Кронекер продукт

В математике произведение Кронекера , иногда обозначаемое буквой, ^[1], представляет собой операцию над двумя матрицами произвольного размера, приводящую к блочной матрице . Это обобщение внешнего произведения (которое обозначается тем же символом) от векторов до матриц, и дает матрицу тензорного произведения относительно стандартного выбора базиса . Произведение Кронекера следует отличать от обычного матричного умножения , которое представляет собой совершенно другую операцию. Произведение Кронекера также иногда называют матричным прямым произведением. ^[2]

Произведение Кронекера названо в честь немецкого математика Леопольда Кронекера (1823–1891), хотя есть мало свидетельств того, что он был первым, кто определил и использовал его. Произведение Кронекера также называют матрицей Зефусса в честь Иоганна Георга Зефусса [ де ] , который в 1858 году описал эту матричную операцию, но произведение Кронекера в настоящее время является наиболее широко используемым. ^[3]

Определение [ править ]

Если A - матрица размера m × n, а B - матрица размера p × q , то произведение Кронекера A ⊗ B - это блочная матрица pm × qn :

\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},

более подробно:

{\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.

Используя и для обозначения усечения целочисленного деления и остатка , соответственно, и нумерации элементов матрицы, начиная с 0, получаем и Для обычной нумерации, начиная с 1, получаем и $/\!/$ $\%$ $(A\otimes B)_{pr+v,qs+w}=a_{rs}b_{vw}$ $(A\otimes B)_{i,j}=a_{i/\!/p,j/\!/q}b_{i\%p,j\%q}.$ $(A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}$ $(A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil i/p\rceil ,\lceil j/q\rceil }b_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.$

Если A и B представляют собой линейные преобразования V ₁ → W ₁ и V ₂ → W ₂ , соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V ₁ ⊗ V ₂ → W ₁ ⊗ W ₂ .

Примеры [ править ]

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.

По аналогии:

{\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\-16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{bmatrix}}

Свойства [ править ]

Связь с другими матричными операциями [ править ]

Билинейность и ассоциативность :
Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения , поэтому оно билинейно и ассоциативно :
${\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}$
где A , B и C - матрицы, 0 - нулевая матрица, а k - скаляр.
Non- коммутативной :
В общем случае A ⊗ B и B ⊗ A - разные матрицы. Однако A ⊗ B и B ⊗ A эквивалентны перестановкам, что означает, что существуют матрицы перестановок P и Q такие, что ^[4]
$\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\,\mathbf {Q} .$
Если и В квадратные матрицы, то ⊗ B и B ⊗ даже перестановки похожи , а это означает , что мы можем взять P = Q ^T .
Матрицы P и Q являются матрицами идеального тасования. ^[5] Идеальная матрица перетасовки S _{p, q} может быть построена путем взятия срезов единичной матрицы I _r , где . $r=pq$
$\mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}$
Обозначение двоеточия MATLAB используется здесь для обозначения подматриц, а I _r - это единичная матрица размера r × r . Если и , то $\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}$ $\mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}$
$\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}$
Свойство смешанного продукта:
Если A , B , C и D - матрицы такого размера, что можно сформировать матричные произведения AC и BD , то
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).$
Это называется свойством смешанного произведения , потому что оно смешивает обычное матричное произведение и произведение Кронекера.
Как непосредственное следствие,
$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I_{2}} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{1}} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{1}} )(\mathbf {I_{2}} \otimes \mathbf {B} )$ .
В частности, используя свойство transpose снизу, это означает, что если
$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U}$
и Q и U являются ортогональными (или унитарной ), то также ортогональны (соотв., унитарная).
Произведение Адамара (поэлементное умножение):
Свойство смешанного продукта также работает для поэлементного продукта. Если A и C - матрицы одного размера, B и D - матрицы одного размера, то
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).$
Обратное произведение Кронекера:
Отсюда следует , что ⊗ B является обратимым тогда и только тогда , когда оба и B обратимы, причем в этом случае обратный даются
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.$
Обратима свойство продукта имеет место для псевдообратных Мура-Пенроуза , а также, ^[6] , что является
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.$
На языке теории категорий свойство смешанного произведения продукта Кронекера (и более общего тензорного произведения) показывает, что категория Mat _F матриц над полем F на самом деле является моноидальной категорией с натуральными числами объектов n , морфизмами n → m - матрицы размером n на m с элементами в F , композиция задается умножением матриц, единичные стрелки - это просто единичные матрицы размера n × n I _n , а тензорное произведение дается произведением Кронекера. ^[7]
Mat _F представляет собой конкретную каркасную категорию для эквивалентной категории FinVect _F конечномерных векторных пространств над F , объектами которой являются такие конечномерные векторные пространства V , стрелки - это F- линейные отображения L : V → W , а тождественные стрелки - это тождественные отображения пространств. Эквивалентность категорий сводится к одновременному выбору базиса в конечномерном векторном пространстве V над F; элементы матриц представляют собой эти отображения относительно выбранных баз; и аналогично произведение Кронекера является представлением тензорного произведения в выбранных базисах.
Транспонировать :
Транспозиция и сопряженная транспозиция распространяются по продукту Кронекера:
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}$ и $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.$
Определитель :
Пусть A - матрица размера n × n, а B - матрица размера m × m . потом
$\left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \right|^{m}\left|\mathbf {B} \right|^{n}.$
Показатель в | А | - порядок B и показатель степени в | B | это порядок А .
Сумма Кронекера и возведение в степень :
Если A имеет размер n × n , B имеет размер m × m и I _k обозначает единичную матрицу k × k, то мы можем определить то, что иногда называют суммой Кронекера , ⊕, как
$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .$
Это отличается от прямой суммы двух матриц. Эта операция связана с тензорным произведением на алгебрах Ли .
У нас есть следующая формула для матричной экспоненты , которая полезна при некоторых численных вычислениях. ^[8]
$\exp({\mathbf {N} \oplus \mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )$
Суммы Кронекера естественным образом возникают в физике при рассмотрении ансамблей невзаимодействующих систем . ^{[ необходимая цитата ]} Пусть H ⁱ - гамильтониан i- й такой системы. Тогда полный гамильтониан ансамбля равен
$H_{\mathrm {Tot} }=\bigoplus _{i}H^{i}$ .

Абстрактные свойства [ править ]

Спектр :
Предположим, что A и B - квадратные матрицы размера n и m соответственно. Пусть λ ₁ , ..., Л _п быть в собственные значения из A и μ ₁ , ..., μ _м те из B (перечислены в соответствии с кратностью ). Тогда собственные значения из A ⊗ B являются
$\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.$
Отсюда следует, что след и определитель произведения Кронекера задаются формулами
$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.$
Особые значения :
Если A и B - прямоугольные матрицы, то можно рассматривать их сингулярные значения . Предположим, что A имеет r _A ненулевых особых значений, а именно
$\sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.$
Аналогично обозначим ненулевые особые значения B через
$\sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.$
Тогда произведение Кронекера A ⊗ B имеет r _A r _B ненулевых особых значений, а именно
$\sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.$
Поскольку ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, мы находим, что
$\operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .$
Отношение к абстрактному тензорному произведению :
Кронекеровское произведение матриц соответствует абстрактному тензорному произведению линейных отображений. В частности, если векторные пространства V , W , X и Y имеют базы { v ₁ , ..., v _m }, { w ₁ , ..., w _n }, { x ₁ , ..., x _d } и { y ₁ , ..., y _e } соответственно, и если матрицы A и B представляют линейные преобразованияS : V → X и T : W → Y соответственно в соответствующих базисах, то матрица A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y относительно базиса { v ₁ ⊗ вес ₁ , v ₁ ⊗ вес ₂ , ..., v ₂ ⊗ вес ₁ , ..., v _м⊗ ш _п } из V ⊗ W и аналогично определенной основе X ⊗ Y со свойством , что ⊗ B ( v _я ⊗ ш _J ) = ( Ав _я ) ⊗ ( Bw _J ) , где я и J являются целыми числами в правильный диапазон. ^[9]
Когда V и W являются алгебры Ли и S : V → V и Т : W → W являются Ли гомоморфизмы , сумма Кронекера А и В представляет собой индуцируемые алгебра гомоморфизмы V ⊗ W → V ⊗ W .
Отношение к продуктам из графиков :
Кронекеровское произведение матриц смежности двух графов является матрицей смежности графа тензорного произведения . Сумма Кронекера матриц смежности двух графов является матрицей смежности графа декартового произведения . ^[10]

