Проекция Меркатора

Проекция Меркатора между 85 ° южной широты и 85 ° северной широты. Обратите внимание на сравнение размеров Гренландии и Африки.

Проекция Меркатора с индикатрисой деформации Тиссо .

Карта мира Меркатора 1569 года ( Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodationata ) с указанием широты от 66 ° до 80 ° северной широты.

Проекции Меркатора ( / м ər к eɪ т ər / ) представляет собой цилиндрическую карту проекции представлен фламандского географа и картографа Герарда Меркатора в 1569. Это стало стандартное отображение проекции для навигации , поскольку он является уникальным в представлении на север , как вверх и юг , как вниз повсюду, сохраняя при этом локальные направления и формы. Таким образом, отображение конформно. В качестве побочного эффекта проекция Меркатора увеличивает размер объектов от экватора. Эта инфляция очень мала вблизи экватора, но ускоряется с увеличением широты, становясь бесконечной на полюсах. Так, например, такие массивы суши, как Гренландия и Антарктида, кажутся намного больше, чем они есть на самом деле, по сравнению с массивами суши около экватора, такими как Центральная Африка.

История [ править ]

Есть некоторые разногласия по поводу происхождения Меркатора. Немецкий эрудит Эрхард Эцлауб гравировал миниатюрные «компасные карты» (около 10 × 8 см) Европы и некоторых частей Африки, которые охватывали широту 0–67 °, чтобы можно было регулировать свои портативные карманные солнечные часы . Проекция, найденная на этих картах, датируемая 1511 годом, была заявлена ​​Снайдером ^[1] в 1987 году как такая же проекция, что и проекция Меркатора. Однако, учитывая геометрию солнечных часов, эти карты вполне могли быть основаны на аналогичной центральной цилиндрической проекции , предельном случае гномонической проекции , которая является основой для солнечных часов. Снайдер дополняет свою оценку «аналогичным прогнозом» в 1994 году ^[2].

Джозеф Нидхэм , историк Китая, писал, что китайцы разработали проекцию Меркатора за сотни лет до Меркатора, используя ее в звездных картах во времена династии Сун . ^[3] Однако это был простой и распространенный случай ошибочной идентификации. Используемая проекция была равнопрямоугольной .

Португальский математик и космограф Педро Нунес первым описал математический принцип локсодрома и его использование в морской навигации. В 1537 году он предложил построить морской атлас, состоящий из нескольких крупномасштабных листов в цилиндрической эквидистантной проекции, как способ минимизировать искажение направлений. Если бы эти листы были приведены к одному масштабу и собраны, они бы приблизительно соответствовали проекции Меркатора.

В 1569 году Герхард Кремер, известный под своим торговым именем Герард Меркатор, объявил о новой проекции, опубликовав большую планисферную карту размером 202 на 124 см (80 на 49 дюймов), напечатанную на восемнадцати отдельных листах. Меркатор назвал карту Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata.: «Новое и дополненное описание Земли, исправленное для использования моряками». Этот заголовок, вместе с подробным объяснением использования проекции, которая появляется как часть текста на карте, показывает, что Меркатор точно понял, чего он достиг, и что он предназначал проекцию для облегчения навигации. Меркатор никогда не объяснял метод строительства или то, как он к нему пришел. На протяжении многих лет выдвигались различные гипотезы, но в любом случае дружба Меркатора с Педро Нунесом и его доступ к таблицам локсодромии, созданным Нунесом, вероятно, помогли его усилиям.

Английский математик Эдвард Райт опубликовал первые точные таблицы для построения проекции в 1599 году и, более подробно, в 1610 году, назвав свой трактат «Некоторые ошибки в навигации». Первая математическая формулировка была обнародована около 1645 года математиком по имени Генри Бонд (ок. 1600–1678). Однако соответствующая математика была разработана, но не опубликована математиком Томасом Харриотом, начиная примерно с 1589 года ^[4].

Разработка проекции Меркатора стала крупным прорывом в морской картографии 16 века. Однако он намного опередил свое время, так как старые методы навигации и съемки были несовместимы с его использованием в навигации. Ее немедленному применению препятствовали две основные проблемы: невозможность определения долготы в море с достаточной точностью и тот факт, что в навигации использовались магнитные направления, а не географические . Только в середине XVIII века, после изобретения морского хронометра и определения пространственного распределения магнитного склонения , мореплаватели смогли полностью перенять проекцию Меркатора.

