Луи Ниренберг

Луи Ниренберг
Луи Ниренберг в 1975 году
Родившийся	( 1925-02-28 )28 февраля 1925 г. Гамильтон, Онтарио , Канада
Умер	26 января 2020 г. (2020-01-26)(94 года) Манхэттен , Нью-Йорк , США
Гражданство	Канадский и американский
Альма-матер	Университет Макгилла (бакалавр, 1945) Нью-Йоркский университет (доктор философии, 1950)
Известен	Уравнения с частными производными Интерполяционное неравенство Гальярдо – Ниренберга Неравенство Гальярдо – Ниренберга – Соболева Ограниченное среднее колебание (пространство Джона – Ниренберга)
Награды	Мемориальная премия Бохера (1959) Премия Крафорда (1982) Премия Стила (1994, 2014) Национальная медаль науки (1995) Медаль Черна (2010) Премия Абеля по математике (2015)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Нью-Йоркский университет
Тезис	Определение замкнутой выпуклой поверхности с заданными линейными элементами  (1949 г.)
Докторант	Джеймс Стокер
Докторанты	Уолтер Крейг Питер Б. Гилки Джайро Гедес де Фигейредо Серджиу Клайнерман Янь Янь Ли Чан-Шоу Линь Вэй-Мин Ни Мартин Шехтер Габриэлла Тарантелло
Примечания
Курантский институт математических наук

Луи Ниренберг (28 февраля 1925 - 26 января 2020) был канадско-американским математиком , считавшимся одним из самых выдающихся математиков 20-го века. ^{[1] [2]}

Почти вся его работа была в области дифференциальных уравнений в частных производных . Многие из его работ теперь считаются фундаментальными для данной области, например, его доказательство сильного принципа максимума для параболических уравнений в частных производных второго порядка. Он считается одной из основополагающих фигур в области геометрического анализа , многие из его работ тесно связаны с изучением комплексного анализа и дифференциальной геометрии . ^[3]

Он особенно известен своим сотрудничеством с Шмуэлем Агмоном и Авроном Дуглисом, в котором они расширили теорию Шаудера , как ранее понималось для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, на общую постановку эллиптических систем. Вместе с Базилисом Гидасом и Вей-Мином Ни он новаторски применил принцип максимума для доказательства симметрии многих решений дифференциальных уравнений. Изучение функционального пространства BMO было начато Ниренбергом и Фрицем Джоном в 1961 году; хотя изначально он был введен Джоном при изучении эластичных материалов , он также применялся в азартных играх.известные как мартингалы . ^[4] Его 1982 работа с Луис Каффарелли и Роберт Кон был описан Фефферман в 2002 году как «о самом лучшем , что было сделано» по проблеме премии тысячелетия от Навье-Стокса существование и гладкость в области математической механики жидкости . ^[1]

Другие достижения включают разрешение проблемы Минковского в двух измерениях, то неравенство интерполяции Гальярдо-Ниренберга , то теорему Ньюлендера-Ниренберга в сложной геометрии , а также развитие псевдо-дифференциальных операторов с Joseph Кона .

Биография [ править ]

Ниренберг родился в Гамильтоне, Онтарио, в семье украинских иммигрантов. Он присутствовал барон Бинг средней школы и университета Макгилла , завершая его BS в обоих математике и физике в 1945. Через летнюю работу в Национальный исследовательский совет Канады , он узнал , Эрнест Куранта «s жена Сара Пол. Она поговорила с отцом Куранта, выдающимся математиком Ричардом Курантом , за советом о том, куда Ниренбергу следует обратиться для изучения теоретической физики. После их обсуждения, Ниренберг был приглашен поступить в аспирантуру в Куранте Институте математических наук вНью-Йоркский университет . В 1949 году он получил докторскую степень по математике под руководством Джеймса Стокера . В своей докторской работе он решил «проблему Вейля» в дифференциальной геометрии , которая была широко известной открытой проблемой с 1916 года.