Матричные уравнения [ править ]

Произведение Кронекера можно использовать для получения удобного представления для некоторых матричных уравнений. Рассмотрим, например, уравнение AXB = C , где A , B и C - заданные матрицы, а матрица X - неизвестное. Мы можем использовать "vec-трюк", чтобы переписать это уравнение как

\left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {A} \right)\,\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\operatorname {vec} (\mathbf {AXB} )=\operatorname {vec} (\mathbf {C} ).

Здесь vec ( X ) обозначает векторизацию матрицы X, сформированную путем объединения столбцов X в один вектор-столбец .

Теперь из свойств произведения Кронекера следует, что уравнение AXB = C имеет единственное решение тогда и только тогда, когда A и B неособые ( Horn & Johnson 1991 , лемма 4.3.1).

Если X и C упорядочены по строкам в векторах-столбцах u и v , соответственно, то ( Jain 1989 , 2.8 Block Matrices and Kronecker Products)

\mathbf {v} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .

Причина в том, что

\mathbf {v} =\operatorname {vec} \left((\mathbf {AXB} )^{\textsf {T}}\right)=\operatorname {vec} \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {X} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {X^{\textsf {T}}} \right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .

Приложения [ править ]

Пример применения этой формулы можно найти в статье об уравнении Ляпунова . Эта формула также пригодится, чтобы показать, что нормальное матричное распределение является частным случаем многомерного нормального распределения . Эта формула также полезна для представления операций обработки 2D- изображений в матрично-векторной форме.

Другой пример: когда матрица может быть разложена на множители как произведение Адамара , умножение матриц может выполняться быстрее с использованием приведенной выше формулы. Это можно применить рекурсивно, как это сделано в БПФ с основанием 2 и быстром преобразовании Уолша-Адамара . Разделение известной матрицы на произведение Адамара двух меньших матриц известно как проблема «ближайшего произведения Кронекера» и может быть решена точно ^[11] с помощью SVD . Оптимальное разделение матрицы на произведение Адамара, состоящее из более чем двух матриц, является сложной задачей и предметом текущих исследований; некоторые авторы называют это проблемой разложения на тензор. ^[12]^[13]

В сочетании с методом наименьших квадратов продукт Кронекера можно использовать в качестве точного решения проблемы калибровки глаза вручную . ^[14]

Связанные матричные операции [ редактировать ]

Двумя связанными матричными операциями являются произведения Трейси – Сингха и Катри – Рао , которые работают с разбитыми матрицами . Пусть т × п матрица А быть разделены на м _I × п _J блоки _IJ и р × д матрица B в р _к × д _л блоки B _ого , конечно с Е _я м _я = м , Σ _Jn _j = n , Σ _k p _k = p и Σ _ℓ q _ℓ = q .

Продукт Трейси-Сингх [ править ]

Произведение Трейси – Сингха определяется как ^[15]^[16]

\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}

что означает, что ( ij ) -й подблок продукта mp × nq A B $\circ$ является матрицей A _ij B размером m _i p × n _j q , из которой ( kℓ ) -й подблок равен m _i p _k × n _j q _ℓ матрица A _ij ⊗ B _kℓ . По сути, произведение Трэйси – Сингха - это попарное произведение Кронекера для каждой пары разбиений в двух матрицах. $\circ$

Например, если A и B являются матрицами с разбиением 2 × 2, например:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

мы получили:

{\begin{aligned}\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]={}&\left[{\begin{array}{c | c | c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}

Продукт Катри – Рао [ править ]

Блокировать продукт Кронекера
По столбцам произведение Хатри – Рао

Продукт для разделения лиц [ править ]

Свойства смешанных продуктов

\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C}

, ^[17]