Несмотря на эти ограничения определения местоположения, проекцию Меркатора можно найти на многих картах мира за столетия после первой публикации Меркатора. Однако он не стал доминировать на картах мира до 19 века, когда проблема определения местоположения была в значительной степени решена. Как только Меркатор стал обычной проекцией для коммерческих и образовательных карт, картографы постоянно критиковали его за несбалансированное изображение суши и неспособность эффективно показать полярные регионы.

Критика, направленная против неправильного использования проекции Меркатора, привела к шквалу новых изобретений в конце 19-го и начале 20-го века, часто прямо рекламируемых как альтернативы проекции Меркатора. Из-за этого давления издатели постепенно сокращали использование проекции в течение 20-го века. Однако появление веб-картографии резко возродило эту проекцию в виде проекции Веб-Меркатора .

Сегодня Меркатор можно найти на морских картах, случайных картах мира и в картографических веб-сервисах, но коммерческие атласы в значительной степени отказались от него, а настенные карты мира можно найти во многих альтернативных проекциях. Карты Google , которые полагались на него с 2005 года, по-прежнему используют его для карт местности, но в 2017 году отказались от проецирования с настольных платформ для карт, масштабируемых за пределы локальных областей. Многие другие картографические онлайн-сервисы по-прежнему используют исключительно Web Mercator.

Свойства [ править ]

Как и во всех цилиндрических проекциях , параллели и меридианы на Меркаторе прямые и перпендикулярны друг другу. При этом неизбежное растяжение карты с востока на запад, которое увеличивается по мере удаления от экватора , сопровождается в проекции Меркатора соответствующим растяжением с севера на юг, так что в каждой точке масштаб восток-запад равен такой же, как масштаб север-юг, что делает его конформной картографической проекцией . Конформные проекции сохраняют углы во всех местах.

Поскольку линейный масштаб карты Меркатора увеличивается с увеличением широты, он искажает размер географических объектов вдали от экватора и передает искаженное восприятие общей геометрии планеты. На широтах, превышающих 70 ° северной или южной широты, проекция Меркатора практически непригодна, потому что линейный масштаб на полюсах становится бесконечно большим. Таким образом, карта Меркатора никогда не может полностью отобразить полярные области (если проекция основана на цилиндре с центром на оси вращения Земли; см. Поперечную проекцию Меркатора для другого приложения).

Проекция Меркатора отображает все линии с постоянным пеленгом ( румбы (математически известные как локсодромы - те, которые образуют постоянные углы с меридианами) в прямые. Благодаря двум свойствам, конформности и прямым румбам, эта проекция однозначно подходит для морской навигации : курсы и пеленг измеряется с помощью роз ветров или транспортира, а соответствующие направления легко переносятся от точки к точке на карте с помощью параллельной линейки (например).

Искажение размеров [ править ]

Как и во всех картографических проекциях , формы или размеры искажают истинное расположение земной поверхности.

Проекция Меркатора увеличивает площади далеко от экватора .

Примеры искажения размера [ править ]

• Антарктида кажется чрезвычайно большой. Если бы был нанесен на карту весь земной шар, представление Антарктиды раздулось бы бесконечно. На самом деле это второй по величине континент, только меньше России .

• Элсмир на севере Канады «s арктических архипелагов выглядит примерно такого же размера , как Австралия , хотя Австралия более 39 раз больше. Все острова канадского арктического архипелага выглядят как минимум в 4 раза больше, а более северные острова кажутся еще больше.

• Гренландия имеет такие же размеры, как и Африка , хотя на самом деле площадь Африки в 14 раз больше.
  • Реальная площадь Гренландии сопоставима только с Демократической Республикой Конго .
  • Африка кажется примерно такого же размера, как Южная Америка , тогда как на самом деле Африка более чем вдвое больше.

• Шпицберген кажется больше, чем Борнео , тогда как на самом деле Борнео примерно в 12 раз больше Шпицбергена.

• Аляска кажется такого же размера, как Австралия, хотя на самом деле Австралия в 4½ раза больше.
  • Аляска также занимает на карте столько же площади, сколько Бразилия , тогда как площадь Бразилии почти в 5 раз больше, чем Аляска.

• Мадагаскар и Великобритания выглядят примерно одинакового размера, в то время как Мадагаскар на самом деле более чем в два раза больше самого большого из Британских островов.
  • Швеция кажется намного больше Мадагаскара. На самом деле они одинакового размера.

