История алгебры

По сути, алгебру можно рассматривать как выполнение вычислений, аналогичных вычислениям в арифметике, но с нечисловыми математическими объектами. Однако до XIX века алгебра в основном состояла из теории уравнений . Например, основная теорема алгебры принадлежит теории уравнений и в настоящее время не считается принадлежащей алгебре (фактически, каждое доказательство должно использовать полноту действительных чисел , что не является алгебраическим свойством).

В данной статье описывается история теории уравнений, называемой здесь «алгеброй», от истоков до возникновения алгебры как отдельной области математики .

Этимология [ править ]

Слово «алгебра» происходит от арабского слова الجبر al-jabr , и оно происходит из трактата, написанного в 830 году средневековым персидским математиком Мухаммадом ибн Муса аль-Хваризми , арабское название которого - Китаб аль-Мухтагар фи Шисаб. аль-Табр ва-ль-мукабала можно перевести как «Сборник расчетов путем завершения и уравновешивания» . Трактат предусматривал систематическое решение линейных и квадратных уравнений . Согласно одной истории, "[я] не уверен, что именно термины аль-джабр и мукабалаозначают, но обычное толкование аналогично тому, что подразумевается в предыдущем переводе. Слово «аль-джабр» предположительно означало что-то вроде «восстановление» или «завершение» и, кажется, относится к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения; слово «мукабала» относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть отмене одинаковых терминов в противоположных частях уравнения. Arabic влияние в Испании долгое время после того, как во время аль-Хорезми находится в Дон Кихота , где слово «algebrista» используется для костоправ, то есть, «Реставратор«. ^[1] Термин используется аль -Хорезми для описания операций, которые он ввел, « редукция»"и" уравновешивание ", относящееся к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмену одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. ^[2]

Этапы алгебры [ править ]

Алгебраическое выражение [ править ]

Алгебра не всегда использовала символизм, который теперь повсеместно используется в математике; вместо этого он прошел три отдельных этапа. Этапы развития символической алгебры примерно следующие: ^[3]

• Риторическая алгебра , в которой уравнения записываются полными предложениями. Например, риторическая форма выражения x + 1 = 2 - «Вещь плюс один равняется двум» или, возможно, «Вещь плюс 1 равняется 2». Риторическая алгебра была впервые разработана древними вавилонянами и оставалась доминирующей до 16 века.

• Синкопированная алгебра , в которой используется некоторый символизм, но которая не содержит всех характеристик символической алгебры. Например, может быть ограничение, что вычитание может использоваться только один раз в пределах одной части уравнения, что не относится к символьной алгебре. Синкопированное алгебраическое выражение впервые появилось в Диофант « Arithmetica (третий век нашей эры), а затем Брахмагупт » s Брахма Sphuta сиддхант (7 - го века).

• Символьная алгебра , в которой используется полная символика. Первые шаги к этому можно увидеть в работах нескольких исламских математиков, таких как Ибн аль-Банна (13-14 века) и аль-Каласади (15 век), хотя полностью символическая алгебра была разработана Франсуа Виетом (16 век). Позже Рене Декарт (17 век) ввел современные обозначения (например, использование x - см. Ниже ) и показал, что проблемы, возникающие в геометрии, могут быть выражены и решены в терминах алгебры ( декартовой геометрии ).

Не менее важным, чем использование или отсутствие символики в алгебре, была степень решаемых уравнений. Квадратные уравнения играли важную роль в ранней алгебре; и на протяжении большей части истории, вплоть до раннего Нового времени, все квадратные уравнения относились к одной из трех категорий.

• ${\ displaystyle x ^ {2} + px = q}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} = px + q}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} + q = px}$

где p и q положительны. Эта трихотомия возникает из-за того , что квадратные уравнения вида с положительными p и q не имеют положительных корней . ^[4]${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

Между риторическими и синкопированными этапами символической алгебры классическими греческими и ведическими индийскими математиками была разработана геометрическая конструктивная алгебра, в которой алгебраические уравнения решались через геометрию. Например, уравнение вида было решено путем нахождения стороны квадрата площади A .${\displaystyle x^{2}=A}$

Концептуальные этапы [ править ]

В дополнение к трем стадиям выражения алгебраических идей некоторые авторы выделяли четыре концептуальных стадии в развитии алгебры, которые происходили вместе с изменениями в выражении. Эти четыре этапа были следующими: ^{[5] [ требуется неосновной источник ]}

• Геометрический этап , где понятия алгебры в основном геометрические. Это восходит к вавилонянам и продолжалось у греков , а позже было возрождено Омаром Хайямом .
• Этап решения статических уравнений , цель которого - найти числа, удовлетворяющие определенным соотношениям. Отход от геометрической алгебры восходит к Диофанту и Брахмагупте , но алгебра не перешла окончательно к стадии решения статических уравнений до тех пор, пока Аль-Хорезми не представил обобщенные алгоритмические процессы для решения алгебраических задач.
• Этап динамической функции , где движение является основной идеей. Идея функции начала возникать с Шараф ад-Дин ат-Туси , но алгебра окончательно не перешла на стадию динамических функций до Готфрида Лейбница .
• Абстрактный этап , где математическая структура играет центральную роль. Абстрактная алгебра в значительной степени является продуктом XIX и XX веков.