Получив докторскую степень, он стал профессором Института Куранта, где оставался до конца своей карьеры. Он был советником 45 кандидатов наук. студентов, и опубликовал более 150 статей с рядом соавторов, в том числе заметное сотрудничество с Анри Берестицким , Хаймом Брезисом , Луисом Каффарелли и Яньяном Ли , среди многих других. Он продолжал проводить математические исследования до 87 лет. 26 января 2020 года Ниренберг скончался в возрасте 94 лет. ^{[5] [6] [7]}

Награды и почести [ править ]

• Приз памяти Бохера (1959)
• Премия Крафорда (1982)
• Приз Джеффри-Уильямса (1987)
• Премия Стила за пожизненные достижения (1994) ^[8]
• Национальная медаль науки (1995) ^[9]
• Медаль Черна (2010) ^[10]
• Премия Стила за плодотворный вклад в исследования (2014 г.) вместе с Луисом Каффарелли и Робертом Коном за их статью 1982 г. «Частичная регулярность подходящих слабых решений уравнений Навье-Стокса»
• Абелевская премия (2015)

Математические достижения [ править ]

1950-е [ править ]

Доктор философии Ниренберга. тезис предоставил разрешение проблемы Вейля и задачи Минковского в дифференциальной геометрии . Первый требует существования изометрических вложений римановой метрики положительной кривизны на двумерной сфере в трехмерное евклидово пространство , а второй требует замкнутых поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве заданной гауссовой кривизны . Стандартный ныне подход к этим проблемам основан на теории уравнения Монжа-Ампера., которое является полностью нелинейным эллиптическим уравнением в частных производных. Ниренберг внес новый вклад в теорию таких уравнений в контексте двумерных областей, опираясь на более раннюю работу Чарльза Морри 1938 года . Работа Ниренберга по проблеме Минковского была значительно расширена Алексеем Погореловым , Шиу-Юэн Ченгом , Шинг-Тунг Яу и другими авторами. В отдельном вкладе в дифференциальную геометрию Ниренберг и Филип Хартман охарактеризовали цилиндры в евклидовом пространстве как единственные полные гиперповерхности, которые по своей сути плоские.

В том же году, когда он решил проблемы Вейля и Минковского, Ниренберг внес важный вклад в понимание принципа максимума , доказав сильный принцип максимума для параболических уравнений в частных производных второго порядка. Теперь это считается одним из самых фундаментальных результатов в данной ситуации. ^[11]

Самая известная работа Ниренберга 1950-х годов посвящена «эллиптической регулярности». Вместе с Авроном Дуглисом Ниренберг распространил оценки Шаудера , открытые в 1930-х годах в контексте эллиптических уравнений второго порядка, на общие эллиптические системы произвольного порядка. В сотрудничестве с Дуглисом и Шмуэлем Агмонами, Ниренберг распространил эти оценки до границы. Вместе с Морри Ниренберг доказал, что решения эллиптических систем с аналитическими коэффициентами сами по себе аналитичны, распространяясь на границы ранее известной работы. Эти вклады в эллиптическую регулярность теперь рассматриваются как часть «стандартного пакета» информации и рассматриваются во многих учебниках. В частности, оценки Дуглиса-Ниренберга и Агмона-Дуглиса-Ниренберга являются одними из наиболее широко используемых инструментов в эллиптических уравнениях с частными производными. ^[12]

В 1957 году, отвечая на вопрос, заданный Ниренбергу Шиинг-Шеном Черном и Андре Вейлем , Ниренберг и его докторант Август Ньюландер доказали то, что теперь известно как теорема Ньюлендера-Ниренберга , которая обеспечивает точное условие, при котором почти сложная структура возникает из голоморфный координатный атлас. Теорема Ньюлендера-Ниренберга теперь рассматривается как основополагающий результат в сложной геометрии , хотя сам результат гораздо лучше известен, чем доказательство, которое обычно не рассматривается во вводных текстах, поскольку оно опирается на продвинутые методы в уравнениях в частных производных.