где обозначает грань-расщепляющее произведение $\bullet$

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )

, ^[18]^[19]

По аналогии:

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} )

,

c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}

, ^[20]

где и - векторы , $c$ $d$

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)

, ^[21]

где и - векторы , обозначает произведение Адамара $c$ $d$ $\circ$

По аналогии:

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d),

{\mathcal {F}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y

,

где - векторная свертка и - матрица преобразования Фурье (этот результат является развитием свойств скетча счетчика ^[22] ), $\star$ ${\mathcal {F}}$

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )

, ^[18]^[19]

где обозначает произведение Хатри – Рао по столбцам . $\ast$

По аналогии:

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} d)

,

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {Q} d)

, где и - векторы

c

d

См. Также [ править ]

Обобщенная модель линейного массива
Коэффициент Кронекера

Примечания [ править ]

^ «Полный список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 6 сентября 2020 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Продукт Кронекера" . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 сентября 2020 .
^ Zehfuss, G. (1858). "Ueber eine gewisse Determinante" . Zeitschrift für Mathematik und Physik . 3 : 298–301.
^ Хендерсон, HV; Серл, SR (1980). «Матрица векторных перестановок, вектор векторов и произведения Кронекера: обзор» (PDF) . Линейная и полилинейная алгебра . 9 (4): 271–288. DOI : 10.1080 / 03081088108817379 . hdl : 1813/32747 .
Перейти ↑ Van Loan, Charles F. (2000). «Вездесущий продукт Кронекера» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 123 (1–2): 85–100. Bibcode : 2000JCoAM.123 ... 85L . DOI : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00393-9 .
^ Лэнгвилл, Эми Н .; Стюарт, Уильям Дж. (1 июня 2004 г.). «Произведение Кронекера и сети стохастических автоматов» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 167 (2): 429–447. Bibcode : 2004JCoAM.167..429L . DOI : 10.1016 / j.cam.2003.10.010 .
^ МакЭдо, Хьюго Даниэль; Оливейра, Хосе Нуно (2013). "Набор линейной алгебры: двупродукт-ориентированный подход". Наука компьютерного программирования . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . Bibcode : 2013arXiv1312.4818M . CiteSeerX 10.1.1.747.2083 . DOI : 10.1016 / j.scico.2012.07.012 . S2CID 9846072 .
Перейти ↑ Brewer, JW (1969). «Заметка о матричных произведениях Кронекера и системах матричных уравнений». Журнал SIAM по прикладной математике . 17 (3): 603–606. DOI : 10.1137 / 0117057 .
^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 401–402. ISBN 978-0-471-36857-1.
^ См. Knuth, DE "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms" (нулевая печать, редакция 2-го издания). ответ на упражнение 96,появиться как часть Knuth, DE Искусство компьютерного программирования . 4А .
^ Ван Лоан, C .; Пицианис, Н. (1992). Аппроксимация произведениями Кронекера . Итака, Нью-Йорк: Издательство Корнельского университета.
^ Король Keung В; Ям, Йунг; Мэн, Хелен; Месбахи, Мехран (2016). «Аппроксимация произведения Кронекера с многофакторными матрицами с помощью алгоритма тензорного произведения». 2016 IEEE Международная конференция по системам, Человек и кибернетика (SMC) . С. 004277–004282. DOI : 10.1109 / SMC.2016.7844903 . ISBN 978-1-5090-1897-0. S2CID 30695585 .
^ Дантас, Кассио Ф .; Коэн, Джереми Э .; Грибонваль, Реми (2018). «Изучение быстрых словарей для разреженных представлений с использованием тензорных разложений низкого ранга» . Скрытый анализ переменных и разделение сигналов (PDF) . Конспект лекций по информатике. 10891 . С. 456–466. DOI : 10.1007 / 978-3-319-93764-9_42 . ISBN 978-3-319-93763-2.
^ Ли, Алго; и другие. (4 сентября 2010 г.). «Одновременная калибровка мира роботов и глаз-руки с использованием двойных кватернионов и продукта Кронекера» (PDF) . Международный журнал физических наук . 5 (10): 1530–1536.
^ Трейси, DS; Сингх, Р.П. (1972). «Новый матричный продукт и его приложения в матричном дифференцировании». Statistica Neerlandica . 26 (4): 143–157. DOI : 10.1111 / j.1467-9574.1972.tb00199.x .
^ Лю, С. (1999). «Матричные результаты для произведений Катри – Рао и Трейси – Сингха» . Линейная алгебра и ее приложения . 289 (1–3): 267–277. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (98) 10209-4 .
^ Слюсарь, VI (1998) [27 декабря 1996]. «Конечные продукты в матрицах в радиолокационных приложениях» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 41 (3): 50–53.
^ а б Слюсарь В.И. (13 марта 1998 г.). «Семейство граней произведений матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ. C / C Кибернетика и Системный анализ. 1999 . 35 (3): 379–384. DOI : 10.1007 / BF02733426 . S2CID 119661450 .
^ a b Слюсарь, Вадим (1999). «Новые матричные операции для DSP» (самоизданная лекция). doi : 10.13140 / RG.2.2.31620.76164 / 1 - через Research Gate.
^ Слюсарь, В. И. (1997-09-15). Новые операции произведения матриц для приложений радаров (PDF) . Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЭД-97), Львов. С. 73–74.
^ Ахле, Томас Дибдал; Кнудсен, Якоб Бак Тейс (2019-09-03). «Почти оптимальный тензорный скетч» . arXiv : 1909.01821 .
^ Нинь, Фам; Расмус, Паг (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт функций . Международная конференция SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных. Ассоциация вычислительной техники. DOI : 10.1145 / 2487575.2487591 .