Вавилон [ править ]

Истоки алгебры можно проследить до древних вавилонян , ^{[ цитата необходима ],} которые разработали позиционную систему счисления, которая очень помогла им в решении их риторических алгебраических уравнений. Вавилоняне интересовали не точные решения, а скорее приближения, и поэтому они обычно использовали линейную интерполяцию для приближения промежуточных значений. ^[6] Одной из самых известных табличек является табличка Плимптон 322 , созданная около 1900–1600 гг. До н.э., которая представляет собой таблицу пифагорейских троек и представляет некоторые из самых передовых математических методов, предшествовавших греческой математике. ^[7]

Вавилонская алгебра была намного более развитой, чем египетская алгебра того времени; в то время как египтяне в основном интересовались линейными уравнениями, вавилоняне больше интересовались квадратными и кубическими уравнениями . ^[6] Вавилоняне разработали гибкие алгебраические операции, с помощью которых они могли добавлять равные к равным и умножать обе части уравнения на одинаковые величины, чтобы исключить дроби и множители. ^[6] Они были знакомы со многими простыми формами факторизации , ^[6] трехчленными квадратными уравнениями с положительными корнями, ^[8] и многими кубическими уравнениями, ^[9]хотя неизвестно, смогли ли они уменьшить общее кубическое уравнение. ^[9]

Древний Египет [ править ]

Древнеегипетская алгебра имела дело в основном с линейными уравнениями, в то время как вавилоняне сочли эти уравнения слишком элементарными и развили математику на более высоком уровне, чем египтяне. ^[6]

Папирус Ринда, также известный как Папирус Ахмеса, - это древний египетский папирус, написанный ок. 1650 г. до н.э. Ахмесом, который переписал его из более ранней работы, датированной между 2000 и 1800 годами до нашей эры. ^[10] Это самый обширный древнеегипетский математический документ, известный историкам. ^[11] Папирус Райнда содержит задачи, в которых решаются линейные уравнения формы и , где a , b и c известны, а x , который обозначается как «ага» или куча, является неизвестным. ^[12] Решения, возможно, но маловероятно, были достигнуты с помощью «метода ложной позиции», или regula falsi${\displaystyle x+ax=b}$${\displaystyle x+ax+bx=c}$, где сначала конкретное значение подставляется в левую часть уравнения, затем выполняются необходимые арифметические вычисления, в-третьих, результат сравнивается с правой частью уравнения, и, наконец, правильный ответ находится с использованием пропорции. В некоторых задачах автор «проверяет» свое решение, тем самым написав одно из первых известных простых доказательств. ^[12]

Греческая математика [ править ]

Иногда утверждают, что у греков не было алгебры, но это неточно. ^[14] Ко времени Платона греческая математика претерпела радикальные изменения. Греки создали геометрическую алгебру, в которой термины были представлены сторонами геометрических объектов, ^[15] обычно линиями, с которыми были связаны буквы ^[16], и с помощью этой новой формы алгебры они смогли найти решения уравнений, используя Процесс, который они изобрели, известен как «приложение площадей». ^[15] «Применение площадей» - это только часть геометрической алгебры, и она подробно освещена в « Элементах » Евклида .

Примером геометрической алгебры может быть решение линейного уравнения ax = bc . Древние греки решали это уравнение, рассматривая его как равенство площадей, а не как равенство между отношениями a : b и c : x . Греки строили прямоугольник со сторонами длиной b и c , затем удлиняли сторону прямоугольника до длины a и, наконец, завершали расширенный прямоугольник, чтобы найти сторону прямоугольника, которая является решением. ^[15]

Цветение Тимаридаса [ править ]

Ямвлих в Introductio arithmatica говорит, что Тимарид (ок. 400 г. до н. Э. - ок. 350 г. до н. Э.) Работал с одновременными линейными уравнениями. ^[17] В частности, он создал знаменитое тогда правило, которое было известно как «цветение Тимиарида» или «цветок Тимарида», которое гласит:

Если дана сумма n величин, а также сумма каждой пары, содержащей конкретное количество, то эта конкретная величина равна 1 / ( n - 2) разницы между суммами этих пар и первой данной суммой. ^[18]

или, используя современные обозначения, решение следующей системы из n линейных уравнений от n неизвестных, ^[17]

Икс + Икс ₁ + Икс ₂ + ... + Икс _{N −1} = S
Икс + Икс ₁ = М ₁
Икс + Икс ₂ = М ₂
.
.
.
х + х _{n −1} = m _{n −1}

является,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Ямблихус продолжает описывать, как некоторые системы линейных уравнений, которые не находятся в этой форме, могут быть помещены в эту форму. ^[17]

Евклид Александрийский [ править ]

Евклид ( греч . Εὐκλείδης ) был греческим математиком, который процветал в Александрии , Египет , почти наверняка во время правления Птолемея I (323–283 гг. До н. Э.). ^{[19] [20]} Ни год, ни место его рождения ^[19] , ни обстоятельства его смерти не установлены.

Евклид считается «отцом геометрии ». Его « Начала» - самый успешный учебник в истории математики . ^[19] Хотя он является одним из самых известных математиков в истории, ему не приписывают никаких новых открытий; скорее его помнят за его прекрасные объяснительные способности. ^[21] « Элементы» - это не собрание всех греческих математических знаний на сегодняшний день, как иногда думают; скорее, это элементарное введение в нее. ^[22]

Элементы [ править ]

Геометрические работы греков, представленные в « Элементах » Евклида , обеспечивали основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения частных проблем, в более общие системы формулирования и решения уравнений.

Книга II Элементов содержит четырнадцать предложений, которые во времена Евклида были чрезвычайно важны для изучения геометрической алгебры. Эти предложения и их результаты являются геометрическими эквивалентами нашей современной символической алгебры и тригонометрии. ^[14] Сегодня, используя современную символьную алгебру, мы позволяем символам представлять известные и неизвестные величины (т.е. числа), а затем применяем к ним алгебраические операции, тогда как во времена Евклида величины рассматривались как отрезки прямых, а затем результаты выводились с использованием аксиом или теорем геометрии. ^[14]

Многие основные законы сложения и умножения включены или геометрически доказаны в Элементах . Например, предложение 1 Книги II гласит:

Если есть две прямые линии, и одна из них разрезана на любое количество сегментов, прямоугольник, содержащийся между двумя прямыми линиями, равен прямоугольникам, содержащимся в неразрезанной прямой линии и в каждом из сегментов.

