В физике , теорема Лиувилля , названная в честь французского математика Лиувилль , является ключевой теоремой в классической статистической и гамильтоновой механике . Он утверждает, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы, то есть плотность точек системы в окрестности данной точки системы, путешествующей через фазовое пространство, постоянна во времени. Эта не зависящая от времени плотность в статистической механике известна как классическая априорная вероятность . [1]
Есть связанные математические результаты в симплектической топологии и эргодической теории ; системы, подчиняющиеся теореме Лиувилля, являются примерами несжимаемых динамических систем .
Существуют расширения теоремы Лиувилля на стохастические системы. [2]
Уравнения Лиувилля
Уравнение Лиувилля описывает временную эволюцию функции распределения фазового пространства . Хотя это уравнение обычно называют «уравнением Лиувилля», Джозия Уиллард Гиббс был первым, кто осознал важность этого уравнения как фундаментального уравнения статистической механики. [3] [4] Это уравнение называется уравнением Лиувилля, потому что его вывод для неканонических систем использует тождество, впервые полученное Лиувиллем в 1838 году. [5] Рассмотрим гамильтонову динамическую систему с каноническими координатами. и сопряженные импульсы , где . Тогда распределение фазового пространства определяет вероятность что система будет находиться в бесконечно малом объеме фазового пространства . Уравнение Лиувилля управляет эволюцией во время :
Производные по времени обозначены точками и оцениваются в соответствии с уравнениями Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве (так Гиббс назвал теорему). Теорема Лиувилля утверждает, что
- Функция распределения постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.
Доказательство теоремы Лиувилля использует п - мерную дивергенция теоремы . Это доказательство основано на том факте, что эволюцияподчиняется n- мерной версии уравнения неразрывности :
То есть 3-кортеж - это сохраняющийся ток . Обратите внимание, что разница между этим уравнением и уравнением Лиувилля заключается в терминах
где - гамильтониан, и уравнения Гамильтона, а также сохранение гамильтониана вдоль потока. То есть, рассматривая движение в фазовом пространстве как `` поток жидкости '' точек системы, теорема о том, что конвективная производная плотности,, равна нулю, следует из уравнения неразрывности с учетом того, что `` поле скорости '' в фазовом пространстве имеет нулевую дивергенцию (что следует из соотношений Гамильтона). [6]
Другой иллюстрацией является рассмотрение траектории облака точек через фазовое пространство. Несложно показать, что когда облако растягивается по одной координате: говорят - сжимается в соответствующем направление так, чтобы продукт остается постоянным.
Эквивалентно существование сохраняющегося тока подразумевает , согласно теореме Нётер , существование симметрии . Симметрия инвариантна относительно сдвигов времени, а генератор (или заряд Нётер ) симметрии - это гамильтониан.
Другие составы
Скобка Пуассона
Приведенная выше теорема часто переформулируется в терминах скобки Пуассона как
или, в терминах линейного оператора Лиувилля или лиувиллиана ,
в виде
Эргодическая теория
В эргодической теории и динамических системах , мотивированных приведенными физическими соображениями, есть соответствующий результат, также называемый теоремой Лиувилля. В гамильтоновой механике фазовое пространство - это гладкое многообразие, которое естественно снабжено гладкой мерой (локально эта мера является 6 n -мерной мерой Лебега ). Теорема утверждает, что эта гладкая мера инвариантна относительно гамильтонова потока . В более общем плане можно описать необходимое и достаточное условие, при котором гладкая мера инвариантна относительно потока [ необходима цитата ] . Гамильтонов случай становится следствием.
Симплектическая геометрия
Мы также можем сформулировать теорему Лиувилля в терминах симплектической геометрии . Для данной системы мы можем рассматривать фазовое пространство конкретного гамильтониана как многообразие наделен симплектической 2-формой
Форма объема нашего многообразия является высшей внешней степенью симплектической 2-формы и является просто еще одним представлением меры на фазовом пространстве, описанном выше.
