Герман Грассманн

Герман Гюнтер Грассманн
Герман Гюнтер Грассманн
Родившийся	( 1809-04-15 )15 апреля 1809 г. Штеттин , провинция Померании , Королевство Пруссия (ныне Щецин , Польша)
Умер	26 сентября 1877 г. (1877-09-26)(68 лет) Штеттин, Германская империя
Альма-матер	Берлинский университет
Известен	Полилинейная алгебра Внешняя алгебра Число Грассмана Грассманиан Закон Грассмана ( историческая лингвистика ) Закон Грассмана (оптика)
Награды	Доктор философии (Hon) : Тюбингенский университет (1876 г.)
Научная карьера
Учреждения	Штеттинская гимназия

Герман Гюнтер Грассманн (немецкий: Graßmann , произносится [ˈhɛʁman ˈɡʏntɐ ˈɡʁasman] ; 15 апреля 1809 - 26 сентября 1877) был немецким эрудитом , известным в свое время как лингвист, а теперь и как математик . Он также был физиком , общеобразователем и издателем. Его математические работы мало упоминались, пока ему не исполнилось шестьдесят.

Биография [ править ]

Грассман был третьим из 12 детей Юстус Гюнтера Грассман, в рукоположен министра , который преподавал математику и физику в Штеттина гимназии , где Герман получил образование.

Грассманн был ничем не примечательным студентом, пока не получил высокую оценку на экзаменах для поступления в прусские университеты. С 1827 года он изучал богословие в Берлинском университете , а также изучал классические языки , философию и литературу. Похоже, он не посещал курсы математики или физики .

Несмотря на отсутствие университетского образования в области математики, именно эта область интересовала его больше всего, когда он вернулся в Штеттин в 1830 году после завершения учебы в Берлине. После года подготовки он сдал экзамены, необходимые для преподавания математики в гимназии, но получил достаточно хороший результат, позволяющий ему преподавать только на более низких уровнях. Примерно в это же время он сделал свои первые значительные математические открытия, которые привели его к важным идеям, изложенным в его статье 1844 года, обозначенной как A1 (см. Ссылки ).

В 1834 году Грассманн начал преподавать математику в Gewerbeschule в Берлине. Год спустя он вернулся в Штеттин, чтобы преподавать математику, физику, немецкий, латынь и религиоведение в новой школе Отто Шуле. В течение следующих четырех лет Грассманн сдал экзамены, которые позволили ему преподавать математику, физику , химию и минералогию на всех уровнях средней школы.

В 1847 году он стал «оберлерером» или старшим учителем. В 1852 году он был назначен на должность своего покойного отца в Штеттинской гимназии, получив таким образом звание профессора. В 1847 году он попросил прусское министерство просвещения рассмотреть вопрос о приеме на должность в университете, после чего министерство попросило Куммера высказать свое мнение о Грассмане. Куммер ответил, что эссе Грассмана 1846 года (см. Ниже) содержит «... похвально хороший материал, изложенный в неполной форме». Отчет Куммера положил конец любой возможности Грассмана получить университетскую должность. Этот эпизод оказался нормой; Снова и снова ведущие деятели эпохи Грассмана не осознавали ценность его математики.

Начиная с политических беспорядков в Германии 1848–1849 годов, Германн и его брат Роберт издали штеттинскую газету Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben , призывающую к объединению Германии под конституционной монархией . (Это произошло в 1871 году.) После написания серии статей о конституционном праве Германн расстался с газетой, обнаруживая, что он все больше расходится с ее политическим направлением.

У Грассмана было одиннадцать детей, семеро из которых достигли совершеннолетия. Сын, Герман Эрнст Грассманн, стал профессором математики в университете Гиссена .

Математик [ править ]

Один из многих экзаменов, которые сдал Грассманн, требовал, чтобы он представил эссе по теории приливов. В 1840 году он сделал это, взяв основную теорию из « Mécanique céleste» Лапласа и из « Mécanique analytique» Лагранжа , но изложив эту теорию с использованием векторных методов, над которыми он размышлял с 1832 г. Это эссе, впервые опубликованное в Собрание сочинений 1894–1911 гг. Содержит первое известное появление того, что сейчас называется линейной алгеброй, и понятие векторного пространства . Он продолжал развивать эти методы в своих A1 и A2 (см. Библиографию).