В своем обзоре эллиптических дифференциальных уравнений 1959 года Ниренберг доказал (независимо от Эмилио Гальярдо) то, что теперь известно как интерполяционные неравенства Гальярдо-Ниренберга для пространств Соболева. Более поздняя работа Ниренберга в 1966 г. прояснила возможные показатели, которые могут появляться в этих неравенствах. В более поздних работах других авторов неравенства Гальярдо-Ниренберга распространены на дробные пространства Соболева.

1960-е [ править ]

Сразу после того, как Фриц Джон ввел функциональное пространство BMO в теорию упругости, Джон и Ниренберг провели дальнейшее исследование этого пространства с конкретным функциональным неравенством, теперь известным как неравенство Джона-Ниренберга, которое стало основным в теории упругости. область гармонического анализа . Он характеризует, насколько быстро функция BMO отклоняется от среднего значения; доказательство представляет собой классическое применение разложения Кальдерона-Зигмунда .

Ниренберг и Франсуа Трев исследовали знаменитый пример Леви для неразрешимого линейного уравнения в частных производных второго порядка и обнаружили условия, при которых он разрешим, в контексте как операторов в частных производных, так и псевдодифференциальных операторов. Их введение условий локальной разрешимости с аналитическими коэффициентами стало предметом внимания таких исследователей, как Р. Билс, К. Фефферман, Р. Д. Мойер, Ларс Хёрмандер и Нильс Денкер , решившие псевдодифференциальное условие для уравнения Леви. Это открыло новые возможности для локальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Ниренберг и Дж. Дж. Кон , следуя более ранней работе Кона, изучили ∂- задачу Неймана на псевдовыпуклых областях и продемонстрировали связь теории регулярности с существованием субэллиптических оценок для оператора ∂ .

Агмон и Ниренберг провели обширное исследование обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, связав асимптотические представления и поведение решений на бесконечности с

${\ displaystyle {\ frac {du} {dt}} + Au = 0}$

для спектральных свойств оператора А . Приложения включают изучение довольно общих параболических и эллиптико-параболических задач.

1970-е [ править ]

В 1960-е годы А.Д. Александров представил элегантный метод отражения «скользящей плоскости», который он использовал для применения принципа максимума при доказательстве того, что единственная замкнутая гиперповерхность евклидова пространства, имеющая постоянную среднюю кривизну, - это круглая сфера. В сотрудничестве с Базилисом Гидасом и Вей-Мином Ни Ниренберг провел обширное исследование того, как этот метод применяется для доказательства симметрии решений некоторых симметричных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка. Примерный результат состоит в том, что если u - положительная функция на шаре с нулевыми граничными данными и с Δ u + f ( u ) = 0 внутри шара, то uосесимметрична. В более поздней работе 1981 года они распространили эту работу на симметричные эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка на всех ℝ ⁿ . Эти две статьи являются одними из наиболее цитируемых Ниренберга благодаря гибкости их методик и соответствующей общности их результатов. Благодаря результатам Гидаса, Ни и Ниренберга во многих случаях, представляющих геометрический или физический интерес, достаточно изучать обыкновенные дифференциальные уравнения, а не уравнения в частных производных. Возникшие проблемы были подняты в ряде влиятельных работ Ни, Анри Берестыцкого , Пьера-Луи Лионса и других.

