Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В теории чисел , то функция Мертенс определена для всех положительных целых чисел п , как
где μ (k) - функция Мёбиуса . Функция названа в честь Франца Мертенса . Это определение может быть расширено до положительных действительных чисел следующим образом:
Менее формально это подсчет целых чисел без квадратов до x, которые имеют четное количество простых множителей, за вычетом количества тех, которые имеют нечетное число.
Первые 143 M ( n ): (последовательность A002321 в OEIS )
М ( п ) | +0 | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 | +10 | +11 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0+ | 1 | 0 | −1 | −1 | −2 | −1 | −2 | −2 | −2 | −1 | −2 | |
12+ | −2 | −3 | −2 | −1 | −1 | −2 | −2 | −3 | −3 | −2 | −1 | −2 |
24+ | −2 | −2 | −1 | −1 | −1 | −2 | −3 | −4 | −4 | −3 | −2 | −1 |
36+ | −1 | −2 | −1 | 0 | 0 | −1 | −2 | −3 | −3 | −3 | −2 | −3 |
48+ | −3 | −3 | −3 | −2 | −2 | −3 | −3 | −2 | −2 | −1 | 0 | −1 |
60+ | −1 | −2 | −1 | −1 | −1 | 0 | −1 | −2 | −2 | −1 | −2 | −3 |
72+ | −3 | −4 | −3 | −3 | −3 | −2 | −3 | −4 | −4 | −4 | −3 | −4 |
84+ | −4 | −3 | −2 | −1 | −1 | −2 | −2 | −1 | −1 | 0 | 1 | 2 |
96+ | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | −1 | −2 | −2 | −3 | −2 | −3 |
108+ | −3 | −4 | −5 | −4 | −4 | −5 | −6 | −5 | −5 | −5 | −4 | −3 |
120+ | −3 | −3 | −2 | −1 | −1 | −1 | −1 | −2 | −2 | −1 | −2 | −3 |
132+ | −3 | −2 | −1 | −1 | −1 | −2 | −3 | −4 | −4 | −3 | −2 | −1 |
Функция Мертенса медленно растет в положительном и отрицательном направлениях как в среднем, так и в пиковом значении, колеблясь очевидно хаотическим образом, проходя через ноль, когда n имеет значения
- 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (последовательность A028442 в OEIS ).
Поскольку функция Мёбиуса принимает только значения −1, 0 и +1, функция Мертенса движется медленно и не существует x такого, что | M ( x ) | > х . Гипотеза Мертенса пошла дальше, заявив, что не будет x, где абсолютное значение функции Мертенса превышает квадратный корень из x . Гипотеза Мертенса была доказана в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риле . Однако гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M ( x ), а именно M ( x ) =О ( х 1/2 + ε ). Поскольку высокие значения M ( x ) растут по крайней мере так же быстро, как , это накладывает довольно жесткие ограничения на скорость его роста. Здесь O относится к Big O нотации .
Истинная скорость роста M ( x ) неизвестна. Неопубликованная гипотеза Стива Гонека гласит, что
Вероятное свидетельство этой гипотезы дает Натан Нг. [1] В частности, Ng дает условное доказательство того, что функция имеет предельное распределение на . То есть для всех ограниченных липшицевых функций на вещественных числах имеем
Представления [ править ]
Как неотъемлемая часть [ править ]
Этот раздел может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( |
Используя произведение Эйлера, обнаруживаем, что
где - дзета-функция Римана, а произведение берется по простым числам. Затем, используя этот ряд Дирихле с формулой Перрона , получаем:
где c > 1.
Наоборот, есть преобразование Меллина
что справедливо для .
Любопытное соотношение, приведенное самим Мертенсом для второй функции Чебышева, имеет вид
Предполагая, что дзета-функция Римана не имеет кратных нетривиальных нулей, мы получаем "точную формулу" по теореме о вычетах :
Вейль предположил, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению
где H ( x ) - ступенчатая функция Хевисайда , B - числа Бернулли, а все производные по t вычисляются при t = 0.
Существует также формула следа, включающая сумму по функции Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в виде
где первая сумма в правой части берется по нетривиальным нулям дзета-функции Римана, а ( g , h ) связаны преобразованием Фурье таким образом, что
В виде суммы по последовательностям Фэри [ править ]
Другая формула для функции Мертенса:
- где - последовательность Фарея порядка n .
Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля – Ландау . [2]
Как определяющий [ править ]
М ( п ) является определяющим фактором в п × п матрица редхеффера , в (0,1) матрицы , в которой IJ равен 1 , если либо J = 1 или я делит J .
Как сумма количества точек под n-мерными гиперболоидами [ необходима ссылка ] [ править ]
Эта формулировка, расширяющая функцию Мертенса, предлагает асимптотические оценки, полученные при рассмотрении проблемы делителей Пильца, которая обобщает проблему делителей Дирихле для вычисления асимптотических оценок сумматорной функции функции делителей .
Расчет [ править ]
Ни один из упомянутых ранее методов не приводит к практическим алгоритмам вычисления функции Мертенса. Используя методы сита, подобные тем, которые используются при подсчете простых чисел, функция Мертенса была вычислена для всех целых чисел вплоть до возрастающего диапазона x . [3] [4]
Человек | Год | Предел |
Мертенс | 1897 г. | 10 4 |
фон Стернек | 1897 г. | 1,5 × 10 5 |
фон Стернек | 1901 г. | 5 × 10 5 |
фон Стернек | 1912 г. | 5 × 10 6 |
Neubauer | 1963 г. | 10 8 |
Коэн и платье | 1979 г. | 7,8 × 10 9 |
Платье | 1993 г. | 10 12 |
Лиоэн и ван де Люн | 1994 г. | 10 13 |
Котник и ван де Люн | 2003 г. | 10 14 |
Hurst | 2016 г. | 10 16 |
Функция Мертенса для всех целочисленных значений до x может быть вычислена за время O (x log log x) . Комбинаторные алгоритмы могут вычислять изолированные значения M (x) за время O (x 2/3 (log log x) 1/3 ) , также известны более быстрые некомбинаторные методы. [5]
См. OEIS : A084237 для значений M ( x ) при степени 10.
Известные верхние границы [ править ]
Нг отмечает, что гипотеза Римана (RH) эквивалентна
для некоторой положительной константы . Другие верхние границы были получены Майером, Монтгомери и Саундараджаном, предполагая, что RH включает
Другие явные оценки сверху даны Котником как
См. Также [ править ]
- Формула Перрона
- Функция Лиувилля
Заметки [ править ]
- ^ Ng
- ^ Эдвардс, гл. 12,2
- ^ Котник, Тадей; ван де Люн, янв (ноябрь 2003 г.). «Дальнейшие систематические вычисления сумматорной функции функции Мебиуса». MAS-R0313 .
- ^ Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].
- ^ Риват, Joöl; Делеглиз, Марк (1996). «Вычисление суммы функции Мёбиуса» . Экспериментальная математика . 5 (4): 291–295. ISSN 1944-950X .
Ссылки [ править ]
- Эдвардс, Гарольд (1974). Дзета-функция Римана . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-41740-9.
- Мертенс, Ф. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion ", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Kleine Sitzungsber, IIa . 106 : 761–830.
- Одлызко AM ; те Риле, Герман (1985). «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 357 : 138–160.
- Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мертенса» . MathWorld .
- Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- Делеглиз, М. и Риват, Дж. «Вычисление суммирования функции Мёбиуса». Экспериментируйте. Математика. 5, 291-295, 1996. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
- Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].
- Натан Нг, "Распределение сумматорной функции функции Мебиуса", Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf