоит в том, что она находится на ограниченном интервале , тогда как в проблеме моментов Стилтьеса рассматривается полупрямая [0, ∞) , а в проблеме моментов Гамбургера рассматривается вся прямая (−∞, ∞) . Проблемы моментов Стилтьеса и проблемы моментов Гамбургера, если они разрешимы, могут иметь бесконечно много решений (неопределенная проблема моментов), тогда как проблема моментов Хаусдорфа всегда имеет единственное решение, если оно разрешимо (детерминированная проблема моментов). В случае неопределенной проблемы моментов существуют бесконечные меры, соответствующие одним и тем же предписанным моментам, и они состоят из выпуклого множества. Набор многочленов может быть или не быть плотным в ассоциированных гильбертовых пространствах, если проблема моментов не определена, и это зависит от того, является ли мера экстремальной или нет. Но в случае детерминированной проблемы моментов множество многочленов плотно в ассоциированном гильбертовом пространстве.
Полностью монотонные последовательности
В 1921 году Хаусдорф показал, что ( m 0 , m 1 , m 2 , ...) является такой последовательностью моментов тогда и только тогда, когда последовательность полностью монотонна, то есть ее разностные последовательности удовлетворяют уравнению
для всех n , k ≥ 0 . Здесь Δ - разностный оператор, задаваемый формулой
Необходимость этого условия легко увидеть из тождества
который неотрицателен, поскольку является интегралом неотрицательной функции . Например, необходимо иметь
Смотрите также
Рекомендации
- Хаусдорф, Ф. "Summationsmethoden und Momentfolgen. I." Mathematische Zeitschrift 9, 74–109, 1921.
- Хаусдорф, Ф. «Summationsmethoden und Momentfolgen. II». Mathematische Zeitschrift 9, 280–299, 1921.
- Феллер, В. «Введение в теорию вероятностей и ее приложения», том II, John Wiley & Sons, 1971.
- Shohat, JA .; Тамаркин, Дж. Д. Проблема моментов , Американское математическое общество, Нью-Йорк, 1943.