Ниренберг и Чарльз Лёвнер изучали способы естественного сопоставления полной римановой метрики ограниченным открытым подмножествам евклидова пространства, смоделированного на основе классического сопоставления гиперболического пространства единичному шару, с помощью модели единичного шара. Они показали , что если Ω является ограниченным открытым подмножеством ℝ ² с гладким и строго выпуклой границей, то уравнение Монжа-Ампер

${\ displaystyle \ operatorname {det} D ^ {2} u = {\ frac {1} {| u | ^ {4}}}}$

имеет единственное гладкое отрицательное решение, которое непрерывно продолжается до нуля на границе ∂ Ω . Геометрический смысл этого результата состоит в том, что1/- тыТогда D ² u определяет полную риманову метику на Ω . В частном случае, когда Ω является шаром, это восстанавливает гиперболическую метрику. Лёвнер и Ниренберг также изучали метод конформной деформации с помощью уравнения Ямабе

${\ displaystyle \ Delta u = cu ^ {(n + 2) / (n-2)}}$

для постоянной c . Они показали, что для некоторого Ω это уравнение Ямабе имеет единственное решение, расходящееся до бесконечности на границе. Геометрический смысл такого решения состоит в том, что u ^{2 / ( n - 2)} g _Euc тогда является полной римановой метрикой на Ω, имеющей постоянную скалярную кривизну.

В другой работе Хаим Брезис , Гвидо Стампаккья и Ниренберг расширили топологический принцип минимакса Кая Фана на некомпактные настройки. Брезис и Ниренберг изучили теорию возмущений нелинейных возмущений необратимых преобразований между гильбертовыми пространствами; Приложения включают результаты существования периодических решений некоторых полулинейных волновых уравнений.

1980-е [ править ]

Луис Каффарелли , Роберт Кон и Ниренберг изучили трехмерные несжимаемые уравнения Навье-Стокса , показав, что набор точек пространства-времени, в которых слабые решения не дифференцируются, должен, грубо говоря, занимать меньше места, чем кривая. Это известно как результат «частичной регулярности». В своем описании предположительной регулярности уравнений Навье-Стокса в качестве задачи на премию тысячелетия , Фефферманссылается на результат Каффарелли-Кона-Ниренберга как на «лучшую частичную теорему регулярности, известную до сих пор» по проблеме. В качестве побочного продукта своей работы над уравнениями Навье-Стокса Каффарелли, Кон и Ниренберг (в отдельной статье) расширили более раннюю работу Ниренберга по интерполяционному неравенству Гальярдо-Ниренберга до определенных весовых норм.

В 1977 году Шиу-Юэн Ченг и Шинг-Тунг Яу разрешили внутреннюю регулярность уравнения Монжа-Ампера , показав, в частности, что если правая часть гладкая, то и решение должно быть гладким. В 1984 году Каффарелли, Джоэл Спрук и Ниренберг использовали различные методы для распространения результатов Ченга и Яу на случай граничной регулярности. Они смогли расширить свое исследование до более общего класса полностью нелинейных эллиптических уравнений с частными производными, в которых решения определяются алгебраическими соотношениями на собственные значения матрицы вторых производных. Вместе с Дж. Дж. Коном они также нашли аналогичные результаты при постановке комплексного уравнения Монжа-Ампера.

В одной из наиболее цитируемых работ Ниренберга он и Брезис изучали проблему Дирихле для уравнений типа Ямабе на евклидовых пространствах, следуя части работ Тьерри Обена по проблеме Ямабе .

1990-е [ править ]

Метод подвижной плоскости Александрова, расширенный в 1979 г. Гидасом, Ни и Ниренбергом, далее изучается в совместных работах Берестыцкого, Каффарелли и Ниренберга. Основная тема - понять, когда решение Δ u + f ( u ) = 0 с данными Дирихле на цилиндре обязательно наследует цилиндрическую симметрию.

В 1991 году Брезис и Ниренберг применили вариационный принцип Экланда, чтобы расширить лемму о горном перевале . В 1993 году они внесли фундаментальный вклад в теорию критических точек, показав (с некоторыми контекстными предположениями), что локальный минимизатор

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ Big (} | \ nabla u | ^ {2} - \ int _ {0} ^ {u (x)} f (x, t) \, dt {\ Big )} \, dx}$

в топологии C ¹ также является локальным минимизатором в топологии W ^1,2 . В 1995 году они использовали теоремы плотности, чтобы расширить понятие топологической степени от непрерывных отображений до класса отображений VMO .