На нашем симплектическом многообразии фазового пространства мы можем определить гамильтоново векторное поле, порожденное функцией в виде
В частности, когда производящей функцией является сам гамильтониан, , мы получили
где мы использовали уравнения движения Гамильтона и определение цепного правила. [7]
В этом формализме теорема Лиувилля утверждает, что производная Ли формы объема равна нулю вдоль потока, порожденного. То есть для 2n-мерное симплектическое многообразие,
Фактически, симплектическая структура сохраняется сама по себе, а не только его высшая внешняя сила. То есть теорема Лиувилля также дает [8]
Квантовое уравнение Лиувилля
Аналог уравнения Лиувилля в квантовой механике описывает временную эволюцию смешанного состояния . Каноническое квантование дает квантово-механическую версию этой теоремы - уравнение фон Неймана . Эта процедура, часто используемая для создания квантовых аналогов классических систем, включает описание классической системы с использованием гамильтоновой механики. Затем классические переменные интерпретируются как квантовые операторы, а скобки Пуассона заменяются коммутаторами . В этом случае результирующее уравнение будет [9] [10]
где ρ - матрица плотности .
При нанесении на ожидаемом значение от наблюдаемого , то соответствующего уравнение имеет вид теоремы Эренфеста , и принимает форму
где является наблюдаемым. Обратите внимание на различие знаков, которое следует из предположения, что оператор стационарен, а состояние зависит от времени.
В пространстве формулировке фазы квантовой механики, вытесняя скобки Moyal для скобок Пуассона в фазовом пространстве аналог результатов фон Неймана уравнение в сжимаемости вероятности жидкости , и таким образом нарушения теоремы Лиувилля несжимаемости. Это, таким образом, приводит к сопутствующим трудностям в определении значимых квантовых траекторий.
Примеры
Объем фазового пространства SHO
Рассмотрим системы частиц в трех измерениях, и сосредоточимся только на эволюции частицы. В фазовом пространстве эти частицы занимают бесконечно малый объем, задаваемый
Мы хотим оставаться неизменным во времени, чтобы постоянна вдоль траекторий системы. Если мы позволим нашим частицам эволюционировать с бесконечно малым шагом по времени, мы видим, что положение каждой частицы в фазовом пространстве изменяется как
где а также обозначать а также соответственно, и мы сохранили только члены, линейные по . Распространяя это на наш бесконечно малый гиперкуб, длины сторон изменяются как
Чтобы найти новый бесконечно малый объем фазового пространства , нам нужен продукт вышеуказанных количеств. Для первого заказа в, получаем следующее.
Пока что мы еще не сделали никаких спецификаций по нашей системе. Теперь займемся случаем -мерные изотропные гармонические осцилляторы. То есть каждую частицу в нашем ансамбле можно рассматривать как простой гармонический осциллятор . Гамильтониан этой системы дается выражением
Используя уравнения Гамильтона с указанным выше гамильтонианом, мы находим, что член в скобках выше тождественно равен нулю, что дает
Отсюда мы можем найти бесконечно малый объем фазового пространства.
Таким образом, мы в конечном итоге обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства не изменяется, что дает
доказательство теоремы Лиувилля справедливо для этой системы. [11]
Остается вопрос, как на самом деле объем фазового пространства изменяется во времени. Выше мы показали, что общий объем сохранен, но ничего не сказали о том, как он выглядит. Для отдельной частицы мы видим, что ее траектория в фазовом пространстве задается эллипсом постоянной. В явном виде можно решить уравнения Гамильтона для системы и найти
где а также обозначают начальное положение и импульс частица. В системе из нескольких частиц каждая из них будет иметь траекторию в фазовом пространстве, которая очерчивает эллипс, соответствующий энергии частицы. Частота, с которой отслеживается эллипс, задаетсяв гамильтониане, независимо от разницы в энергии. В результате область фазового пространства будет просто вращаться вокруг точки с частотой, зависящей от . [12] Это можно увидеть на анимации выше.
Затухающий гармонический осциллятор
Одно из основных предположений теоремы Лиувилля состоит в том, что система подчиняется закону сохранения энергии. В контексте фазового пространства это означает, что постоянна на поверхностях фазового пространства постоянной энергии . Если мы нарушим это требование, рассматривая систему, в которой энергия не сохраняется, мы обнаружим, что также не может быть постоянным.
В качестве примера снова рассмотрим систему частицы каждая в -мерный изотропный гармонический потенциал, гамильтониан для которого приведен в предыдущем примере. На этот раз мы добавляем условие, что каждая частица испытывает силу трения. Поскольку это неконсервативная сила , нам нужно расширить уравнения Гамильтона как
где положительная константа, определяющая величину трения. Следуя процедуре, очень похожей на случай незатухающего гармонического осциллятора, мы снова приходим к
Подставляя наши модифицированные уравнения Гамильтона, мы находим
Расчет нашего нового бесконечно малого объема фазового пространства и сохранение только первого порядка в получаем следующий результат.