• Россия кажется больше, чем вся Африка или Северная Америка (без островов последней). Это также кажется вдвое большим, чем Китай и сопредельные Соединенные Штаты вместе взятые, хотя на самом деле сумма сопоставима по размеру.
  • Инфляция на севере также сильно искажает форму России, заставляя ее казаться намного выше с севера на юг и значительно растягивая ее арктические регионы по сравнению со средними широтами.

Критика [ править ]

Некоторые ^{[ кто? ]} считают проекцию непригодной для общих карт мира. Поэтому сам Меркатор использовал синусоидальную проекцию равной площади, чтобы показать относительные площади. Однако, несмотря на такие искажения, проекция Меркатора, особенно в конце 19 - начале 20 веков, была, пожалуй, наиболее распространенной проекцией, используемой на картах мира, несмотря на то, что ее много критиковали за такое использование. ^{[5] [6] [7] [8]}

Предполагалось, что проекция Меркатора из-за ее очень распространенного использования повлияла на восприятие мира людьми ^[9], а поскольку она показывает страны около экватора слишком маленькими по сравнению с Европой и Северной Америкой, предполагалось, что она чтобы люди считали эти страны менее важными. ^[10] В результате этой критики современные атласы больше не используют проекцию Меркатора для карт мира или для областей, удаленных от экватора, предпочитая другие цилиндрические проекции или формы равновеликих проекций . Однако проекция Меркатора по-прежнему широко используется для областей вблизи экватора, где искажения минимальны. Он также часто встречается на картах часовых поясов.

Арно Петерс вызвал споры, начиная с 1972 года, когда он предложил то, что сейчас обычно называют проекцией Галла-Петерса, чтобы исправить проблемы Меркатора. Проекция, которую он продвигал, представляет собой специфическую параметризацию цилиндрической равновеликой проекции . В ответ в резолюции 1989 г. семь североамериканских географических групп пренебрегли использованием цилиндрических проекций для карт мира общего назначения, которые будут включать и Меркатора, и Галла – Петерса. ^[11]

Использует [ редактировать ]

Практически каждая печатаемая морская карта основана на проекции Меркатора из-за ее уникально благоприятных свойств для навигации. Он также широко используется картографическими службами улиц, размещенными в Интернете, из-за его уникальных свойств для карт местности, рассчитываемых по запросу. ^[12] Проекции Меркатора также сыграли важную роль в математическом развитии тектоники плит в 1960-х годах. ^[13]

Морская навигация [ править ]

Проекция Меркатора была разработана для использования в морской навигации из-за ее уникального свойства представлять любой курс постоянного пеленга в виде прямого сегмента. Такой курс, известный как румб (или, математически, локсодромия), предпочтителен в морской навигации, потому что суда могут плыть в постоянном направлении по компасу, уменьшая сложные, подверженные ошибкам корректировки курса, которые в противном случае часто потребовались бы при плавании в другом направлении. курс. Для расстояний, малых по сравнению с радиусом Земли, разница между румбом и технически кратчайшим курсом - большой круг.сегмент пренебрежимо мал, и даже для больших расстояний простота постоянного подшипника делает его привлекательным. По наблюдениям Меркатора, на таком курсе корабль не придет кратчайшим путем, но обязательно придет. Плавание по румбу означало, что все, что нужно было сделать морякам, - это держать постоянный курс, пока они знали, где они были, когда стартовали, где они собирались быть, когда закончили, и имели карту в проекции Меркатора, которая правильно показывала этих двоих. координаты.

Web Mercator [ править ]

Многие крупные онлайн-службы картографии улиц ( Bing Maps , Google Maps , MapQuest , OpenStreetMap , Yahoo! Maps и другие) используют вариант проекции Меркатора для своих изображений карт ^{[ необходима цитата ],} называемый Web Mercator или Google Web Mercator. Несмотря на очевидные вариации масштаба при малых масштабах, проекция хорошо подходит в качестве интерактивной карты мира, которую можно плавно масштабировать до крупномасштабных (локальных) карт, где имеется относительно небольшое искажение из-за почти конформности варианта проекции .

