В теории множеств , А наследственное множество (или чистый набор ) представляет собой множество , элементы которого являются все наследственными множествами. То есть все элементы набора сами по себе являются наборами, как и все элементы элементов и так далее.
Примеры
Например, пусто верно, что пустое множество является наследственным, и, следовательно, множествосодержащий только пустой набор наследственное множество. Аналогично множество который содержит два элемента: пустой набор и набор, содержащий только пустой набор, является наследственным набором.
В формулировках теории множеств
В формулировках теории множеств, которые предназначены для интерпретации во вселенной фон Неймана или для выражения содержания теории множеств Цермело – Френкеля , все множества являются наследственными, потому что это единственный вид объектов, который даже может быть кандидатом на роль элемента набор другой набор. Таким образом, понятие наследственной совокупности интересно только в контексте, в котором могут существовать уэлементы .
Предположения
Индуктивное определение наследственных множеств предполагает, что членство в множестве хорошо обосновано (т. Е. Аксиома регулярности ), иначе повторение может не иметь единственного решения. Однако его можно неиндуктивно переформулировать следующим образом: множество наследственно тогда и только тогда, когда его транзитивное замыкание содержит только множества. Таким образом, концепция наследственных множеств может быть расширена до недостаточно обоснованных теорий множеств, в которых множества могут быть членами сами по себе. Например, набор, который содержит только себя, является наследственным набором.
Смотрите также
Рекомендации
- Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Северная Голландия. ISBN 0-444-85401-0.