Но это не более , чем геометрической версии (слева) дистрибутивности , ; и в книгах V и VII из элементов в коммутативных и ассоциативные законы умножения демонстрируются. ^[14]${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$

Многие основные уравнения также были доказаны геометрически. Так , например, положение 5 в книге II доказывает , что , ^[23] и положение 4 в книге II доказывает , что . ^[14]${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

Кроме того, многие уравнения имеют геометрические решения. Например, предложение 6 Книги II дает решение квадратного уравнения ax + x ² = b ² , а предложение 11 Книги II дает решение ax + x ² = a ² . ^[24]

Данные [ редактировать ]

Данные - это работа, написанная Евклидом для использования в школах Александрии, и она должна была использоваться в качестве дополнительного тома к первым шести книгам Элементов . В книге содержится около пятнадцати определений и девяноста пяти утверждений, из которых около двух десятков утверждений служат алгебраическими правилами или формулами. ^[25] Некоторые из этих утверждений являются геометрическими эквивалентами решений квадратных уравнений. ^[25] Например, Data содержит решения уравнений dx ² - adx + b ² c = 0 и знакомого вавилонского уравнения xy = a ², x ± y = b . ^[25]

Конические сечения [ править ]

Коническое сечение представляет собой кривую , которая является результатом пересечения в виде конуса с плоскостью . Существует три основных типа конических сечений: эллипсы (включая круги ), параболы и гиперболы . Считается, что конические сечения были открыты Менахмом ^[26] (ок. 380 г. до н. Э. - ок. 320 г. до н. Э.), И, поскольку работа с коническими сечениями эквивалентна работе с соответствующими уравнениями, они играли геометрические роли, эквивалентные кубическим уравнениям и прочим. уравнения высшего порядка.

Менехм знал, что в параболе выполняется уравнение y ² = l x, где l - постоянная, называемая прямой кишкой , хотя он не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными определяет кривую. ^[27] Он, по-видимому, получил эти свойства конических сечений и другие. Используя эту информацию, теперь стало возможным найти решение проблемы дублирования куба , решив точки, в которых пересекаются две параболы, решение, эквивалентное решению кубического уравнения. ^[27]

Евтокий сообщает нам, что метод, который он использовал для решения кубического уравнения, был разработан Дионисодором (250 г. до н.э. - 190 г. до н.э.). Дионисодор решил кубику путем пересечения прямоугольной гиперболы и параболы. Это было связано с проблемой из « О сфере и цилиндре» Архимеда . Конические сечения будут изучаться и использоваться в течение тысяч лет греческими, а затем исламскими и европейскими математиками. В частности, знаменитые « Коники» Аполлония из Перги , среди прочего, посвящены коническим сечениям.

Китай [ править ]

Китайская математика датируется по крайней мере 300 г. до н.э. с Чжуби Суаньцзин , который считается одним из старейших китайских математических документов. ^[28]

Девять глав математического искусства [ править ]

Chiu-chang suan-shu или Девять глав математического искусства , написанные около 250 г. до н.э., являются одной из самых влиятельных из всех китайских книг по математике и состоят из примерно 246 задач. В восьмой главе рассматривается решение определенных и неопределенных одновременных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, а одна задача связана с решением четырех уравнений с пятью неизвестными. ^[28]

Морское зеркало круговых измерений [ править ]

Цэ-юань хай-цзин , или « Морское зеркало круговых измерений» , представляет собой собрание около 170 задач, написанных Ли Чжи (или Ли Е) (1192–1279 гг. Н. Э.). Он использовал веер фа , или метод Хорнера , для решения уравнений степени до шести, хотя он не описал свой метод решения уравнений. ^[29]

Математический трактат в девяти разделах [ править ]

Shu-shu chiu-chang , или " Математический трактат в девяти разделах" , был написан богатым губернатором и министром Цинь Цзю-шао (ок. 1202 - ок. 1261) и с изобретением метода решения одновременных сравнений , ныне называемая китайской теоремой об остатках , она знаменует собой высшую точку китайского неопределенного анализа. ^[29]

Магические квадраты [ править ]

Самые ранние известные магические квадраты появились в Китае. ^[30] В Девяти главах автор решает систему одновременных линейных уравнений, помещая коэффициенты и постоянные члены линейных уравнений в магический квадрат (то есть матрицу) и выполняя операции уменьшения столбцов на магическом квадрате. ^[30] Самые ранние известные магические квадраты порядка выше трех приписываются Ян Хуэю (около 1261–1275 гг.), Который работал с магическими квадратами порядка десяти. ^[31]

Драгоценное зеркало четырех стихий [ править ]

Ssy-yüan yü-chien《四 元 玉 鑒》, или Драгоценное зеркало четырех элементов , было написано Чу Ши-цзе в 1303 году и знаменует собой вершину развития китайской алгебры. Эти четыре элемента , называется небо, земля, человек и материя, представлены четыре неизвестных величин в его алгебраических уравнений. Ссы-yüan YU-цзянь занимается одновременных уравнений и уравнений степени выше , чем четырнадцать. Для решения этих уравнений автор использует метод веерной фа , ныне называемый методом Хорнера . ^[32]

« Драгоценное зеркало» открывается диаграммой арифметического треугольника (треугольника Паскаля ) с круглым нулем, но Чу Ши-цзе отрицает это. Похожий треугольник появляется в работе Ян Хуэя, но без символа нуля. ^[33]

В Драгоценном зеркале приводится множество суммирующих уравнений без доказательства . Вот несколько суммирований: ^[33]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

Диофант [ править ]

Диофант был эллинистическим математиком, жившим ок. 250 г. н.э., но неопределенность этой даты настолько велика, что она может отличаться более чем на столетие. Он известен тем, что написал арифметику , трактат, который первоначально состоял из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть. ^[34] Арифметика имеет очень мало общего с традиционной греческой математикой, поскольку она отделена от геометрических методов, и отличается от вавилонской математики тем, что Диофант занимается в первую очередь точными решениями, как определенными, так и неопределенными, а не простыми приближениями. ^[35]