Системы мозаики основных онлайн-сервисов картографии улиц отображают большую часть мира при самом низком уровне масштабирования в виде одного квадратного изображения, исключая полярные регионы путем усечения на широтах φ _max  = ± 85,05113 °. (См. Ниже .) Значения широты за пределами этого диапазона отображаются с использованием другого соотношения, которое не расходится при  φ  = ± 90 °. ^{[ необходима цитата ]}

Математика [ править ]

Сферическая модель [ править ]

Хотя поверхность Земли лучше всего моделируется сплюснутым эллипсоидом вращения , для мелкомасштабных карт эллипсоид аппроксимируется сферой радиуса a . Существует множество различных методов расчета a . Самые простые включают (а) экваториальный радиус эллипсоида, (б) среднее арифметическое или геометрическое полуосей эллипсоида и (в) радиус сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид. ^[14] Диапазон для асреди возможных вариантов - около 35 км, но для приложений малого масштаба (большой регион) это изменение можно игнорировать, и средние значения 6 371 км и 40 030 км могут быть приняты для радиуса и окружности соответственно. Эти значения используются в числовых примерах в следующих разделах. Только для высокоточной картографии на крупномасштабных картах требуется эллипсоидальная модель.

Цилиндрические выступы [ править ]

Сферическое приближение Земли с радиусом a может быть смоделировано меньшей сферой радиуса R , называемой в этом разделе земным шаром . Глобус определяет масштаб карты. Различные цилиндрические проекции определяют, как географическая деталь переносится с земного шара на цилиндр, касательный к нему на экваторе. Затем цилиндр разворачивают, чтобы получить планарную карту. ^{[15] [16]} Дробьр/аназывается репрезентативной дробью (RF) или главным масштабом проекции. Например, карта Меркатора, напечатанная в книге, может иметь экваториальную ширину 13,4 см, соответствующую радиусу земного шара 2,13 см и RF приблизительно1/300 млн (M используется как сокращение для 1000000 при написании RF), тогда как оригинальная карта Меркатора 1569 года имеет ширину 198 см, что соответствует радиусу глобуса 31,5 см и RF примерно 1/20 млн.

Цилиндрическая картографическая проекция задается формулами, связывающими географические координаты широты  φ и долготы  λ с декартовыми координатами на карте с началом на экваторе и осью x вдоль экватора. По конструкции все точки на одном меридиане лежат на одном образующем ^[a] цилиндра при постоянном значении x , но расстояние y вдоль образующего (измеренное от экватора) является произвольной ^[b] функцией широты, y ( φ). В общем, эта функция не описывает геометрическую проекцию (как световых лучей на экран) от центра земного шара к цилиндру, что является лишь одним из неограниченного числа способов концептуального проецирования цилиндрической карты.

Поскольку цилиндр касается земного шара на экваторе, масштабный коэффициент между земным шаром и цилиндром равен единице на экваторе, но нигде больше. В частности, поскольку радиус параллели или круга широты равен R  cos  φ , соответствующая параллель на карте должна была быть растянута в раз.1/cos φ= сек φ . Этот масштабный коэффициент на параллели условно обозначается k, а соответствующий масштабный коэффициент на меридиане обозначается  h . ^[17]

Геометрия малых элементов [ править ]

Соотношения между y ( φ ) и свойствами проекции, такими как преобразование углов и изменение масштаба, вытекают из геометрии соответствующих малых элементов на глобусе и карте. На рисунке ниже показана точка P на широте  φ и долготе  λ на земном шаре и ближайшая точка Q на широте φ  +  δφ и долготе λ  +  δλ . Вертикальные прямые PK и MQ представляют собой дуги меридианов длиной Rδφ . ^[c] Горизонтальные прямые PM и KQ представляют собой дуги параллелей длиной R (cos  φ ) δλ. ^[d]

Для небольших элементов угол PKQ составляет примерно прямой угол и, следовательно,

${\ displaystyle \ tan \ alpha \ приблизительно {\ frac {R \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda} {R \, \ delta \ varphi}}, \ qquad \ qquad \ tan \ beta = {\ frac {\ дельта x} {\ delta y}},}$

Ранее упомянутые коэффициенты масштабирования от шара до цилиндра даются как

параллельный масштабный коэффициент     ${\ displaystyle \ quad k (\ varphi) \; = \; {\ frac {P'M '} {PM}} \; = \; {\ frac {\ delta x} {R \ cos \ varphi \, \ дельта \ лямбда}},}$

масштабный коэффициент меридиана   ${\displaystyle \quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.}$

Поскольку меридианы отображаются в линии постоянной x , мы должны иметь x = R ( λ - λ ₀ ) и δx  =  Rδλ , ( λ в радианах). Следовательно, в пределе бесконечно малых элементов

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.}$

Вывод проекции Меркатора [ править ]

Выбор функции y ( φ ) для проекции Меркатора определяется требованием, чтобы проекция была конформной, и это условие может быть определено двумя эквивалентными способами:

• Равенство углов . Условие, что курс плавания с постоянным азимутом α на земном шаре отображается в постоянной сетке с буквой β на карте. Установка α  =  β в приведенных выше уравнениях дает y ′ ( φ ) =  R  sec  φ .
• Изотропия масштабных коэффициентов . Это утверждение, что коэффициент точечного масштабирования не зависит от направления, поэтому небольшие формы сохраняются проекцией. Установка h  =  k в приведенных выше уравнениях снова дает y ′ ( φ ) =  R  sec  φ .