В 1844 году, Грассман опубликовал свой шедевр, его Die Lineale Ausdehnungslehre, Ein Neuer Цвейг дер Mathematik ^[1] [Теория линейного расширения, новая ветвь математики], далее обозначаемый А1 и обычно упоминаются как Ausdehnungslehre , ^[2] , который переводится как «теория расширения» или «теория экстенсивных величин». Поскольку А1 предложил новый фундамент для всей математики, работа началась с довольно общих определений философского характера. Затем Грассманн показал, что как только геометрия превращается в алгебраическую форму, которую он защищал, число три не играет особой роли как число пространственных измерений.; количество возможных измерений на самом деле неограниченно.

Фернли-Сандер (1979) описывает основание линейной алгебры Грассмана следующим образом: ^[3]

Определение линейного пространства ( векторного пространства ) ... стало широко известным примерно в 1920 году, когда Герман Вейль и другие опубликовали формальные определения. Фактически, такое определение было дано тридцатью годами ранее Пеано , который был хорошо знаком с математическими работами Грассмана. Грассманн не дал формального определения - язык был недоступен - но нет сомнений в том, что у него была концепция.

Начиная с набора «единиц» e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., он эффективно определяет свободное линейное пространство, которое они создают; другими словами, он рассматривает формальные линейные комбинации a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + a ₃ e ₃ + ..., где a _j - действительные числа, определяет сложение и умножение на действительные числа [в том, что сейчас является обычным way] и формально доказывает свойства линейного пространства для этих операций. ... Затем он развивает теорию линейной независимостиспособом, который удивительно похож на изложение, которое можно найти в современных текстах по линейной алгебре. Он определяет понятия подпространства , линейной независимости , диапазона , размерности , соединения и пересечения подпространств и проекций элементов на подпространства.

... немногие подошли ближе, чем Герман Грассманн, к самостоятельному созданию нового предмета.

Следуя идее отца Грассмана, A1 также определил внешний продукт , также называемый «комбинаторным продуктом» (на немецком языке: äußeres Produkt ^[4] или kombinatorisches Produkt ^[5] ), ключевую операцию алгебры, теперь называемую внешней алгеброй . (Следует иметь в виду , что в день Грассмана, единственной аксиомой теории была геометрия Евклида , а общее понятие абстрактной алгебры была еще не определена.) В 1878 году, Уильям Kingdon Клиффорд вступил в эту внешнюю алгебру для Уильяма Роуэна Гамильтона «с кватернионыпутем замены правила Грассмана e _p e _p = 0 правилом e _p e _p = 1. (Для кватернионов у нас есть правило i ² = j ² = k ² = −1.) Подробнее см. Внешняя алгебра .

А1 был революционным текстом, слишком опережающим свое время, чтобы его можно было оценить. Когда Грассманн подал заявление о приеме на должность профессора в 1847 году, министерство попросило Эрнста Куммера отчет. Куммер заверил, что в нем есть хорошие идеи, но счел экспозицию несовершенной и посоветовал не давать Грассманну университетскую должность. В течение следующих 10 с лишним лет Грассманн написал множество работ, применяющих свою теорию расширений, в том числе свою Neue Theorie der Elektrodynamik 1845 года ^[6] и несколько статей по алгебраическим кривым и поверхностям, в надежде, что эти приложения заставят других принять его теория серьезно.

В 1846 году Мёбиус пригласил Грассмана принять участие в соревновании по решению проблемы, впервые предложенной Лейбницем : разработать геометрическое исчисление, лишенное координат и метрических свойств (то, что Лейбниц назвал Analysis situs ). Грассмана Geometrische Анализ geknüpft в кубик фон Лейбниц erfundene Geometrische Charakteristik , ^[7] был вход победы (также единственным входом). Мёбиус, как один из судей, критиковал способ, которым Грассман вводил абстрактные понятия, не давая читателю никакой интуиции относительно того, почему эти понятия имеют ценность.

В 1853 году Грассман опубликовал теорию смешения цветов; он и его три закона цвета до сих пор преподаются как закон Грассмана . Работа Грассмана по этому вопросу несовместима с работой Гельмгольца . Грассман также писал о кристаллографии , электромагнетизме и механике .

В ранней истории математики арифметика с целыми числами, казалось, не нуждалась в формальных аксиомах, поскольку такие факты, как x + y = y + x, казались самоочевидными. Но в 1861 году Грассман показал, что такие факты можно вывести из более основных фактов о преемниках и индукции. ^[8]

В 1862 году Грассман опубликовал полностью переписанное второе издание книги А1 , надеясь заслужить запоздалое признание своей теории расширения и содержащее окончательное изложение своей линейной алгебры . Результат, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet [Теория расширения, тщательно и строго рассматриваемая], далее обозначаемый как A2 , показал себя не лучше, чем A1 , хотя манера изложения A2 предвосхищает учебники 20-го века.

