Неопределенная ортогональная группа

В математике , то неопределенная ортогональная группа , О ( р , д ) является группа Ли все линейных преобразований в качестве п - мерное реальных векторное пространство , которые оставляют инвариантный невырожденный , симметричная билинейная форму из сигнатуры ( р , д ) , где п = р + д . Размерность группы n ( n - 1) / 2 .

Бессрочная специальная ортогональная группа , SO ( р , д ) является подгруппой из O ( р , д ) , состоящий из всех элементов с определителем 1. В отличии от определенного случая, SO ( р , д ) не подключен - она имеет 2 компонентов - и есть две дополнительные подгруппы конечного индекса, а именно связные SO ⁺ ( p , q ) и O ⁺ ( p , q ), который имеет 2 компонента - см. определение и обсуждение в § Топология .

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма ; перестановка р с д сводится к замене метрики его отрицательным, и поэтому дает ту же группу. Если либо p, либо q равно нулю, то группа изоморфна обычной ортогональной группе O ( n ). В дальнейшем мы предполагаем, что и p, и q положительны.

Группа O ( p , q ) определена для векторных пространств над вещественными числами . Для комплексных пространств все группы O ( p , q ; C ) изоморфны обычной ортогональной группе O ( p + q ; C ) , поскольку преобразование изменяет сигнатуру формы. Это не следует путать с неопределенной унитарной группой U ( p , q ), которая сохраняет полуторалинейную форму сигнатуры ( p${\ displaystyle z_ {j} \ mapsto iz_ {j}}$ , q ) .

В четном измерении n = 2 p , O ( p , p ) называется расщепленной ортогональной группой .

Примеры [ править ]

Отображения сжатия , здесь r = 3/2 , являются основными гиперболическими симметриями.

Основным примером является сжатие отображений , которое представляет собой группу SO ⁺ (1, 1 ) линейных преобразований (составляющих единицы), сохраняющих единичную гиперболу . Конкретно, это матрицы, и их можно интерпретировать как гиперболические вращения, так же как группу SO (2) можно интерпретировать как круговые вращения.${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$

В физике группа Лоренца O (1,3) имеет центральное значение, поскольку она является основой для электромагнетизма и специальной теории относительности . (Некоторые тексты используют O (3,1) для группы Лоренца; однако O (1,3) преобладает в квантовой теории поля, потому что геометрические свойства уравнения Дирака более естественны в O (1,3) .)

Определение матрицы [ править ]

Можно определить O ( p , q ) как группу матриц , как и для классической ортогональной группы O ( n ). Рассмотрим диагональную матрицу, заданную формулой${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$

Тогда мы можем определить симметричную билинейную форму на по формуле${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

где стандартное скалярное произведение на .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

Затем мы определяем группу матриц, которые сохраняют эту билинейную форму: ^[1]${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

Более точно, состоит из таких матриц , что ^[2]${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle g^{-1}A^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}}$,

где это транспонирование .${\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}$${\displaystyle A}$

Можно получить изоморфную группу (действительно, сопряженную подгруппу GL ( p + q ) ) заменой g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q отрицательными. Диагонализация этой матрицы дает сопряжение этой группы со стандартной группой O ( p , q ) .

Топология [ править ]

Предполагая, что и p, и q положительны, ни одна из групп O ( p , q ) или SO ( p , q ) не является связной , имея четыре и две компоненты соответственно. π ₀ (O ( p , q )) ≅ C ₂ × C ₂ - это четырехгруппа Клейна , где каждый фактор определяет, сохраняет ли элемент или меняет соответствующие ориентации на p и qразмерные подпространства, на которых форма определена; обратите внимание, что изменение ориентации только одного из этих подпространств меняет ориентацию на противоположное во всем пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты π ₀ (SO ( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, каждая из которых либо сохраняет обе ориентации, либо меняет обе ориентации на противоположные, в любом случае сохраняя общая ориентация. ^{[ требуется разъяснение ]}

Компонента единицы из O ( р , д ) часто обозначается SO ⁺ ( р , д ) и могут быть идентифицированы с множеством элементов в SO ( р , д ) , которые сохраняют обе ориентации. Это обозначение связано с обозначением O ⁺ (1, 3) для ортохронной группы Лоренца , где + относится к сохранению ориентации в первом (временном) измерении.

Группа O ( p , q ) также не компактна , но содержит компактные подгруппы O ( p ) и O ( q ), действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, O ( p ) × O ( q ) - максимальная компактная подгруппа в O ( p , q ) , а S (O ( p ) × O ( q )) - максимальная компактная подгруппа в SO ( p , q ) . Точно так же SO ( p ) × SO ( q) - максимальная компактная подгруппа в SO ⁺ ( p , q ) . Таким образом, пространства гомотопически эквивалентны произведениям (специальных) ортогональных групп, из которых могут быть вычислены алгебро-топологические инварианты. (См. Максимальная компактная подгруппа .)

В частности, фундаментальная группа из SO ⁺ ( р , д ) является произведением фундаментальных групп компонентов, π ₁ (СО ⁺ ( р , д )) = π ₁ (SO ( р )) × π ₁ (SO ( q )) и определяется по формуле:

π 1 (SO + ( p , q ))	р = 1	р = 2	р ≥ 3
q = 1	C 1	Z	C 2
q = 2	Z	Z × Z	Z × C 2
q ≥ 3	C 2	С 2 × Z	С 2 × С 2

Разделить ортогональную группу [ править ]

В четных измерениях средняя группа O ( n , n ) известна как расщепленная ортогональная группа и представляет особый интерес, поскольку встречается, например, как группа преобразований T-дуальности в теории струн. Это расщепленная группа Ли, соответствующая комплексной алгебре Ли so _{2 n} (группа Ли расщепленной вещественной формы алгебры Ли); более точно, тождественный компонент - это расщепленная группа Ли, поскольку нетождественные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле она противоположна определенной ортогональной группе O ( n ): = O ( n, 0) = O (0, n ) - компактная вещественная форма комплексной алгебры Ли.

Случай (1, 1) соответствует мультипликативной группе из расщепленных-комплексных чисел .

С точки зрения того, что они являются группой лиева типа, т. Е. Построением алгебраической группы из алгебры Ли, расщепленные ортогональные группы являются группами Шевалле , тогда как нерасщепляемые ортогональные группы требуют немного более сложной конструкции и являются группами Стейнберга .

Расщепленные ортогональные группы используются для построения обобщенного многообразия флагов над неалгебраически замкнутыми полями.

См. Также [ править ]

• Ортогональная группа
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Симметричная билинейная форма

Ссылки [ править ]