Обычно довольно трудно сказать, разрешимо ли данное диофантово уравнение. Нет никаких свидетельств того, что Диофант вообще понимал, что может быть два решения квадратного уравнения. Он также рассматривал одновременные квадратные уравнения. ^[36] Кроме того, из всех решений Диофанта нельзя абстрагироваться ни один общий метод. ^[37]

В Арифметике Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также сокращения для степеней чисел, отношений и операций; ^[35] таким образом он использовал то, что теперь известно как синкопированная алгебра. Основное различие между диофантовой синкопированной алгеброй и современной алгебраической нотацией состоит в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент. ^[38] Так, например, что мы могли бы написать как

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

Диофант написал бы как

Κ ^Υ  α̅ς ι̅ ⫛ Δ ^Υ  β̅ Μ  α̅ ἴσ Μ  ε̅

где символы означают следующее: ^{[39] [40]}

Коэффициенты идут после переменных, а сложение представлено сопоставлением терминов. Буквальный символьный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет следующим: ^[39]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

и, чтобы уточнить, если используются современные круглые скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать как: ^[39]

${\displaystyle ({x^{3}}1+{x}10)-({x^{2}}2+{x^{0}}1)={x^{0}}5}$

Арифметика представляет собой набор из примерно 150 решенных задач с конкретными числами, и нет никаких постулатов и явного объяснения общего метода, хотя, возможно, предназначалась универсальность метода и нет попытки найти все решения уравнений. ^[35] Арифметика действительно содержит решенные задачи, включающие несколько неизвестных величин, которые решаются, если возможно, выражением неизвестных величин через только одну из них. ^[35] Арифметика также использует тождества: ^[41]

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$

Индия [ править ]

Индийские математики активно изучали системы счисления. Самые ранние известные индийские математические документы датируются примерно серединой первого тысячелетия до нашей эры (примерно 6 веком до нашей эры). ^[42]

Постоянными темами в индийской математике являются, среди прочего, определенные и неопределенные линейные и квадратные уравнения, простые измерения и тройки Пифагора. ^[43]

Арьябхата [ править ]

Арьябхата (476–550) был индийским математиком, автором Арьябхатии . В нем он дал правила ^[44]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

и

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

Брахма Сфута Сиддханта [ править ]

Брахмагупта (около 628 г.) был индийским математиком, автором книги Брахма Сфута Сиддханта . В своей работе Брахмагупта решает общее квадратное уравнение как для положительных, так и для отрицательных корней. ^[45] В неопределенном анализе Brahmagupta дает пифагорейские триады , , , но это модифицированная форма старого вавилонского правила, Brahmagupta , возможно, был знаком. ^[46] Он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения ax + by = c , где a , b и c - целые числа.${\displaystyle m}$${\displaystyle {1 \over 2}({m^{2} \over n}-n)}$${\displaystyle {1 \over 2}({m^{2} \over n}+n)}$. В отличие от Диофанта, который дал только одно решение неопределенного уравнения, Брахмагупта дал все целочисленные решения; но то, что Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, побудило некоторых историков рассмотреть возможность греческого влияния на работы Брахмагупты или, по крайней мере, на общий вавилонский источник. ^[47]

Подобно алгебре Диофанта, алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение было обозначено размещением чисел рядом, вычитание - помещением точки над вычитаемым, а деление - помещением делителя под делимым, аналогично нашим современным обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов. ^[47] Степень греческого влияния на это синкопирование, если таковое имеется, неизвестна, и вполне возможно, что и греческое, и индийское синкопирование могут происходить из общего вавилонского источника. ^[47]

Бхаскара II [ править ]

Бхаскара II (1114 - ок. 1185) был ведущим математиком XII века. В алгебре он дал общее решение уравнения Пелля . ^[47] Он является автором Lilavati и Vija-Ganita , которые содержат задачи, касающиеся детерминированных и неопределенных линейных и квадратных уравнений, а также троек Пифагора ^[43], и он не умеет различать точные и приблизительные утверждения. ^[48] Многие проблемы в Lilavati и Vija-Ganita происходят из других индуистских источников, поэтому Бхаскара лучше всех справляется с неопределенным анализом. ^[48]

Бхаскара использует начальные символы названий цветов как символы неизвестных переменных. Так, например, то, что мы сегодня написали бы как

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

Бхаскара написал бы как

. _ .

я 1 ru 1

.

я 2 ру 8

.

Sum я 1 RU 9

где ya указывает на первый слог слова, обозначающий черный , а ru взят из слова разновидности . Точки над числами означают вычитание.

Исламский мир [ править ]

В первом столетии Исламской арабской империи почти не было научных или математических достижений, поскольку арабы с их недавно завоеванной империей еще не приобрели интеллектуального потенциала, а исследования в других частях мира прекратились. Во второй половине 8-го века ислам пережил культурное пробуждение, и исследования в области математики и естественных наук расширились. ^[49] Мусульманин Аббасидский халиф аль-Мамун (809–833), как говорят, видел сон, в котором ему явился Аристотель, и, как следствие, аль-Мамун приказал сделать арабский перевод как можно большего числа греческих сочинений, включая Птолемея Альмагест и Евклида элементы. Греческие произведения будут переданы мусульманам Византийской империей в обмен на договоры, поскольку между двумя империями был непростой мир. ^[49] Многие из этих греческих сочинений были переведены Сабитом ибн Куррой (826–901), который перевел книги, написанные Евклидом, Архимедом, Аполлонием, Птолемеем и Евтокием. ^[50]

Арабские математики установили алгебру как самостоятельную дисциплину и дали ей название «алгебра» ( аль-джабр ). Они первыми начали преподавать алгебру в элементарной форме и ради нее самой. ^[51] Есть три теории о происхождении арабской алгебры. Первый подчеркивает индуистское влияние, второй подчеркивает месопотамское или персидско-сирийское влияние, а третий подчеркивает греческое влияние. Многие ученые считают, что это результат сочетания всех трех источников. ^[52]

На протяжении всего своего пребывания у власти арабы использовали чисто риторическую алгебру, где часто даже числа выражались словами. В конечном итоге арабы заменили записанные числа (например, двадцать два) арабскими цифрами (например, 22), но арабы не принимали и не разрабатывали синкопированную или символическую алгебру ^[50] до работы Ибн аль-Банны , который разработал символическая алгебра в 13 веке, а затем Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади в 15 веке.