Интегрируя уравнение

${\displaystyle y'(\varphi )=R\sec \varphi ,}$

при y (0) = 0, используя интегральные таблицы ^[18] или элементарные методы , ^[19] дает y (φ). Следовательно,

${\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$

В первом уравнении λ ₀ - это долгота произвольного центрального меридиана, обычно, но не всегда, долгота Гринвича (т. Е. Ноль). Разница ( λ  -  λ ₀ ) выражается в радианах.

Функция y ( φ ) нанесена рядом с φ для случая R  = 1: она стремится к бесконечности на полюсах. Значения линейной оси Y обычно не отображаются на печатных картах; вместо этого на некоторых картах справа отображается нелинейная шкала значений широты. Чаще всего на картах отображается только сетка выбранных меридианов и параллелей.

Обратные преобразования [ править ]

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =2\tan ^{-1}\left[\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.}$

Выражение справа от второго уравнения определяет функцию Гудермана ; т.е. φ  = gd (y/р): поэтому прямое уравнение можно записать как y  =  R · gd ⁻¹ ( φ ). ^[18]

Альтернативные выражения [ править ]

Существует множество альтернативных выражений для y ( φ ), все они получены с помощью элементарных манипуляций. ^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=&{\frac {R}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right]&=&{R}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]&=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\\[2ex]&=&R\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)&=&R\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)&=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}\left(\sec \varphi \right)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}}$

Соответствующие обратные:

${\displaystyle \varphi =\sin ^{-1}\left(\tanh {\frac {y}{R}}\right)=\tan ^{-1}\left(\sinh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}\left(\cosh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.}$

Для углов, выраженных в градусах:

${\displaystyle x={\frac {\pi R(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ })}{180}},\qquad \quad y=R\ln \left[\tan \left(45+{\frac {\varphi ^{\circ }}{2}}\right)\right].}$

Приведенные выше формулы записываются в терминах радиус шара R . Часто бывает удобно работать непосредственно с картой ширина W  = 2 π R . Например, основные уравнения преобразования становятся

${\displaystyle x={\frac {W}{2\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\qquad \quad y={\frac {W}{2\pi }}\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$

Усечение и соотношение сторон [ править ]

Ордината y проекции Меркатора становится бесконечной на полюсах, и карта должна быть усечена на некоторой широте менее девяноста градусов. Это не обязательно делать симметрично. Исходная карта Меркатора усечена на 80 ° северной широты и 66 ° южной широты, в результате чего европейские страны были перемещены к центру карты. Соотношение сторон его карты является198/120= 1,65. Были использованы еще более экстремальные усечения: финский школьный атлас был усечен примерно на 76 ° северной широты и 56 ° южной широты, с соотношением сторон 1,97.

Во многих веб-картах используется масштабируемая версия проекции Меркатора с соотношением сторон один. В этом случае достигнутая максимальная широта должна соответствовать y  = ±W/2, или эквивалентно y/р =  π . Для вычисления соответствующих широт можно использовать любую из формул обратного преобразования:

${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]=\tan ^{-1}\left[11.5487\right]=85.05113^{\circ }.}$

Коэффициент масштабирования [ править ]

Фигура сравнения элементов бесконечно малые на земном шаре и проекционных показывает , что при α = β треугольники PQM и P'Q'M 'подобны так , что масштабный коэффициент в произвольном направлении такое же , как и параллельно меридиану факторов масштаба:

${\displaystyle {\frac {\delta s'}{\delta s}}={\frac {P'Q'}{PQ}}={\frac {P'M'}{PM}}=k={\frac {P'K'}{PK}}=h=\sec \varphi .}$

Этот результат справедлив для произвольного направления: определение изотропии коэффициента точечного масштабирования. График показывает изменение масштабного коэффициента в зависимости от широты. Некоторые числовые значения перечислены ниже.