Ссылки [ править ]

Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46713-1.
Джайн, Анил К. (1989). Основы цифровой обработки изображений . Прентис Холл. Bibcode : 1989fdip.book ..... J . ISBN 978-0-13-336165-0.
Стиб, Вилли-Ханс (1997). Матричное исчисление и произведение Кронекера с приложениями и программами на C ++ . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-02-3241-2.
Стиб, Вилли-Ханс (2006). Проблемы и решения во вводном и расширенном матричном исчислении . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-256-916-5.

Внешние ссылки [ править ]

«Тензорное произведение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Произведение Кронекера» . PlanetMath .
«Произведение Кронекера» . MathWorld .
«Новые проблемы продукта Кронекера» (PDF) .
«Раннее использование» . Запись матриц Кронекера, Зефусса или прямого произведения содержит историческую информацию.
вычислить произведение Кронекера двух матриц . SourceForge (общий исходный код C ++ и Fortran 90). 2015-06-27.
«Произведение Кронекера» . RosettaCode.org . 31 декабря 2020 . Проверено 13 января 2021 . Источник программного обеспечения на более чем 40 языках.

[1] «Полный список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 6 сентября 2020 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Продукт Кронекера" . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 сентября 2020 .

[3] Zehfuss, G. (1858). "Ueber eine gewisse Determinante" . Zeitschrift für Mathematik und Physik . 3 : 298–301.

[4] Хендерсон, HV; Серл, SR (1980). «Матрица векторных перестановок, вектор векторов и произведения Кронекера: обзор» (PDF) . Линейная и полилинейная алгебра . 9 (4): 271–288. DOI : 10.1080 / 03081088108817379 . hdl : 1813/32747 .

[5] Перейти ↑ Van Loan, Charles F. (2000). «Вездесущий продукт Кронекера» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 123 (1–2): 85–100. Bibcode : 2000JCoAM.123 ... 85L . DOI : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00393-9 .

[6] Лэнгвилл, Эми Н .; Стюарт, Уильям Дж. (1 июня 2004 г.). «Произведение Кронекера и сети стохастических автоматов» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 167 (2): 429–447. Bibcode : 2004JCoAM.167..429L . DOI : 10.1016 / j.cam.2003.10.010 .

[7] МакЭдо, Хьюго Даниэль; Оливейра, Хосе Нуно (2013). "Набор линейной алгебры: двупродукт-ориентированный подход". Наука компьютерного программирования . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . Bibcode : 2013arXiv1312.4818M . CiteSeerX 10.1.1.747.2083 . DOI : 10.1016 / j.scico.2012.07.012 . S2CID 9846072 .