Аль-Джабр Валь Мукабала [ править ]

Мусульманин ^[53] персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Харизми был преподавателем « Дома мудрости » ( Байт аль-Хикма ) в Багдаде, который был основан аль-Мамуном. Аль-Хорезми, умерший около 850 г. н.э., написал более полдюжины математических и астрономических работ, некоторые из которых были основаны на индийском синдхинде . ^[49] Одна из самых известных книг аль-Хорезми называется « Аль-джабр ва'л мукабала» или «Сборник вычислений путем завершения и балансировки» , и в ней дается исчерпывающий отчет о решении многочленов до второй степени.. ^[54] В книге также представлены фундаментальные концепции « редукции » и «уравновешивания», относящиеся к переносу вычитаемых членов на другую сторону уравнения, то есть отмену одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую Аль-Хорезми первоначально назвал аль-Джабр . ^[55] Название «алгебра» происходит от слова « аль-джабр » в названии его книги.

Р. Рашед и Анджела Армстронг пишут:

«Текст Аль-Хорезй можно увидеть, что он отличается не только от вавилонских таблеток , но и от Диофант " Арифметика . Он больше никаких проблем ряда проблем , которые будут решен, но экспозиция , которая начинается с примитивными условиями , в которых комбинации должны дать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явным образом составляют истинный объект исследования. С другой стороны, идея уравнения сама по себе появляется с самого начала и, можно сказать, в общем смысле, поскольку она не просто возникают в процессе решения проблемы, но специально призваны определять бесконечный класс проблем ». ^[56]

Аль-Джабр разделен на шесть глав, каждая из которых имеет дело с разными типами формул. Первая глава Аль-Джабра имеет дело с уравнениями, квадраты которых равны его корням ( ax ² = bx ), вторая глава имеет дело с квадратами, равными числу ( ax ² = c ), третья глава имеет дело с корнями, равными числу ( bx = c ), в четвертой главе речь идет о квадратах и ​​корнях, равных числу ( ax ² + bx = c ), в пятой главе рассматриваются квадраты и равные числа корней ( ax ² + c =bx ), а шестая и последняя глава посвящена корням и числам, равным квадратам ( bx + c = ax ² ). ^[57]

В « Аль-Джабре» аль-Хорезми использует геометрические доказательства ^[16], он не распознает корень x = 0, ^[57] и имеет дело только с положительными корнями. ^[58] Он также признает, что дискриминант должен быть положительным, и описывает метод завершения квадрата , хотя и не оправдывает эту процедуру. ^[59] Греческое влияние показано геометрическими основами Аль-Джабра ^{[52] [60]} и одной проблемой, взятой из Герона. ^[61]Он использует буквенные диаграммы, но все коэффициенты во всех его уравнениях являются конкретными числами, поскольку у него не было способа выразить с помощью параметров то, что он мог бы выразить геометрически; хотя предполагается универсальность метода. ^[16]

Аль-Хорезми , скорее всего , не знал Диофанта в Arithmetica , ^[62] , которая стала известна арабам когда - то до 10 - го века. ^[63] И хотя аль-Хорезми, скорее всего, знал о работе Брахмагупты, Аль-Джабр полностью риторический, с числами, даже выраженными словами. ^[62] Так, например, что мы могли бы написать как

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

Диофант написал бы как ^[64]

Δ ^Υ α̅ ςι̅ ' ίσ Μ λ̅θ̅

И аль-Хорезми написал бы как ^[64]

Один квадрат и десять корней равны тридцатью девятью дирхемам ; Другими словами, каким должен быть квадрат, который, если умножить его на десять собственных корней, даст тридцать девять?

Логическая необходимость в смешанных уравнениях [ править ]

Абд аль-Хамид ибн Тюрк является автором рукописи под названием « Логические необходимости в смешанных уравнениях» , которая очень похожа на « Аль-Джабр» аль-Хварзими и была опубликована примерно в то же время или даже раньше, чем « Аль-Джабр» . ^[63] Рукопись дает точно такую ​​же геометрическую демонстрацию, что и в Аль-Джабре , и в одном случае тот же пример, что и в Аль-Джабре , и даже выходит за рамки Аль-Джабра , давая геометрическое доказательство того, что если дискриминант отрицательно, то квадратное уравнение не имеет решения. ^[63]Сходство между этими двумя работами привело некоторых историков к выводу, что арабская алгебра могла быть хорошо развита ко времени аль-Хорезми и 'Абд аль-Хамида. ^[63]

Абу Камиль и аль-Кархи [ править ]

Арабские математики рассматривали иррациональные числа как алгебраические объекты. ^[65] Египетский математик Абу Камиль Shuja ибн Аслам (с. 850-930) был первым , чтобы принять иррациональные числа (часто в виде квадратного корня , кубический корень или корень четвертой степени ) в качестве решения квадратных уравнений или в виде коэффициентов в уравнение. ^[66] Он также был первым, кто решил три нелинейных одновременных уравнения с тремя неизвестными переменными . ^[67]