Вместе с Берестицким и Итало Капуццо-Дольчетта Ниренберг изучал сверхлинейные уравнения типа Ямабе, давая различные результаты о существовании и несуществовании. Их можно рассматривать как развитие фундаментальной статьи Брезиса и Ниренберга 1983 года.

В важном результате с Берестицким и Шринивасой Варадханом Ниренберг распространил классически известные результаты о первом собственном значении эллиптических операторов второго порядка на ситуации, когда граница области не дифференцируема.

В 1992 г. Берестыцкий и Ниренберг провели полное исследование существования решений в виде бегущей волны уравнений реакции-диффузии, в которых пространственная область является цилиндрической, т.е. имеет форму × Ω '.

2000-е [ править ]

Вместе с Яньян Ли, вдохновленный композитными материалами в теории упругости, Ниренберг изучал эллиптические системы, в которых коэффициенты непрерывны по Гёльдеру внутри, но, возможно, разрывны на границе. Их результат состоит в том, что градиент решения является непрерывным по Гёльдеру с оценкой L ^∞ для градиента, которая не зависит от расстояния от границы.

Книги и обзоры [ править ]

• Луи Ниренберг. Лекции по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных . Разъяснительные лекции региональной конференции CBMS, проходившей в Техасском технологическом университете, Лаббок, Техас, 22–26 мая 1972 г. Конференционный совет серии региональных конференций математических наук по математике, № 17. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1973. v + 58 с.
• Луи Ниренберг. Разделы нелинейного функционального анализа . Глава 6 Э. Цендера. Записки Р.А. Артино. Переиздание оригинала 1974 года. Конспект лекций Куранта по математике, 6. Нью-Йоркский университет, Институт математических наук Куранта, Нью-Йорк; Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2001. xii + 145 стр. ISBN  0-8218-2819-3
• Луи Ниренберг. Лекции по дифференциальным уравнениям и дифференциальной геометрии . С предисловием Шиу-Юн Ченг и Личжэнь Цзи. CTM. Классические темы по математике, 7. Издательство высшего образования, Пекин, 2018. ix + 174 стр. ISBN 978-7-04-050302-9 
• Ниренберг, Л. Об эллиптических уравнениях в частных производных. Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Sci. 3. 13 (1959), 115–162.
• Уравнения с частными производными в первой половине века , Жан-Поль Пьер, Развитие математики, 1900–1950 , Биркхойзер, 1994.

Основные публикации [ править ]

