Локально конечный набор

В математической области топологии , локальная конечность является свойством коллекций подмножеств одного топологического пространства . Это фундаментально при изучении паракомпактности и топологической размерности .

Набор подмножеств топологического пространства называется локально конечным , если каждая точка в пространстве имеет окрестность, которая пересекает только конечное число множеств в наборе.${\ displaystyle X}$

Обратите внимание, что термин локально конечный имеет другое значение в других областях математики.

Примеры и свойства [ править ]

Конечное семейство подмножеств топологического пространства локально конечно. Бесконечные коллекции также могут быть локально конечными: например, набор всех подмножеств формы для целого числа . Счетный набор подмножеств не обязательно должен быть локально конечным, как показано совокупностью всех подмножеств вида для натурального числа п .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (п, п + 2)}$ ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (-n, n)}$

Если набор множеств локально конечен, набор всех замыканий этих множеств также локально конечен. Причина этого в том, что если открытое множество, содержащее точку, пересекает замыкание набора, оно обязательно пересекает само множество, следовательно, окрестность может пересекать самое большее такое же количество замыканий (она может пересекаться меньше, поскольку два различных, действительно непересекающиеся, множества могут иметь одно и то же замыкание). Обратное, однако, может потерпеть неудачу, если замыкания множеств не различны. Например, в конечной топологии комплемента по совокупности всех открытых множеств не является локально конечным, а совокупность всех замыканий этих множеств локально конечна (поскольку только замыкания являются и пустое множество ).${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Компактные пространства [ править ]

Каждый локально конечный набор подмножеств компактного пространства должен быть конечным. В самом деле, пусть - локально конечное семейство подмножеств компактного пространства . Для каждой точки выберите открытую окрестность, которая пересекает конечное число подмножеств в . Очевидно , что семейство множеств: это открытое покрытие из , и для этого имеет конечное подпокрытие : . Поскольку каждое из них пересекает только конечное число подмножеств в , объединение всех таких подмножеств пересекает только конечное число подмножеств в . Поскольку это объединение представляет собой все пространство , отсюда следует, что пересекается только конечное число подмножеств в коллекции${\ Displaystyle G = \ {G_ {a} | а \ in A \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle U_ {x}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ {U_ {x} | х \ в X \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {U_ {k_ {n}} | n \ in 1 \ dots n \}}$${\ displaystyle U_ {k_ {i}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle U_ {k_ {i}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$. И поскольку состоит из подмножеств каждого члена должны пересекаться , следовательно , конечен.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$

Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое измельчение , называется паракомпактным . Любой локально конечный набор подмножеств топологического пространства также точечно конечен . Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает точечно-конечное открытое измельчение, называется метакомпактом .

Вторые счетные пробелы [ править ]

Нет несчетное покрытие из пространства линделёфовости может быть локально конечным, по существу , те же рассуждения , как и в случае компактных пространств. В частности, никакое несчетное покрытие пространства , имеющего счетное второстепенное значение, не является локально конечным.

Закрытые наборы [ править ]

Конечное объединение замкнутых множеств всегда замкнуто. Легко привести пример бесконечного незамкнутого объединения замкнутых множеств. Однако, если мы рассматриваем локально конечный набор замкнутых множеств, объединение будет замкнутым. Чтобы убедиться в этом, заметим , что если точка вне объединения этого локально конечного набора замкнутых множеств, мы просто выберем окрестность из того, что пересекает эту коллекцию на конечное число этих множеств. Определите биективную карту из набора пересекающихся множеств, чтобы таким образом присвоить индекс каждому из этих множеств. Тогда для каждого набора, выберите открытое множество , содержащее , не пересекающийся с ним. Пересечение всех таких для${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {1, \ dots, k}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq к}$пересекается с , является окрестностью , которая не пересекает объединение этого набора замкнутых множеств.${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x}$

Счетно локально конечные коллекции [ править ]

Коллекция в пространстве является счетной локально конечной (или σ-локально конечным ) , если оно является объединением счетного семейства локально конечных наборов подмножеств . Счетная локальная конечность - ключевая гипотеза в теореме о метризации Нагаты – Смирнова , которая утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно и имеет счетно локально конечный базис .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Ссылки [ править ]

• Джеймс Р. Манкрес (2000), Топология (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-181629-2