Аль-Кархи (953–1029), также известный как Аль-Караджи, был преемником Абу аль-Вафа аль-Бузджани (940–998), и он обнаружил первое численное решение уравнений вида ax ^{2 n} + bx ^п = с . ^[68] Аль-Кархи рассматривал только положительные корни. ^[68] Аль-Кархи также считается первым человеком, освободившим алгебру от геометрических операций и заменившим их арифметическими операциями, лежащими в основе современной алгебры. Его работа по алгебре и многочленам дала правила арифметических операций для управления многочленами. Историк математикиФ. Вопке в « Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi» ( Париж , 1853 г.) похвалил Аль-Караджи за то, что он «был первым, кто ввел теорию алгебраического исчисления». Исходя из этого, аль-Караджи исследовал биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля . ^[69]

Омар Хайям, Шараф ад-Дин и аль-Каши [ править ]

Омар Хайям (ок. 1050 - 1123) написал книгу по алгебре, которая вышла за рамки Аль-Джабра и включила уравнения третьей степени. ^[70] Омар Хайям предоставил как арифметические, так и геометрические решения для квадратных уравнений, но он дал только геометрические решения для общих кубических уравнений, поскольку он ошибочно полагал, что арифметические решения невозможны. ^[70] Его метод решения кубических уравнений с использованием пересекающихся коник использовался Менахмом , Архимедом и Ибн аль-Хайтамом (Альхазен) , но Омар Хайям обобщил этот метод, чтобы покрыть все кубические уравнения с положительными корнями. ^[70]Он рассматривал только положительные корни и не перешел третьей степени. ^[70] Он также увидел сильную связь между геометрией и алгеброй. ^[70]

В XII веке Шараф ад-Дин ат-Туси ( 1135–1213 ) написал Аль-Муадалат ( Трактат об уравнениях ), в котором рассматривались восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов кубических уравнений, которые не могут есть положительные решения. Он использовал то , что позже будет известно как « Руффини - Хорнера метод» , чтобы численно аппроксимировать корень кубического уравнения. Он также разработал концепции максимумов и минимумов кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. ^[71] Он понимал важность дискриминанта кубического уравнения и использовал раннюю версиюФормула Кардано ^[72] для нахождения алгебраических решений некоторых типов кубических уравнений. Некоторые ученые, такие как Рошди Рашед, утверждают, что Шараф ад-Дин открыл производную кубических многочленов и осознал ее значение, в то время как другие ученые связывают его решение с идеями Евклида и Архимеда. ^[73]

Шараф ад-Дин также разработал концепцию функции . ^{[ необходимая цитата ]} В своем анализе уравнения, например, он начинает с изменения формы уравнения на . Затем он заявляет, что вопрос о том, имеет ли уравнение решение, зависит от того, достигает ли «функция» в левой части значения . Чтобы определить это, он находит максимальное значение функции. Он доказывает, что максимальное значение имеет место при , что дает функциональную ценность . Затем Шараф ад-Дин заявляет, что если это значение меньше , нет положительных решений; если он равен , то есть одно решение при ; и если он больше чем${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$${\displaystyle x^{2}(b-x)=d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle d}$, то есть два решения: одно между и, а другое между и . ^[74]${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle b}$

В начале 15 века Джамшид аль-Каши разработал раннюю форму метода Ньютона для численного решения уравнения, чтобы найти корни . ^[75] Аль-Каши также разработал десятичные дроби и утверждал, что открыл их сам. Однако Дж. Леннарт Берггренн отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби были впервые использованы за пять веков до него багдадским математиком Абу'л-Хасаном аль-Уклидиси еще в 10 веке. ^[67]${\displaystyle x^{P}-N=0}$${\displaystyle N}$

Аль-Хассар, Ибн аль-Банна и аль-Каласади [ править ]

Аль-Хассар , математик из Марокко, специализирующийся на исламской юриспруденции наследования в XII веке, разработал современную символическую математическую нотацию для дробей , в которой числитель и знаменатель разделены горизонтальной чертой. Такое же дробное представление появилось вскоре после этого в работе Фибоначчи в 13 веке. ^{[ необходима цитата ]}

Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади (1412–1486) был последним крупным арабским алгебраистом средневековья , сделавшим первую попытку создания алгебраической системы обозначений после Ибн аль-Банны двумя веками ранее, который сам был первым, кто сделал такую попытки со времен Диофанта и Брахмагупты в древние времена. ^[76] Синкопированные записи его предшественников, однако, не содержали символов для математических операций . ^[38] Аль-Каласади «сделал первые шаги к введению алгебраической символики, используя буквы вместо цифр» ^[76]и «используя короткие арабские слова или только их начальные буквы в качестве математических символов». ^[76]

Европа и Средиземноморский регион [ править ]

Подобно тому, как смерть Гипатии знаменует закрытие Александрийской библиотеки как математического центра, смерть Боэция знаменует конец математики в Западной Римской империи . Хотя в Афинах велась некоторая работа , она подошла к концу, когда в 529 году византийский император Юстиниан закрыл языческие философские школы. 529 год считается началом средневековья. Ученые бежали с Запада на более гостеприимный Восток, особенно в Персию , где они нашли убежище при царе Хосроэ.и основал то, что можно было бы назвать «Афинской академией в изгнании». ^[77] Согласно договору с Юстинианом, Хосроуз в конечном итоге вернет ученых в Восточную Империю . В Средние века европейская математика находилась в надире с математическими исследованиями, состоящими в основном из комментариев к древним трактатам; и большая часть этих исследований была сосредоточена в Византийской империи . В конце средневекового периода устанавливается как падение Константинополя на турок в 1453 году.

Позднее средневековье [ править ]

XII век стал свидетелем потока переводов с арабского на латынь, а к XIII веку европейская математика начала конкурировать с математикой других стран. В 13 веке решение кубического уравнения Фибоначчи представляет собой начало возрождения европейской алгебры.

По мере того, как после 15 века исламский мир приходил в упадок, в европейском мире происходил подъем. И именно здесь алгебра получила дальнейшее развитие.

