Ядро (статистика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  статистика "ядра"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Термин ядро используется в статистическом анализе для обозначения оконной функции . Термин «ядро» имеет несколько различных значений в разных отраслях статистики.

Байесовская статистика [ править ]

В статистике, особенно в байесовской статистике , ядро функции плотности вероятности (pdf) или функции массы вероятности (pmf) представляет собой форму pdf или pmf, в которой любые факторы, не являющиеся функциями каких-либо переменных в области, являются опущено. ^{[ необходима цитата ]} Обратите внимание, что такие факторы могут быть функциями параметров PDF или PMF. Эти факторы являются частью коэффициента нормализации в распределении вероятностей , и не нужно во многих ситуациях. Например, при выборке псевдослучайных чисел большинство алгоритмов выборки игнорируют коэффициент нормализации. Кроме того, вБайесовский анализ из сопряженных предыдущих распределений, коэффициенты нормировки , как правило , игнорируются при расчетах, и только ядро рассматривается. В конце проверяется форма ядра, и если она соответствует известному распределению, коэффициент нормализации может быть восстановлен. В противном случае в этом может быть нет необходимости (например, если нужно только выбрать распределение).

Для многих дистрибутивов ядро ​​можно записать в замкнутой форме, но не нормировочную константу.

Пример - нормальное распределение . Его функция плотности вероятности является

${\ displaystyle p (x | \ mu, \ sigma ^ {2}) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- {\ frac {(x - \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$

и связанное ядро

${\ displaystyle p (x | \ mu, \ sigma ^ {2}) \ propto e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$

Обратите внимание, что множитель перед экспонентой был опущен, хотя он содержит параметр , потому что он не является функцией переменной домена .${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle x}$

Анализ паттернов [ править ]

Ядро воспроизводящего ядра Гильбертово пространство используется в наборе методов, известных как методы ядра, для выполнения таких задач, как статистическая классификация , регрессионный анализ и кластерный анализ данных в неявном пространстве. Это использование особенно распространено в машинном обучении .

Непараметрическая статистика [ править ]

В непараметрической статистике ядро - это весовая функция, используемая в методах непараметрической оценки. Ядра используются в оценке плотности ядра для оценки случайных величин " функции плотности , или в ядре регрессии для оценки условного математического ожидания случайной величины. Ядра также используются во временных рядах при использовании периодограммы для оценки спектральной плотности, где они известны как оконные функции . Дополнительное использование - оценка изменяющейся во времени интенсивности точечного процесса. где оконные функции (ядра) свертываются с данными временных рядов.

Обычно ширина ядра также должна быть указана при запуске непараметрической оценки.

Определение [ править ]

Ядро - это неотрицательная действительная интегрируемая функция K. Для большинства приложений желательно определить функцию, которая удовлетворяет двум дополнительным требованиям:

• Нормализация :

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} К (и) \, ду = 1 \ ,;}$

• Симметрия:

${\ Displaystyle K (-u) = K (u) {\ mbox {для всех значений}} u \ ,.}$

Первое требование гарантирует, что метод оценки плотности ядра дает функцию плотности вероятности . Второе требование гарантирует, что среднее значение соответствующего распределения равно среднему значению используемой выборки.

Если K является ядром, то функция K * определяется формулой K * ( u ) = λ K (λ u ), где λ> 0. Это можно использовать для выбора масштаба, подходящего для данных.

Часто используемые функции ядра [ править ]

Обычно используются несколько типов ядерных функций: равномерная, треугольная, эпанечникова, ^[1] квартика (двувес), трикуб, ^[2] трехвес, гауссовская, квадратичная ^[3] и косинусная.

В приведенной ниже таблице, если задано с ограниченной опорой , то для значений u, лежащих вне опоры.${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle К (и) = 0}$

Функции ядра, K ( u )			${\ Displaystyle \ textstyle \ int и ^ {2} К (и) ду}$	${\ Displaystyle \ textstyle \ int К (и) ^ {2} ду}$	КПД [4] относительно ядра Епанечникова
Равномерное («прямоугольное окно»)	${\ Displaystyle К (и) = {\ гидроразрыва {1} {2}}}$ Поддерживать: ${\ displaystyle | u | \ leq 1}$	« Функция товарного вагона »	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	92,9%
Треугольный	${\displaystyle K(u)=(1-|u|)}$ Поддерживать: ${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	98,6%
Епанечников (параболический)	${\displaystyle K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})}$ Поддерживать: ${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$	100%
Quartic ( двухвес )	${\displaystyle K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}}$ Поддерживать: ${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{7}}}$	99,4%
Трехвес	${\displaystyle K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}}$ Поддерживать: ${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {350}{429}}}$	98,7%
Tricube	${\displaystyle K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left|u\right|}^{3})^{3}}$ Поддерживать: ${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {35}{243}}}$	${\displaystyle {\frac {175}{247}}}$	99,8%
Гауссовский	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}}$		${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}}$	95,1%
Косинус	${\displaystyle K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)}$ Поддерживать: ${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}}$	99,9%
Логистика	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u}}}}$		${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	88,7%
Сигмовидная функция	${\displaystyle K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u}}}}$		${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}}$	84,3%
Ядро Сильвермана [5]	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|u|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac {|u|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}}$	непригодный

См. Также [ править ]

• Оценка плотности ядра
• Ядро более гладкое
• Стохастическое ядро
• Оценка плотности
• Оценка многомерной плотности ядра

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ссылки [ править ]

• Ли, Ци; Расин, Джеффри С. (2007). Непараметрическая эконометрика: теория и практика . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12161-1.

• Кабачок, Уолтер. «ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ Сглаживания. Часть 1: Оценка плотности ядра» (PDF) . Проверено 6 сентября 2018 года .

• Comaniciu, D; Меер, П. (2002). «Среднее смещение: надежный подход к анализу пространства признаков». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 24 (5): 603–619. CiteSeerX  10.1.1.76.8968 . DOI : 10.1109 / 34.1000236 .