на широте 30 ° масштабный коэффициент   k  = сек 30 ° = 1,15,

на широте 45 ° масштабный коэффициент   k  = сек 45 ° = 1,41,

на широте 60 ° масштабный коэффициент   k  = сек 60 ° = 2,

на широте 80 ° масштабный коэффициент   k  = сек 80 ° = 5,76,

на широте 85 ° масштабный коэффициент   k  = сек 85 ° = 11,5

Для работы с проецируемой картой требуется масштабный коэффициент в терминах ординаты Меркатора y (если карта не имеет явного масштаба широты). Поскольку измерения линейки могут предоставить ординату карты y, а также ширину W карты, тогдаy/р = 2 πy/W а масштабный коэффициент определяется с использованием одной из альтернативных форм для форм обратного преобразования:

${\displaystyle k=\sec \varphi =\cosh \left({\frac {y}{R}}\right)=\cosh \left({\frac {2\pi y}{W}}\right).}$

Изменение широты иногда обозначается множеством гистограмм, как показано ниже и, например, в финском школьном атласе . Интерпретация таких шкал нетривиальна. См. Обсуждение формул расстояния ниже.

Масштаб площади [ править ]

Масштабный коэффициент площади является произведением параллельного и меридионального масштабов hk = sec ² φ . Для Гренландии, принимая 73 ° за медианную широту, hk = 11,7. Для Австралии, принимая 25 ° за медианную широту, hk = 1,2. Для Великобритании, принимая 55 ° за медианную широту, hk = 3,04.

Искажение [ править ]

Классический способ показать искажения, присущие проекции, - использовать индикатрису Tissot . Николя Тиссо отметил, что масштабные коэффициенты в точке на картографической проекции, обозначенные числами h и k , определяют эллипс в этой точке. Для цилиндрических проекций оси эллипса совмещены с меридианами и параллелями. ^{[17] [20] [e]} Для проекции Меркатора h  =  k , поэтому эллипсы вырождаются в круги с радиусом, пропорциональным значению масштабного коэффициента для этой широты. Эти круги отображаются на проецируемой карте с очень разными размерами, что указывает на вариации масштаба Меркатора.

Точность [ править ]

Одним из показателей точности карты является сравнение длины соответствующих линейных элементов на карте и глобусе. Следовательно, по построению проекция Меркатора совершенно точна, k  = 1, вдоль экватора и больше нигде. На широте ± 25 ° значение sec  φ составляет около 1,1, и поэтому проекция может считаться точной с точностью до 10% в полосе шириной 50 ° с центром на экваторе. Лучше использовать более узкие полосы: sec 8 ° = 1,01, поэтому полоса шириной 16 ° (с центром на экваторе) имеет точность в пределах 1% или 1 часть из 100. Точно так же sec 2,56 ° = 1,001, поэтому полоса шириной 5,12 °. (с центром на экваторе) с точностью до 0,1% или 1 часть из 1000. Таким образом, проекция Меркатора подходит для картографирования стран, расположенных близко к экватору.

Секущая проекция [ править ]

В секущей (в смысле разрезания) проекции Меркатора земной шар проецируется на цилиндр, который разрезает сферу по двум параллелям с широтой ± φ ₁ . Масштаб теперь соответствует этим широтам, тогда как параллели между этими широтами сокращаются проекцией, и их масштабный коэффициент должен быть меньше единицы. В результате отклонение шкалы от единицы уменьшается в более широком диапазоне широт.

Пример такой проекции:

${\displaystyle x=0.99R\lambda \qquad y=0.99R\ln \tan \!\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\qquad k\;=0.99\sec \varphi .}$

Масштаб на экваторе 0,99; масштаб k  = 1 на широте приблизительно ± 8 ° (значение φ ₁ ); масштаб k  = 1,01 на широте приблизительно ± 11,4 °. Следовательно, проекция имеет точность 1% на более широкой полосе в 22 ° по сравнению с 16 ° нормальной (касательной) проекции. Это стандартный метод расширения области, на которую проекция карты имеет заданную точность.

Обобщение на эллипсоид [ править ]

Когда Земля моделируется сфероидом ( эллипсоидом вращения), проекция Меркатора должна быть изменена, чтобы она оставалась конформной . Уравнения преобразования и масштабный коэффициент для несекущей версии: ^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\\y&=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}}$

Масштабный коэффициент равен единице на экваторе, как и должно быть, поскольку цилиндр касается эллипсоида на экваторе. Эллипсоидальная поправка масштабного коэффициента увеличивается с широтой, но никогда не превышает е ² , то есть поправка менее 1%. (Значение e ² составляет около 0,006 для всех опорных эллипсоидов.) Это намного меньше, чем погрешность масштаба, за исключением очень близкой к экватору области. Только точные проекции Меркатора областей вблизи экватора потребуют эллипсоидальных поправок.