Символическая алгебра [ править ]

Современные обозначения для арифметических операций были введены между концом 15 века и началом 16 века Иоганном Видманном и Майклом Стифелем . В конце 16 века Франсуа Виет ввел символы, которые теперь называются переменными , для представления неопределенных или неизвестных чисел. Это создало новую алгебру, состоящую из вычислений с символическими выражениями, как если бы они были числами.

Другим ключевым событием в дальнейшем развитии алгебры стало общее алгебраическое решение кубических и квартичных уравнений , разработанное в середине 16 века. Идея определителя была развита японским математиком Кова Секи в 17 веке, а затем Готфридом Лейбницем десять лет спустя с целью решения систем одновременных линейных уравнений с использованием матриц . Габриэль Крамер также работал над матрицами и детерминантами в 18 веке.

Символ x [ править ]

По традиции, первая неизвестная переменная в алгебраической задаче в настоящее время представлена символом ; если есть второй или третий неизвестный, они помечаются и соответственно. Алгебраический x обычно печатается курсивом, чтобы отличить его от знака умножения.${\displaystyle {\mathit {x}}}$${\displaystyle {\mathit {y}}}$${\displaystyle {\mathit {z}}}$

Историки математики ^{[78] в} целом согласны с тем, что использование x в алгебре было введено Рене Декартом и впервые было опубликовано в его трактате La Géométrie (1637). ^{[79] [80]} В этой работе он использовал письмо от начала алфавита ( , Ь , с , ...) для известных величин, и письма от конца алфавита ( г , у , х ,. ..) для неизвестных. ^[81] Было высказано предположение, что позже он остановился на x (вместо z) для первого неизвестного из-за его относительно большего количества во французских и латинских типографских шрифтах того времени. ^[82]

В XIX веке были предложены три альтернативные теории происхождения алгебраического x : (1) символ, используемый немецкими алгебраистами и считающийся производным от курсивной буквы r , ошибочно принятой за x ; ^[83] (2) цифра 1 с косым зачеркиванием ; ^[84] и (3) арабский / испанский источник (см. Ниже). Но швейцарско-американский историк математики Флориан Каджори исследовал их и обнаружил, что всем трем не хватает конкретных доказательств; Каджори назвал Декарта создателем и описал его x , y и zкак «свободные от традиций [,] и их выбор чисто произвольный». ^[85]

Тем не менее, испанско-арабская гипотеза продолжает присутствовать в массовой культуре и сегодня. ^[86] Это утверждение, что алгебраический x - это аббревиатура предполагаемого заимствованного слова из арабского древнеиспанского языка. Теория возникла в 1884 году у немецкого востоковеда Поля де Лагарда , вскоре после того, как он опубликовал свое издание двуязычного глоссария испанско-арабского языка 1505 года ^[87], в котором испанский cosa («вещь») был соединен с его арабским эквивалентом شىء ( shay ^ʔ). ), транскрибируемый как xei . (Звук "ш" на старом испанском языке обычно записывался как x.) Очевидно, Лагард знала, что арабские математики на «риторической» стадии развития алгебры часто использовали это слово для обозначения неизвестной величины. Он предположил, что «нет ничего более естественного» («Nichts war также natürlicher ...»), чем начало арабского слова, латинизированное как старое испанское x, которое можно было бы использовать в алгебре. ^[88] Более поздний читатель переосмыслил гипотезу Лагард как «доказавшую» точку зрения. ^[89] Лагард не знала, что ранние испанские математики использовали не транскрипцию арабского слова, а его перевод на их родном языке, «коза».^[90] Нет экземпляра xeiили аналогичные формы в нескольких составленных исторических словарях испанского языка. ^{[91] [92]}

Готфрид Лейбниц [ править ]

Хотя математическое понятие функции неявно присутствовало в тригонометрических и логарифмических таблицах , существовавших в то время, Готфрид Лейбниц был первым, в 1692 и 1694 годах, который использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, производных от кривой, таких как абсцисса , ордината , касательная , хорда и перпендикуляр . ^[93] В 18 веке «функция» утратила эти геометрические ассоциации.

Лейбниц понял, что коэффициенты системы линейных уравнений могут быть организованы в массив, который теперь называется матрицей , которой можно манипулировать, чтобы найти решение системы, если таковое имеется. Позднее этот метод был назван методом исключения Гаусса . Лейбниц также открыл булеву алгебру и символическую логику , также относящиеся к алгебре.

Абстрактная алгебра [ править ]

Умение заниматься алгеброй - это навык, который культивируется в математическом образовании . Как объяснил Эндрю Уорвик, студенты Кембриджского университета в начале 19 века практиковали «смешанную математику» ^[94], выполняя упражнения, основанные на физических переменных, таких как пространство, время и вес. Со временем связь переменных с физическими величинами исчезла по мере развития математической техники. В конце концов математика полностью занялась абстрактными многочленами , комплексными числами , гиперкомплексными числами и другими понятиями. Приложение к физическим ситуациям тогда называлось прикладной математикой илиматематическая физика , а область математики расширилась за счет абстрактной алгебры . Например, проблема конструктивных чисел показала некоторые математические ограничения, и была развита область теории Галуа .