Мы обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства больше не является постоянным, и, таким образом, плотность фазового пространства не сохраняется. Как видно из уравнения, по мере увеличения времени мы ожидаем, что объем нашего фазового пространства уменьшится до нуля, поскольку трение влияет на систему.
Что касается того, как объем фазового пространства изменяется во времени, мы все равно будем иметь постоянное вращение, как и в незатухающем случае. Однако демпфирование приведет к неуклонному уменьшению радиусов каждого эллипса. Мы снова можем найти траектории явно, используя уравнения Гамильтона, позаботившись об использовании модифицированных выше. Сдача для удобства находим
где значения а также обозначают начальное положение и импульс частица. По мере развития системы общий объем фазового пространства будет увеличиваться по спирали к началу координат. Это видно на рисунке выше.
Замечания
- Уравнение Лиувилля справедливо как для равновесных, так и для неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики .
- Уравнение Лиувилля является неотъемлемой частью доказательства флуктуационной теоремы, из которой можно вывести второй закон термодинамики . Это также ключевой компонент при выводе соотношений Грина – Кубо для коэффициентов линейного переноса, таких как сдвиговая вязкость , теплопроводность или электропроводность .
- Практически любой учебник по гамильтоновой механике , продвинутой статистической механике или симплектической геометрии выведет теорему Лиувилля. [13] [14] [15] [16] [17]
Смотрите также
- Алгоритм обратимого распространения системы отсчета (r-RESPA)
- Уравнение переноса Больцмана
Рекомендации
- ↑ Харальд Дж. Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2013)
- ^ Кубо, Ryogo (1963-02-01). «Стохастические уравнения Лиувилля». Журнал математической физики . 4 (2): 174–183. Bibcode : 1963JMP ..... 4..174K . DOI : 10.1063 / 1.1703941 . ISSN 0022-2488 .
- ^ JW Гиббс, "О фундаментальной формуле статистической механики, с приложениями к астрономии и термодинамике". Труды Американской ассоциации развития науки, 33 , 57–58 (1884). Воспроизведено в «Научных статьях» Дж. Уилларда Гиббса, том II (1906), стр. 16 .
- ^ Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера .
- ^ J. Liouville, Journ. de Math., 3, 342 (1838), [1] .
- ^ Харальд Дж. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012).
- ^ Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). Группа Тейлор и Фрэнсис. С. 201–204. ISBN 978-0-7503-0606-5.
- ^ Нэш, Оливер (8 января 2015 г.). "Теорема Лиувилля для педантов" (PDF) .
- ^ Теория открытых квантовых систем , Брейер и Петруччоне, стр 110 .
- ^ Статистическая механика , Schwabl, p 16 .
- ^ Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Кембриджский университет Press. С. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0.
- ^ Истман, Питер (2014–2015). «Эволюция вероятностей фазового пространства» .
- ^ Для особенно ясного вывода см. Толман, Р.К. (1979). Принципы статистической механики . Дувр. С. 48–51. ISBN 9780486638966.
- ^ «Фазовое пространство и теорема Лиувилля» . Проверено 6 января 2014 года .Почти идентично доказательству в этой статье в Википедии. Предполагает (без доказательства) n- мерное уравнение неразрывности.
- ^ «Сохранение объема фазового пространства и теорема Лиувилля» . Проверено 6 января 2014 года . Строгое доказательство, основанное на том, как элемент якобиана преобразуется в соответствии с гамильтоновой механикой.
- ^ «Физика 127a: Заметки для занятий» (PDF) . Проверено 6 января 2014 года .Использует теорему о n -мерной расходимости (без доказательства).
- ^ Нэш, Оливер (8 января 2015 г.). "Теорема Лиувилля для педантов" (PDF) . Проверено 1 октября 2015 года . Доказывает теорему Лиувилля на языке современной дифференциальной геометрии.
дальнейшее чтение
- Муругешан Р. Современная физика . С. Чанд.
- Миснер; Торн; Уиллер (1973). «Кинетическая теория в искривленном пространстве-времени» . Гравитация . Фримен. С. 583–590. ISBN 9781400889099.
Внешние ссылки
- «Функции распределения в фазовом пространстве и теорема Лиувилля» .