• Ниренберг, Луи. Сильный принцип максимума для параболических уравнений. Comm. Pure Appl. Математика. 6 (1953), 167–177.
• Ниренберг, Луи. Задачи Вейля и Минковского в дифференциальной геометрии в целом. Comm. Pure Appl. Математика. 6 (1953), 337–394.
• Дуглис, Аврон; Ниренберг, Луи. Внутренние оценки для эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных. Comm. Pure Appl. Математика. 8 (1955), 503–538.
• Морри, CB, мл .; Ниренберг, Л. Об аналитичности решений линейных эллиптических систем уравнений в частных производных. Comm. Pure Appl. Математика. 10 (1957), 271–290.
• Newlander, A .; Ниренберг, Л. Комплексные аналитические координаты в почти комплексных многообразиях. Анна. математики. (2) 65 (1957), 391–404.
• Agmon, S .; Дуглис, А .; Ниренберг, Л. Оценки вблизи границы для решений эллиптических уравнений в частных производных, удовлетворяющих общим граничным условиям. I. Comm. Pure Appl. Математика. 12 (1959), 623–727.
• Хартман, Филип; Ниренберг, Луи. На картах сферических изображений, якобианы которых не меняют знак. Амер. J. Math. 81 (1959), 901–920.
• John, F .; Ниренберг, Л. О функциях ограниченного среднего колебания. Comm. Pure Appl. Математика. 14 (1961), 415–426.
• Agmon, S .; Ниренберг, Л. Свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Comm. Pure Appl. Математика. 16 (1963), 121–239.
• Agmon, S .; Дуглис, А .; Ниренберг, Л. Оценки вблизи границы для решений эллиптических уравнений в частных производных, удовлетворяющих общим граничным условиям. II. Comm. Pure Appl. Математика. 17 (1964), 35–92.
• Кон, JJ; Ниренберг, Л. Некоэрцитивные краевые задачи. Comm. Pure Appl. Математика. 18 (1965), 443–492.
• Ниренберг, Л. Расширенное интерполяционное неравенство. Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Sci. (3) 20 (1966), 733–737.
• Brézis, H .; Nirenberg, L .; Stampacchia, G. Замечание о принципе минимакса Кая Фэна. Болл. ООН. Мат. Ital. (4) 6 (1972), 293–300.
• Лёвнер, Чарльз; Ниренберг, Луи. Уравнения с частными производными, инвариантные относительно конформных или проективных преобразований. Вклад в анализ (сборник статей, посвященный Липману Берсу), стр. 245–272. Академик Пресс, Нью-Йорк, 1974.
• Brézis, H .; Ниренберг, Л. Характеризация диапазонов некоторых нелинейных операторов и приложения к краевым задачам. Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Sci. (4) 5 (1978), вып. 2, 225–326.
• Gidas, B .; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия и связанные с ней свойства через принцип максимума. Comm. Математика. Phys. 68 (1979), нет. 3, 209–243.
• Gidas, B .; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия положительных решений нелинейных эллиптических уравнений в Rn. Математический анализ и приложения, Часть A, стр. 369–402, Adv. по математике. Дополнение Stud., 7a, Academic Press, Нью-Йорк-Лондон, 1981.
• Caffarelli, L .; Kohn, R .; Ниренберг, Л. Частичная регулярность подходящих слабых решений уравнений Навье-Стокса. Comm. Pure Appl. Математика. 35 (1982), нет. 6, 771–831.
• Брезис, Хайм; Ниренберг, Луи. Положительные решения нелинейных эллиптических уравнений с критическими показателями Соболева. Comm. Pure Appl. Математика. 36 (1983), нет. 4, 437–477.
• Caffarelli, L .; Kohn, R .; Ниренберг, Л. Интерполяционные неравенства первого порядка с весами. Compositio Math. 53 (1984), нет. 3, 259–275.
• Caffarelli, L .; Nirenberg, L .; Спрук, Дж. Задача Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка. I. Уравнение Монжа-Ампера. Comm. Pure Appl. Математика. 37 (1984), нет. 3, 369–402.
• Caffarelli, L .; Кон, JJ; Nirenberg, L .; Спрук, Дж. Задача Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка. II. Комплексные уравнения Монжа-Ампера и равномерно эллиптические уравнения. Comm. Pure Appl. Математика. 38 (1985), нет. 2, 209–252.
• Caffarelli, L .; Nirenberg, L .; Спрук, Дж. Задача Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка. III. Функции собственных значений гессиана. Acta Math. 155 (1985), нет. 3-4, 261–301.
• Берестыцкий, H .; Ниренберг Л. О методе движущихся плоскостей и методе скольжения. Бол. Soc. Бразилия. Мат. (NS) 22 (1991), нет. 1, 1–37.
• Брезис, Хайм; Ниренберг, Луи. Замечания по поиску критических точек. Comm. Pure Appl. Математика. 44 (1991), нет. 8-9, 939–963.
• Берестовский, Анри; Ниренберг, Луи. Передвижные фасады в цилиндрах. Анна. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 9 (1992), нет. 5, 497–572.
• Брезис, Хайм; Ниренберг, Луи. Сравнение локальных минимизаторов H1 и C1. CR Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 317 (1993), нет. 5, 465–472.
• Берестыцкий, H .; Capuzzo-Dolcetta, I .; Ниренберг, Л. Сверхлинейные неопределенные эллиптические задачи и нелинейные теоремы Лиувилля. Тополь. Методы нелинейного анализа. 4 (1994), нет. 1, 59–78.
• Берестыцкий, H .; Nirenberg, L .; Варадхан, SRS . Главное собственное значение и принцип максимума для эллиптических операторов второго порядка в общих областях. Comm. Pure Appl. Математика. 47 (1994), нет. 1, 47–92.
• Берестовский, Анри; Капуццо-Дольчетта, Итало; Ниренберг, Луи. Вариационные методы решения неопределенных сверхлинейных однородных эллиптических задач. NoDEA Нелинейные дифференциальные уравнения Appl. 2 (1995), нет. 4, 553–572.
• Brezis, H .; Ниренберг, Л. Теория степени и BMO. I. Компактные многообразия без границ. Selecta Math. (NS) 1 (1995), нет. 2, 197–263.
• Берестыцкий, H .; Каффарелли, Луизиана; Ниренберг, Л. Монотонность эллиптических уравнений в неограниченных липшицевых областях. Comm. Pure Appl. Математика. 50 (1997), нет. 11, 1089–1111.
• Берестовский, Анри; Каффарелли, Луис; Ниренберг, Луи. Другие качественные свойства эллиптических уравнений в неограниченных областях. Посвящается Эннио Де Джорджи. Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Sci. (4) 25 (1997), нет. 1-2, 69–94 (1998).
• Ли, Яньян; Ниренберг, Луи. Оценки эллиптических систем из композиционного материала. Посвящается памяти Юргена К. Мозера. Comm. Pure Appl. Математика. 56 (2003), нет. 7, 892–925.
• Ли, Яньян; Ниренберг, Луи. Функция расстояния до границы, финслерова геометрия и сингулярный набор вязкостных решений некоторых уравнений Гамильтона-Якоби. Comm. Pure Appl. Математика. 58 (2005), нет. 1, 85–146.
• Ли, Яньян; Ниренберг, Луи. Геометрическая задача и лемма Хопфа. II. Китайская Ann. Математика. Сер. В 27 (2006), нет. 2, 193–218.
• Caffarelli, L .; Ли, Яньян, Ниренберг, Луис. Некоторые замечания по сингулярным решениям нелинейных эллиптических уравнений III: вязкостные решения, включающие параболические операторы. Comm. Pure Appl. Математика. 66 (2013), нет. 1, 109–143.

