Гидродинамическая устойчивость

Простая схема перехода от устойчивого течения к турбулентному. а) стабильный, б) турбулентный

В динамике жидкости , гидродинамическая устойчивость является полем , которое анализирует стабильность и возникновение нестабильности из жидких потоков. Изучение гидродинамической устойчивости направлено на то, чтобы выяснить, является ли данный поток стабильным или нестабильным, и если да, то как эти нестабильности вызовут развитие турбулентности . ^[1] Основы гидродинамической устойчивости, как теоретические, так и экспериментальные, были заложены прежде всего Гельмгольцем , Кельвином , Рэлеем и Рейнольдсом в девятнадцатом веке. ^[1]Эти основы дали много полезных инструментов для изучения гидродинамической устойчивости. К ним относятся число Рейнольдса , уравнения Эйлера и уравнения Навье – Стокса . При изучении устойчивости потока полезно понимать более простые системы, например, несжимаемые и невязкие жидкости, которые затем могут быть развиты в более сложные потоки. ^[1] С 1980-х годов для моделирования и анализа более сложных потоков используется больше вычислительных методов.

Стабильные и нестабильные потоки [ править ]

Чтобы различать различные состояния потока жидкости, необходимо учитывать, как жидкость реагирует на возмущение в исходном состоянии. ^[2] Эти возмущения будут относиться к начальным свойствам системы, таким как скорость , давление и плотность . Джеймс Клерк Максвелл красиво выразил качественную концепцию устойчивого и нестабильного течения, когда сказал: ^[1]

"когда бесконечно малое изменение текущего состояния изменит только на бесконечно малую величину состояние в какое-то время в будущем, состояние системы, будь то в состоянии покоя или в движении, называется стабильным, но когда бесконечно малое изменение текущее состояние может вызвать конечную разницу в состоянии системы за конечное время, система называется нестабильной ».

Это означает, что для стабильного потока любое бесконечно малое изменение, которое считается возмущением, не окажет заметного влияния на начальное состояние системы и со временем утихнет. ^[2] Чтобы поток жидкости считался стабильным, он должен быть устойчивым по отношению ко всем возможным возмущениям. Это означает, что не существует режима возмущения, для которого он был бы нестабильным. ^[1]

С другой стороны, для нестабильного потока любые изменения будут иметь заметное влияние на состояние системы, которое затем вызовет рост возмущения по амплитуде таким образом, что система постепенно уйдет из исходного состояния и никогда не вернется в Это. ^[2] Это означает, что существует, по крайней мере, один режим возмущения, по отношению к которому поток является нестабильным, и поэтому возмущение будет искажать существующее равновесие сил. ^[3]

Определение стабильности потока [ править ]

Число Рейнольдса [ править ]

Ключевым инструментом, используемым для определения устойчивости потока, является число Рейнольдса (Re), впервые предложенное Джорджем Габриэлем Стоуксом в начале 1850-х годов. Связанное с Осборном Рейнольдсом, который развил эту идею в начале 1880-х годов, это безразмерное число дает соотношение инерционных и вязких членов. ^[4] В физическом смысле это число представляет собой отношение сил, возникающих из-за количества движения жидкости (инерционные члены), и сил, возникающих из-за относительного движения различных слоев текущей жидкости (вязкие термины ). Уравнение для этого ^[2]

${\ displaystyle R_ {e} = {\ frac {\ text {inertial}} {\ text {viscous}}} = {\ frac {\ rho u ^ {2}} {\ frac {\ mu u} {L} }} = {\ frac {\ rho uL} {\ mu}} = {\ frac {uL} {\ nu}}}$

куда

${\ Displaystyle \ rho = {\ текст {плотность}}}$

${\ displaystyle {\ text {u}} = {\ text {скорость потока жидкости}}}$

${\ displaystyle \ mu = {\ text {динамическая вязкость}}}$ - измеряет сопротивление жидкости сдвиговым потокам

${\ displaystyle {\ text {L}} = {\ text {характеристическая длина}}}$

${\displaystyle \nu ={\text{kinematic viscosity}}={\frac {\mu }{\rho }}}$ - измеряет отношение динамической вязкости к плотности жидкости

Число Рейнольдса полезно, потому что оно может обеспечить точки отсечения, когда поток стабильный или нестабильный, а именно критическое число Рейнольдса . По мере его увеличения амплитуда возмущения, которое затем может привести к нестабильности, становится меньше. ^[1] При высоких числах Рейнольдса считается, что потоки жидкости будут нестабильными. Высокое число Рейнольдса может быть достигнуто несколькими способами, например, если это небольшое значение или если и являются высокими значениями. ^[2] Это означает, что нестабильность возникнет почти сразу, и поток станет нестабильным или турбулентным. ^[1]${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\text{u}}}$

Уравнение Навье – Стокса и уравнение неразрывности [ править ]