Отец алгебры [ править ]

Титул «отца алгебры» часто приписывают персидскому математику Аль-Хорезми , ^{[95] [96] [97]} при поддержке историков математики , таких как Карл Бенджамин Бойер , ^[95] Соломон Гандц и Бартель Леендерт ван дер Варден . ^[98] Однако этот вопрос является спорным, и название иногда приписывают эллинистическому математику Диофанту . ^{[95] [99]} Сторонники Диофанта указывают на то, что алгебра, найденная в Аль-Джабре , более элементарна, чем алгебра, найденная вАрифметика и Арифметика синкопируются, в то время как Аль-Джабр полностью риторический. ^[95] Однако историк математики Курт Фогель возражает против того, чтобы Диофантносилэтот титул ^[100], поскольку его математика была не намного более алгебраической, чем математика древних вавилонян . ^[101]

Сторонники Аль-Хорезми указывают на тот факт, что он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями ^[102] и был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради нее самой, в то время как Диофант был в первую очередь занимается теорией чисел . ^[51] Аль-Хорезми также ввел фундаментальные концепции «редукции» и «уравновешивания» (которые он первоначально использовал для обозначения термина « аль-джабр» ), имея в виду перенос вычитаемых членов в другую часть уравнения, т.е. есть сокращение одинаковых членов в противоположных частях уравнения. ^[55]Другие сторонники Аль-Хорезми указывают на то, что его алгебра больше не занимается «серией проблем, которые необходимо решить, а представляет собой изложение, которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явным образом представляют собой истинные. объект исследования ". Они также указывают на то, что он рассматривал уравнение как таковое, «в общем, поскольку оно не просто возникает в процессе решения проблемы, но специально призвано определять бесконечный класс проблем». ^[56] Виктор Дж. Кац считает Аль-Джабр первым истинным текстом по алгебре, который до сих пор сохранился. ^[103]

См. Также [ править ]

• Хронология алгебры

Сноски и цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Алькала, Педро де (1505 г.), De lingua arabica , Гранада (издание Поля де Лагарда, Геттинген: Арнольд Хойер, 1883 г.)CS1 maint: location (link)
• Алонсо, Мартин (1986), Испанский язык средневековья , Саламанка: Понтификационный университет Саламанки
• Аурел, Марко (1552 г.), Libro primero de arithmetica algebratica , Валенсия: Жоан де Мей
• Башмакова И. , Смирнова Г. (2000) Начало и эволюция алгебры , Математические изложения Дольчиани 23. Перевод Эйба Шеницера. Математическая ассоциация Америки.
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики (второе изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8
• Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона: Введение (3-е изд.), Dubuque: Wm. К. Браун
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение (третье изд.), McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN 978-0-07-009465-9
• Каджори, Флориан (1919), «Как x стал обозначать неизвестное количество» , School Science and Mathematics , 19 (8): 698–699, doi : 10.1111 / j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Кахори, Флориан (1928), История математических обозначений , Чикаго: Публикация открытого суда, ISBN 9780486161167
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-18082-1
• Дербишир, Джон (2006), Неизвестное количество: Реальная и воображаемая история алгебры , Вашингтон, округ Колумбия: Джозеф Генри Пресс, ISBN 978-0-309-09657-7
• Декарт, Рене (1637), La Géométrie , Leyde: Ян Мэр. Онлайн 2008 изд. Л. Херманна, Проект Гутенберг.
• Декарт, Рене (1925), Геометрия Рене Декарта , Чикаго: Открытый суд, ISBN 9781602066922
• Диес, Хуан (1556 г.), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los reynos del Piru son needsarias a los mercaderes: y todo genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al arithmetica , Мехико
• Энестрем, Густав (1905), "Kleine Mitteilungen" , Bibliotheca Mathematica , Ser. 3, 6 (онлайн-доступ только в США)
• Флегг, Грэм (1983), Числа: их история и значение , публикации Dover, ISBN 978-0-486-42165-0
• Хит, Томас Литтл (1981a), История греческой математики, Том I , Дуврские публикации, ISBN 978-0-486-24073-2
• Хит, Томас Литтл (1981b), История греческой математики, Том II , Дуврские публикации, ISBN 978-0-486-24074-9
• Джейкоб, Георг (1903), «Восточные элементы культуры на Западе» , Годовой отчет попечительского совета Смитсоновского института [...] за год, закончившийся 30 июня 1902 года : 509–529
• Kasten, Lloyd A .; Коди, Флориан Дж. (2001), Предварительный словарь средневекового испанского языка (2-е изд.), Нью-Йорк: латиноамериканская семинария средневековых исследований
• Кац, Виктор Дж .; Паршалл, Карен Хунгер (2014), Укрощение неизвестного: история алгебры с древности до начала двадцатого века , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-1-400-85052-5
• Лагард, Поль де (1884), "Woher stammt das x der Mathematiker?" , Mittheilungen , 1 , Goettingen: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, стр. 134–137.
• Нуньес, Педро (1567), Libro de algebra en arithmetica y geometria , Антверпен: Арнольдо Биркман
• Oelschläger, Виктор Р. Б. (1940), Средневековый испанский список слов , Мэдисон: Университет Висконсина Press
• Ортега, Хуан де (1552), Tractado subtilissimo de arismetica y geometria , Гранада: Рене Рабут
• Перес де Мойя, Хуан (1562 г.), Aritmética práctica y especulativa , Саламанка: Матиас Гаст
• Пуч, Андрес (1672 г.), Arithmetica especulativa y Practica; y arte de algebra , Барселона: Антонио Лакаваллерия
• Райдер, Робин Э. (1982), Библиография ранней современной алгебры, 1500-1800 , Беркли: статьи Беркли по истории науки
• Сесиано, Жак (1999), Введение в историю алгебры: решение уравнений от месопотамских времен до эпохи Возрождения , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 9780821844731
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе издание), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 978-0-387-95336-6
• Свец, Фрэнк Дж. (2013), Европейское математическое пробуждение: путешествие по истории математики, 1000-1800 (2-е изд.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 9780486498058
• Tropfke, Johannes (1902), Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung , 1 , Лейпциг: Von Veit & Comp.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: История алгебры

• «Комментарий шейха Ислама Закария аль-Ансари на стихотворение Ибн аль-Хаима о науке алгебры и балансировки, названный Богоявлением Творца в объяснении убедительности», в котором представлены основные концепции алгебры, относящиеся к 15 веку, из World Digital Библиотека .