См. Также [ править ]

• Интерполяционное неравенство Гальярдо – Ниренберга.
• Неравенство Гальярдо – Ниренберга – Соболева.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Домашняя страница Луи Ниренберга
• Фонд Саймонса, Наука живет: Луи Ниренберг
• Аллин Джексон. Интервью с Луи Ниренбергом. Замечает амер. Математика. Soc. 49 (2002), нет. 4, 441–449.
• Янь Ян Ли. Работа Луи Ниренберга. Материалы Международного конгресса математиков. Том I, 127–137, Книжное агентство Hindustan, Нью-Дели, 2010.
• Саймон Дональдсон. О творчестве Луи Ниренберга. Замечает амер. Математика. Soc. 58 (2011), нет. 3, 469–472.
• Тристан Ривьер. Изучение неизвестного: работа Луи Ниренберга по уравнениям в частных производных. Замечает амер. Математика. Soc. 63 (2016), нет. 2, 120–125.
• Недавние применения классических идей Ниренберга. Сообщение Кристины Сормани. Замечает амер. Математика. Soc. 63 (2016), нет. 2, 126–134.
• Мартин Рауссен и Кристиан Скау. Интервью с Луи Ниренбергом. Замечает амер. Математика. Soc. 63 (2016), нет. 2, 135–140.