Формулы расстояния [ править ]

Преобразование расстояния линейки на карте Меркатора в истинное расстояние ( большой круг ) на сфере выполняется просто вдоль экватора, но нигде больше. Одна проблема заключается в изменении масштаба в зависимости от широты, а другая заключается в том, что прямые линии на карте ( румбовые линии ), кроме меридианов или экватора, не соответствуют большим кругам.

Меркатор ясно понимал различие между расстоянием румба (парусным) и расстоянием по дуге (истинным). (См. Легенду 12 на карте 1569 года.) Он подчеркнул, что расстояние по прямой линии является приемлемым приближением для истинного расстояния по большому кругу для курсов на короткие или умеренные дистанции, особенно на низких широтах. Он даже количественно оценивает свое утверждение: «Когда расстояния большого круга, которые должны быть измерены вблизи экватора, не превышают 20 градусов большого круга, или 15 градусов возле Испании и Франции, или 8 и даже 10 градусов в северных частях. удобно использовать расстояния румба ".

Для линейного измерения короткой линии со средней точкой на широте  φ , где масштабный коэффициент равен k  = sec  φ  = 1/cos  φ:

Истинное расстояние = прямое расстояние ≅ линейное расстояние × cos  φ / RF. (короткие строки)

При радиусе и окружности большого круга, равных 6 371 км и 40 030 км соответственно, RF 1/300 млн, для которых R  = 2,12 см и W  = 13,34 см, подразумевает, что размер линейки 3 мм. в любом направлении от точки на экваторе соответствует примерно 900 км. Соответствующие расстояния для широт 20 °, 40 °, 60 ° и 80 ° составляют 846 км, 689 км, 450 км и 156 км соответственно.

Более длинные расстояния требуют разных подходов.

На экваторе [ править ]

Масштаб равен единице на экваторе (для несекущей проекции). Поэтому интерпретировать измерения линейки на экваторе просто:

Истинное расстояние = расстояние по линейке / RF (экватор)

Для указанной выше модели с RF = 1/300 млн, 1 см соответствует 3000 км.

О других параллелях [ править ]

На любой другой параллели масштабный коэффициент равен sec φ, так что

Параллельное расстояние = линейное расстояние × cos  φ / RF (параллельно).

Для приведенной выше модели 1 см соответствует 1500 км на широте 60 °.

Это не самое короткое расстояние между выбранными конечными точками параллели, потому что параллель не является большим кругом. Разница небольшая для малых расстояний, но увеличивается по мере увеличения λ , продольного расстояния. Для двух точек, A и B, разделенных на 10 ° долготы на параллели под углом 60 °, расстояние вдоль параллели примерно на 0,5 км больше, чем расстояние по большому кругу. (Расстояние AB вдоль параллели равно ( a  cos  φ )  λ . Длина хорды AB равна 2 ( a  cos  φ ) sin λ/2. Эта хорда образует в центре угол, равный 2arcsin (cos  φ  sin λ/2), а расстояние по большому кругу между A и B равно 2 a  arcsin (cos  φ  sin λ/2).) В крайнем случае, когда продольное разделение составляет 180 °, расстояние вдоль параллели составляет половину окружности этой параллели; т.е. 10 007,5 км. С другой стороны, геодезическая между этими точками представляет собой дугу большого круга, проходящую через полюс с углом 60 ° в центре: длина этой дуги составляет одну шестую длины окружности большого круга, около 6 672 км. Разница составляет 3338 км, поэтому расстояние по линейке, измеренное по карте, вводит в заблуждение даже после поправки на широтное изменение масштабного коэффициента.