Чтобы аналитически найти устойчивость потоков жидкости, полезно отметить, что гидродинамическая устойчивость имеет много общего с устойчивостью в других областях, таких как магнитогидродинамика , физика плазмы и упругость ; хотя физика в каждом случае разная, математика и используемые методы схожи. Существенная задача моделируется нелинейными уравнениями в частных производных, и исследуется устойчивость известных стационарных и нестационарных решений. ^[1] Основными уравнениями для почти всех задач гидродинамической устойчивости являются уравнение Навье – Стокса и уравнение неразрывности. Уравнение Навье – Стокса определяется следующим образом: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla p_{0}+\mathbf {b} .}$

куда

• ${\displaystyle \mathbf {u} ={\text{velocity field of fluid}}}$
• ${\displaystyle p_{0}={\text{pressure of fluid}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {b} ={\text{body force acting on fluid e.g gravity}}}$
• ${\displaystyle \nu ={\text{kinematic viscosity}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}={\text{partial derivative of the velocity field with respect to time}}}$
• ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

Здесь используется как оператор, действующий на поле скорости в левой части уравнения, а затем действующий на давление в правой части.${\displaystyle \nabla }$

а уравнение неразрывности задается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}+\rho \,\nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

куда

• ${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}={\text{material derivative of the density}}}$

Еще раз используется как оператор и вычисляет дивергенцию скорости.${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

но если рассматриваемая жидкость несжимаема , что означает, что плотность постоянна, то и, следовательно,:${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}=0}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Предположение о несжимаемости потока является правильным и применимо к большинству жидкостей, движущихся с большинством скоростей. Именно допущения такой формы помогут упростить уравнение Навье – Стокса до дифференциальных уравнений, таких как уравнение Эйлера, с которыми легче работать.

Уравнение Эйлера [ править ]

Если рассматривать поток, который является невязким, именно здесь вязкие силы малы и, следовательно, ими можно пренебречь в расчетах, то мы придем к уравнениям Эйлера :

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla p_{0}}$

Хотя в данном случае мы предположили, что жидкость является невязкой, это предположение не выполняется для потоков, где есть граница. Наличие границы вызывает некоторую вязкость в пограничном слое, которой нельзя пренебрегать, и мы возвращаемся к уравнению Навье – Стокса. Нахождение решений этих основных уравнений при различных обстоятельствах и определение их устойчивости является фундаментальным принципом при определении устойчивости самого потока жидкости.

Анализ линейной устойчивости [ править ]

Чтобы определить, является ли течение стабильным или нестабильным, часто используют метод линейного анализа устойчивости. В этом типе анализа основные уравнения и граничные условия линеаризуются. Это основано на том факте, что понятие «стабильный» или «неустойчивый» основано на бесконечно малом возмущении. Для таких возмущений разумно предположить, что возмущения с разными длинами волн развиваются независимо. (Нелинейное управляющее уравнение позволит возмущениям с разными длинами волн взаимодействовать друг с другом.)

Анализ стабильности потока [ править ]

Теория бифуркации [ править ]

Теория бифуркаций - полезный способ изучения устойчивости данного потока с изменениями, которые происходят в структуре данной системы. Гидродинамическая устойчивость - это серия дифференциальных уравнений и их решений. Бифуркация возникает, когда небольшое изменение параметров системы вызывает качественное изменение ее поведения. ^[1] Параметр, который изменяется в случае гидродинамической устойчивости, - это число Рейнольдса. Можно показать, что возникновение бифуркаций совпадает с возникновением нестабильностей. ^[1]

Лабораторные и вычислительные эксперименты [ править ]

Лабораторные эксперименты - очень полезный способ получения информации о данном потоке без использования более сложных математических методов. Иногда физическое наблюдение за изменением потока во времени так же полезно, как и численный подход, и любые результаты этих экспериментов могут быть связаны с основной теорией. Экспериментальный анализ также полезен, потому что он позволяет очень легко изменять управляющие параметры, и их эффекты будут видны.

Когда имеешь дело с более сложными математическими теориями, такими как теория бифуркаций и слабо нелинейная теория, численное решение таких задач становится очень трудным и требует много времени, но с помощью компьютеров этот процесс становится намного проще и быстрее. С 1980-х годов вычислительный анализ становится все более и более полезным, совершенствование алгоритмов, которые могут решать основные уравнения, такие как уравнение Навье – Стокса, означает, что их можно более точно интегрировать для различных типов потоков.

Приложения [ править ]

Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца [ править ]

Неустойчивости Кельвина-Гельмгольца (НКГ) является применение гидродинамической устойчивости , которые можно увидеть в природе. Это происходит, когда две жидкости текут с разными скоростями. Разница в скорости жидкостей вызывает скорость сдвига на границе раздела двух слоев. ^[3] Скорость сдвига одной движущейся жидкости вызывает напряжение сдвига в другой, которое, если оно превышает ограничивающее поверхностное натяжение , приводит к нестабильности на границе раздела между ними. ^[3]Это движение вызывает появление серии опрокидывающихся океанских волн, характерных для неустойчивости Кельвина – Гельмгольца. Действительно, кажущаяся океаническая волнообразная природа является примером образования вихрей , которые образуются, когда жидкость вращается вокруг некоторой оси, и часто ассоциируется с этим явлением.

Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца можно увидеть в полосах атмосфер планет, таких как Сатурн и Юпитер , например, в гигантском вихре красных пятен. В атмосфере, окружающей гигантское красное пятно, есть самый большой известный пример KHI, который вызван поперечной силой на границе раздела различных слоев атмосферы Юпитера. Было сделано много снимков, на которых отчетливо видны характеристики, подобные океанским волнам, обсуждавшиеся ранее, с видимыми до 4 слоев сдвига. ^[5]

Метеорологические спутники используют эту нестабильность для измерения скорости ветра над большими водоемами. Волны генерируются ветром, который срезает воду на границе раздела между ней и окружающим воздухом. Компьютеры на борту спутников определяют шероховатость океана, измеряя высоту волны. Это делается с помощью радара , в котором радиосигнал передается на поверхность и регистрируется задержка отраженного сигнала, известная как «время полета». Благодаря этому метеорологи могут понять движение облаков и ожидаемую турбулентность воздуха возле них.

Неустойчивость Рэлея – Тейлора [ править ]

Неустойчивости Рэлея-Тейлор другое применение гидродинамической устойчивости , а также происходят между двумя текучими средами , но на этот раз плотность жидкостей различна. ^[6] Из-за разницы в плотностях две жидкости будут пытаться уменьшить их совокупную потенциальную энергию . ^[7] Менее плотная жидкость будет делать это, пытаясь пробиться вверх, а более плотная жидкость будет пытаться пробиться вниз. ^[6] Таким образом, есть две возможности: если более легкая жидкость находится сверху, граница раздела считается стабильной, но если более тяжелая жидкость находится сверху, то равновесие системы неустойчиво к любым возмущениям на границе раздела. В этом случае обе жидкости начнут смешиваться. ^[6]Как только небольшое количество более тяжелой жидкости вытесняется вниз с равным объемом более легкой жидкости вверх, потенциальная энергия теперь ниже, чем в исходном состоянии, ^[7] поэтому возмущение будет расти и приведет к турбулентному потоку, связанному с неустойчивостями Рэлея-Тейлора. . ^[6]

Это явление можно увидеть в межзвездном газе , например в Крабовидной туманности . Он вытолкнул из плоскости Галактики по магнитных полей и космических лучей , а затем становится Рэлея-Тейлора неустойчиво , если он оттолкнул ее нормальной шкалы высоты . ^[6] Эта нестабильность также объясняет грибовидное облако, которое образуется в таких процессах, как извержения вулканов и атомные бомбы.

Неустойчивость Рэлея – Тейлора оказывает большое влияние на климат Земли. Ветры, дующие с берегов Гренландии и Исландии, вызывают испарение с поверхности океана, над которым они проходят, увеличивая соленость океанской воды у поверхности и делая воду у поверхности более плотной. Затем образуются шлейфы, управляющие океанскими течениями . Этот процесс действует как тепловой насос, транспортирующий теплую экваториальную воду на север. Без опрокидывания океана Северная Европа , вероятно, столкнется с резким падением температуры. ^[6]

См. Также [ править ]

• Список гидродинамических неустойчивостей
• Ламинарно-турбулентный переход
• Стабильность плазмы
• Теорема Сквайра
• Поток Тейлора – Куэтта

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дразин, П.Г. (2002), Введение в гидродинамическую устойчивость , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00965-2
• Чандрасекар, С. (1961), Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость , Дувр, ISBN 978-0-486-64071-6
• Чарру, Ф. (2011), Гидродинамические неустойчивости , Cambridge University Press, ISBN 978-1139500548
• Godreche, C .; Manneville, P., eds. (1998), Гидродинамика и нелинейные неустойчивости , Cambridge University Press, ISBN 978-0521455039
• Лин, CC (1966), Теория гидродинамической устойчивости (исправленная ред.), Cambridge University Press, OCLC  952854
• Суинни, HL; Голлуб Дж. П. (1985), Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-13319-3
• Happel, J .; Бреннер, Х. (2009), Гидродинамика низкого числа Рейнольдса (2-е изд.), ISBN 978-9024728770
• Foias, C .; Manley, O .; Rosa, R .; Теман, Р. (2001), Уравнения Навье – Стокса и турбулентность , Cambridge University Press, ISBN 978-8126509430
• Пантон, Р.Л. (2006), Несжимаемый поток (3-е изд.), Wiley India, ISBN 978-8126509430
• Джонсон, Джей Р .; Крыло, Саймон; Деламер, Питер А. (2014), «Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца в планетных магнитосферах», Space Science Reviews , 184 (1–4): 1–31, Bibcode : 2014SSRv..184 .... 1J , doi : 10.1007 / s11214-014-0085-z

Внешние ссылки [ править ]

• «Неустойчивость потока» . Национальный комитет пленок для механики жидкостей (NCFMF) . Проверено 9 марта 2009 года .
• «Сеть с использованием передовых методов нестабильности (AIM)» . разные авторы. Архивировано из оригинала 21 февраля 2015 года . Дата обращения 12 мая 2013 .
• Шанкар, В (2014). «Введение в гидродинамическую устойчивость» (PDF) . Математический факультет ИИТ Канпур . Проверено 31 октября 2015 года .