Ответ [ править ]

В 1840-х годах математики, как правило, были не готовы понять идеи Грассмана. ^[9] В 1860-х и 1870-х годах различные математики пришли к идеям, подобным идеям Грассмана, но сам Грассман больше не интересовался математикой. ^[9]

Адемар Жан-Клод Барре де Сен-Венан разработал векторное исчисление, подобное исчислению Грассмана, которое он опубликовал в 1845 году. Затем он вступил в спор с Грассманом о том, кто из двоих первым придумал эти идеи. Грассман опубликовал свои результаты в 1844 году, но Сен-Венан утверждал, что он впервые разработал эти идеи в 1832 году.

Одним из первых математиков, которые оценили идеи Грассмана при его жизни, был Герман Ганкель , чей Theorie der complexen Zahlensysteme 1867 г.

... разработал некоторые алгебры Германа Грассмана и кватернионы Гамильтона . Ганкель был первым, кто осознал значение произведений Грассмана, которыми долго пренебрегали ... ^[10]

В 1872 году Виктор Шлегель опубликовал первую часть своей Системы дер Рамлере, в которой использовался подход Грассмана для получения древних и современных результатов в плоской геометрии. Феликс Кляйн написал отрицательную рецензию на книгу Шлегеля, сославшись на ее неполноту и отсутствие перспективы на Грассмана. Шлегель последовал в 1875 году со второй частью своей Системы по Грассману, на этот раз развивая более высокую геометрию. Тем временем Кляйн продвигал свою программу Эрланген, которая также расширяла сферу применения геометрии. ^[11]

Понимание Грассмана ожидало концепции векторных пространств, которые затем могли бы выразить полилинейную алгебру его теории расширений. Чтобы установить приоритет Грассмана над Гамильтоном, Джозия Уиллард Гиббс призвал наследников Грассмана опубликовать эссе 1840 года о приливах. ^[12] Первая монография А. Н. Уайтхеда , Универсальная алгебра (1898 г.), включала первое систематическое изложение на английском языке теории расширения и внешней алгебры . С появлением дифференциальной геометрии внешняя алгебра стала применяться к дифференциальным формам .

В 1995 году Ллойд К. Канненберг опубликовал английский перевод произведений «Ausdehnungslehre» и «Другие». Для введения в роли работы Грассмана в современной математической физике см Путь к реальности ^[13] от Роджера Пенроуза .

Лингвист [ править ]

Математические идеи Грассмана начали распространяться только к концу его жизни. Спустя тридцать лет после публикации A1 издатель написал Грассманну: «Ваша книга Die Ausdehnungslehre уже некоторое время не издается . Поскольку ваши работы почти не продавались, примерно 600 экземпляров использовались в 1864 году как макулатура, а оставшиеся несколько нечетных копий уже распроданы, за исключением одного экземпляра в нашей библиотеке ». ^[14] Разочарованный приемом его работы в математических кругах, Грассман потерял контакты с математиками, а также интерес к геометрии. Последние годы жизни он обратился к исторической лингвистике и изучению санскрита . Он написал книги по немецкой грамматикесобрал народные песни, выучил санскрит. Он написал словарь на 2000 страниц и перевод Ригведы (более 1000 страниц), благодаря которым он стал членом Общества американских востоковедов . В современных исследованиях Ригведы работы Грассмана часто цитируются. В 1955 г. вышло третье издание его словаря Ригведы. ^[9]

Грассман также открыл звуковой закон индоевропейских языков , который в его честь был назван законом Грассмана .

Эти филологические достижения были отмечены при его жизни; он был избран в Американское восточное общество, а в 1876 году получил почетную докторскую степень Тюбингенского университета .

Библиография [ править ]

• A1 : 1844. Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik . ^[15] Лейпциг: Виганд. Английский перевод, 1995, Ллойд Канненберг, Новая отрасль математики . Чикаго: Открытый суд.
• 1847. Geometrische Analyze geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik. . ^[16] Доступно на quod.lib.umich.edu
• 1861. Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten, Band 1 . Берлин: Энслин.
• A2 : 1862. Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form Begründet. . ^[17] Берлин: Enslin. Английский перевод, 2000, Ллойд Канненберг, Теория расширений , Американское математическое общество, ISBN  0-8126-9275-6 , ISBN 0-8126-9276-4 
• 1873. Wörterbuch zum Rig-Veda . ^[18] Лейпциг: Брокгауз.
• 1876–1877 гг. Ригведа . Лейпциг: Брокгауз. Перевод в двух тт., Т. 1 опубликовано 1876 г., т. 2 опубликовано в 1877 г.
• 1894–1911 гг. Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke , ^[19] в 3-х томах. Фридрих Энгель изд. Лейпциг: BG Teubner. Перепечатано 1972 г., Нью-Йорк: Джонсон.