[8] Перейти ↑ Brewer, JW (1969). «Заметка о матричных произведениях Кронекера и системах матричных уравнений». Журнал SIAM по прикладной математике . 17 (3): 603–606. DOI : 10.1137 / 0117057 .

[9] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 401–402. ISBN 978-0-471-36857-1.

[TAOCP0a-10] См. Knuth, DE "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms" (нулевая печать, редакция 2-го издания). ответ на упражнение 96,появиться как часть Knuth, DE Искусство компьютерного программирования . 4А .

[VanLoan-11] Ван Лоан, C .; Пицианис, Н. (1992). Аппроксимация произведениями Кронекера . Итака, Нью-Йорк: Издательство Корнельского университета.

[12] Король Keung В; Ям, Йунг; Мэн, Хелен; Месбахи, Мехран (2016). «Аппроксимация произведения Кронекера с многофакторными матрицами с помощью алгоритма тензорного произведения». 2016 IEEE Международная конференция по системам, Человек и кибернетика (SMC) . С. 004277–004282. DOI : 10.1109 / SMC.2016.7844903 . ISBN 978-1-5090-1897-0. S2CID 30695585 .

[13] Дантас, Кассио Ф .; Коэн, Джереми Э .; Грибонваль, Реми (2018). «Изучение быстрых словарей для разреженных представлений с использованием тензорных разложений низкого ранга» . Скрытый анализ переменных и разделение сигналов (PDF) . Конспект лекций по информатике. 10891 . С. 456–466. DOI : 10.1007 / 978-3-319-93764-9_42 . ISBN 978-3-319-93763-2.

[14] Ли, Алго; и другие. (4 сентября 2010 г.). «Одновременная калибровка мира роботов и глаз-руки с использованием двойных кватернионов и продукта Кронекера» (PDF) . Международный журнал физических наук . 5 (10): 1530–1536.

[15] Трейси, DS; Сингх, Р.П. (1972). «Новый матричный продукт и его приложения в матричном дифференцировании». Statistica Neerlandica . 26 (4): 143–157. DOI : 10.1111 / j.1467-9574.1972.tb00199.x .

[16] Лю, С. (1999). «Матричные результаты для произведений Катри – Рао и Трейси – Сингха» . Линейная алгебра и ее приложения . 289 (1–3): 267–277. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (98) 10209-4 .

[slyusar-17] Слюсарь, VI (1998) [27 декабря 1996]. «Конечные продукты в матрицах в радиолокационных приложениях» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 41 (3): 50–53.

[slyusar2-18] а б Слюсарь В.И. (13 марта 1998 г.). «Семейство граней произведений матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ. C / C Кибернетика и Системный анализ. 1999 . 35 (3): 379–384. DOI : 10.1007 / BF02733426 . S2CID 119661450 .

[lecture-19] Слюсарь, Вадим (1999). «Новые матричные операции для DSP» (самоизданная лекция). doi : 10.13140 / RG.2.2.31620.76164 / 1 - через Research Gate.

[DIPED-20] Слюсарь, В. И. (1997-09-15). Новые операции произведения матриц для приложений радаров (PDF) . Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЭД-97), Львов. С. 73–74.

[tensorsketch-21] Ахле, Томас Дибдал; Кнудсен, Якоб Бак Тейс (2019-09-03). «Почти оптимальный тензорный скетч» . arXiv : 1909.01821 .

[ninh-22] Нинь, Фам; Расмус, Паг (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт функций . Международная конференция SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных. Ассоциация вычислительной техники. DOI : 10.1145 / 2487575.2487591 .

[1],

vтеЛинейная алгебра
Базовые концепты	Скалярный Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Основа Смена основы Векторы строк и столбцов Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Гауссово исключение
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Детерминант Перекрестный продукт Тройной продукт Семимерное перекрестное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Мультивектор Тензор Внешний морфизм
Конструкции векторного пространства	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство Частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Базовые подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория Контур Математический портал Викибук Викиверситет