На меридиане [ править ]

Меридиан карты - это большой круг на земном шаре, но непрерывное изменение масштаба означает, что одно только линейное измерение не может определить истинное расстояние между удаленными точками на меридиане. Однако, если на карте нанесена точная шкала широты с мелкими интервалами, по которой широта может быть считана непосредственно - как в случае карты мира Меркатора 1569 (листы 3, 9, 15) и всех последующих морских карт - меридиан расстояние между двумя широтами φ ₁ и φ ₂ просто

${\displaystyle m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.}$

Если широты конечных точек не могут быть определены с уверенностью, их можно найти, вычислив расстояние по линейке. Называя линейные расстояния до конечных точек на меридиане карты, измеренные от экватора y ₁ и y ₂ , истинное расстояние между этими точками на сфере определяется с помощью любой из обратной формулы Меркатора:

${\displaystyle m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,}$

где R можно рассчитать исходя из ширины W карты по формуле R  = W/2 π. Например, на карте с R  = 1 значения y  = 0, 1, 2, 3 соответствуют широте φ  = 0 °, 50 °, 75 °, 84 ° и, следовательно, последовательные интервалы в 1 см на карте. соответствуют интервалам широты на земном шаре в 50 °, 25 °, 9 ° и расстояниям 5 560 км, 2 780 км и 1 000 км на Земле.

На румбе [ править ]

Прямая линия на карте Меркатора под углом α к меридианам - это прямая линия . Когда α  = π/2 или же 3 π/2румб соответствует одной из параллелей; только один, экватор, представляет собой большой круг. Когда α  = 0 или π, это соответствует меридиональному большому кругу (если продолжается вокруг Земли). Для всех других значений это спираль от полюса к полюсу на земном шаре, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, и, следовательно, не является большим кругом. ^{[19] В} этом разделе обсуждается только последний из этих случаев.

Если α не равно ни 0, ни π, то приведенный выше рисунок бесконечно малых элементов показывает, что длина бесконечно малой прямой прямой линии на сфере между широтами φ ; и φ  +  бф является  сек  & alpha ; бф . Поскольку α является постоянным для румба, это выражение можно проинтегрировать, чтобы получить для конечных строк румба на Земле: 

${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .}$

Еще раз, если Δ φ может быть считано непосредственно с точной шкалы широты на карте, то прямое расстояние между точками карты с широтами φ ₁ и φ ₂ определяется приведенным выше. Если такой шкалы нет, то линейные расстояния между конечными точками и экватором, y ₁ и y ₂ , дают результат по обратной формуле:

${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \left|\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)-\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right|.}$

Эти формулы дают приблизительные расстояния на сфере, которые могут сильно отличаться от истинных расстояний, определение которых требует более сложных вычислений. ^[f]

См. Также [ править ]

• Картография
• Центральная цилиндрическая проекция - более искаженная; иногда ошибочно описывается как метод построения проекции Меркатора
• Конформная картографическая проекция
• Равнопрямоугольная проекция - меньше искажений, но не равная площадь
• Проекция Галла – Петерса - равновеликая цилиндрическая проекция.
• Иордания поперек Меркатора
• Список картографических проекций
• Карта мира Меркатор 1569
• Морская карта
• Сеть Rhumbline
• Индикатриса Тиссо
• Поперечная проекция Меркатора
• Универсальная поперечная система координат Меркатора

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Малинг, Дерек Хилтон (1992), Системы координат и картографические проекции (второе издание), Pergamon Press, ISBN 0-08-037233-3.
• Монмонье, Марк (2004), Rhumb Lines и Map Wars: A Social History of the Mercator Projection (Hardcover ed.), Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-53431-6
• Olver, FWJ; Lozier, DW; Бойсверт, РФ; и др., ред. (2010), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press
• Osborne, Питер (2013), Меркатор Проекция , DOI : 10,5281 / zenodo.35392 . (Дополнения: Maxima файлы и латексные код и цифры )
• Снайдер, Джон П. (1993), Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций , University of Chicago Press, ISBN 0-226-76747-7
• Снайдер, Джон П. (1987), Картографические проекции - рабочее руководство. US Geological Survey Professional Paper 1395 , Типография правительства США, Вашингтон, округ КолумбияЭтот документ можно скачать со страниц Геологической службы США. Он дает полную информацию о большинстве прогнозов вместе с интересными вводными разделами, но он не выводит какие-либо прогнозы из первых принципов.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Rapp, Richard H (1991), Геометрическая Геодезия, часть I , ЛВП : 1811/24333

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с проекциями Меркатора .

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam - содержит изображения высокого разрешения карты мира Меркатора 1569 года.
• Таблица с примерами и свойствами всех распространенных проекций , с сайта radicartography.net.
• Интерактивный Java-апплет для изучения метрических деформаций проекции Меркатора .
• Web Mercator: Non-Conformal, Non-Mercator (Ноэль Зинн, Hydrometronics LLC)
• Проекция Меркатора в Университете Британской Колумбии
• Координаты Google Maps