См. Также [ править ]

• Обозначение Бра-Кет (Грассман был его предшественником)

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Браун, Джон, Алгебра Грассмана Том 1: Основы , 2012, Barnard Publishing
• Браун, Джон, Multiplanes and Multispheres , 2020, Barnard Publishing,
• Канту, Паола, Математика да наука делле грандецзе a teoria delle forme. L'Ausdehnungslehre di H. Grassmann [Математика от науки величин к теории форм. Ausdehnungslehre Х. Грассмана]. Генуя: Генуэзский университет. Диссертация, 2003, с. хх + 465.
• Кроу, Майкл, 1967. История векторного анализа , издательство Notre Dame University Press.
• Фернли-Сандер, Десмонд, 1979, « Герман Грассман и создание линейной алгебры », American Mathematical Monthly 86 : 809–17.
• Фернли-Сандер, Десмонд, 1982, « Герман Грассман и предыстория универсальной алгебры », Amer. Математика. Ежемесячно 89 : 161–66.
• Фернли-Сандер, Десмонд и Стоукс, Тимоти, 1996 г., « Площадь в геометрии Грассмана ». Автоматический вывод в геометрии : 141–70
• Айвор Граттан-Гиннесс (2000) Поиск математических корней 1870–1940 . Princeton Univ. Нажмите.
• Роджер Пенроуз , 2004. Дорога к реальности . Альфред А. Кнопф.
• Петше, Ханс-Иоахим, 2006. Грассманн (текст на немецком языке). (Vita Mathematica, 13). Базель: Биркхойзер.
• Петше, Ханс-Иоахим, 2009. Герман Грассманн - Биография . Пер. пользователя M Minnes. Базель: Биркхойзер.
• Петше, Ханс-Иоахим; Канненберг, Ллойд; Кесслер, Готфрид; Лисковацка, Йоланта (ред.), 2009. Герман Грассманн - Корни и следы. Автографы и неизвестные документы. Текст на немецком и английском языках . Базель: Биркхойзер.
• Петше, Ханс-Иоахим; Льюис, Альберт С .; Лисен, Йорг; Расс, Стив (ред.), 2010. От прошлого к будущему: работа Грассмана в контексте. Конференция грассмановы Двухсотлетний, сентябрь 2009 . Базель: Springer Basel AG.
• Петше, Ханс-Иоахим и Петер Ленке (редакторы), 2010. Международная конференция Грассмана. Двухсотлетие Германа Грассмана: Потсдам и Щецин, 16–19 сентября 2009 г .; Видеозапись конференции . 4 DVD, 16:59:25. Потсдам: Universitätsverlag Potsdam.
• Роу, Дэвид Э. (2010) «Обсуждение математики Грассмана: Шлегель против Кляйна», Mathematical Intelligencer 32 (1): 41–8.
• Виктор Шлегель (1878) Герман Грассманн: Sein Leben und seine Werke в Интернет-архиве.
• Schubring, G., ed., 1996. Герман Гюнтер Грассманн (1809–1877): дальновидный математик, ученый и ученый-неогуманист . Kluwer.
• Прасолов, Виктор (1994), Проблемы и теоремы линейной алгебры , Переводы математических монографий, 134 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0236-6

Примечание: обширная онлайн-библиография , раскрывающая значительный современный интерес к жизни и творчеству Грассмана. Ссылки на каждую главу в Schubring.

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с Германом Грассманном, на Викискладе?

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Германом Грассманном

• Архив истории математики MacTutor:
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Герман Грассманн" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
  • Абстрактные линейные пространства. Обсуждает роль Грассмана и других деятелей XIX века в изобретении линейной алгебры и векторных пространств.
• Домашняя страница Фернли-Сандера .
• Конференция, посвященная двухсотлетию Грассмана (1809-1877), 16-19 сентября 2009 г. Потсдам / Щецин (Германия / Польша) : Из прошлого в будущее: работы Грассмана в контексте
• «Метод Грассмана в проективной геометрии» - сборник переводов на английский язык трех заметок Чезаре Бурали-Форти о применении внешней алгебры Грассмана к проективной геометрии.
• К. Бурали-Форти, «Введение в дифференциальную геометрию по методу Х. Грассмана» (английский перевод книги одного из первых учеников Грассмана)
• "Механика согласно принципам теории расширений" - английский перевод одной из статей Грассмана о приложениях внешней алгебры.