Принцип Кавальери

Две стопки британских монет одинакового объема, иллюстрирующие принцип Кавальери в трех измерениях

В геометрии , метод неделимый , современная реализация методы неделимых , названной в честь Бонавентуры Кавальери , выглядит следующим образом : ^[1]

Двумерный случай : предположим, что две области на плоскости включены между двумя параллельными линиями в этой плоскости. Если каждая линия, параллельная этим двум линиям, пересекает обе области линейными сегментами одинаковой длины, то две области имеют равные площади.
Трехмерный случай : предположим, что две области в трехмерном пространстве (твердые тела) включены между двумя параллельными плоскостями. Если каждая плоскость, параллельная этим двум плоскостям, пересекает обе области в поперечных сечениях равной площади, то две области имеют равные объемы.

Сегодня принцип Кавальери рассматривается как ранний шаг к интегральному исчислению , и, хотя он используется в некоторых формах, таких как его обобщение в теореме Фубини , результаты, использующие принцип Кавальери, часто могут быть показаны более непосредственно через интегрирование. С другой стороны, принцип Кавальери вырос из древнегреческого метода исчерпания , который использовал пределы, но не использовал бесконечно малые величины .

История [ править ]

Бонавентура Кавальери , математик, в честь которого назван принцип.

Первоначально принцип Кавальери назывался методом неделимых, под этим именем он был известен в Европе эпохи Возрождения . Кавальери разработал полную теорию неделимых, разработанную в его Geometria indivisibilibus continorum nova quadam ratione promota ( Геометрия, продвинутая на новый путь неделимыми континуумами , 1635) и его Exercitationes geometryae sex ( Шесть геометрических упражнений , 1647). ^[2] Хотя работа Кавальери установила этот принцип, в своих публикациях он отрицал, что континуум состоит из неделимых элементов, чтобы избежать связанных с этим парадоксов и религиозных противоречий, и не использовал его для поиска ранее неизвестных результатов. ^[3]

В III веке до нашей эры Архимед , используя метод, напоминающий принцип Кавальери, ^[4] смог найти объем сферы по объемам конуса и цилиндра в своей работе «Метод механических теорем» . В V веке нашей эры Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи разработали аналогичный метод определения объема сферы. ^[5] Переход от неделимой Кавальери к Торричелли «s и Джон Уоллис » s инфинитезималею был важный шаг вперед в истории исчисления . Неделимые были сущностями коразмерности.1, так что плоская фигура представлялась состоящей из бесконечного числа одномерных линий. Между тем бесконечно малые были объектами того же измерения, что и фигура, которую они составляют; таким образом, плоская фигура будет состоять из «параллелограммов» бесконечно малой ширины. Применив формулу суммы арифметической прогрессии, Уоллис вычислил площадь треугольника, разделив его на бесконечно малые параллелограммы шириной 1 / ∞.

Примеры [ править ]

Сферы [ править ]

Поперечное сечение сферы в форме диска имеет такую же площадь, как и поперечное сечение в форме кольца той части цилиндра, которая находится вне конуса.

Если кто-то знает, что объем конуса равен , то можно использовать принцип Кавальери, чтобы вывести тот факт, что объем сферы равен , где - радиус. ${\ textstyle {\ frac {1} {3}} \ left ({\ text {base}} \ times {\ text {height}} \ right)}$ ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$ ${\ displaystyle r}$

Это делается следующим образом: Рассмотрим сферу радиуса и цилиндр радиуса и высоты . Внутри цилиндра находится конус, вершина которого находится в центре одного основания цилиндра, а основание - другое основание цилиндра. По теореме Пифагора , плоскость, расположенная на единицы выше «экватора», пересекает сферу по кругу радиуса и площади . Площадь пересечения плоскости с той частью цилиндра, которая находится вне конуса, также равна . Как видим, площадь каждого пересечения окружности с горизонтальной плоскостью, находящейся на любой высоте ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ textstyle {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ pi \ left (r ^ {2} -y ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle \ pi \ left (r ^ {2} -y ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle y}$ равна площади пересечения плоскости с той частью цилиндра, которая находится «вне» конуса; таким образом, применяя принцип Кавальери, мы могли бы сказать, что объем полусферы равен объему той части цилиндра, которая находится «вне» конуса. Вышеупомянутый объем конуса равен объему цилиндра, поэтому объем за пределами конуса является объемом цилиндра. Следовательно, объем верхней половины сферы равен объему цилиндра. Объем цилиндра ${\ textstyle {\ frac {1} {3}}}$ ${\ textstyle {\ frac {2} {3}}}$ ${\ textstyle {\ frac {2} {3}}}$

{\ displaystyle {\ text {base}} \ times {\ text {height}} = \ pi r ^ {2} \ cdot r = \ pi r ^ {3}}

(«База» в единицах площади ; «высота» в единицах расстояния . Площадь × расстояние = объем .)

Следовательно, объем верхней полусферы равен, а объем всей сферы равен . ${\ textstyle {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3}}$ ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$

Конусы и пирамиды [ править ]

Тот факт, что объем любой пирамиды , независимо от формы основания, будь то круглый, как в случае конуса, или квадрат, как в случае египетских пирамид, или любой другой формы, составляет (1/3) × база × высота, может быть установлена по принципу Кавальери, если известно только то, что это верно в одном случае. Первоначально это можно установить в одном случае, разделив внутренность треугольной призмы на три пирамидальных компонента равных объемов. Равенство этих трех томов можно показать с помощью принципа Кавальери.

Фактически, принцип Кавальери или аналогичный аргумент бесконечно малых необходим для вычисления объема конусов и даже пирамид, что по сути является содержанием третьей проблемы Гильберта - многогранные пирамиды и конусы не могут быть разрезаны и преобразованы в стандартную форму, а вместо этого должны сравниваться бесконечными (бесконечно малыми) средствами. Древние греки использовали различные методы-предшественники, такие как механические аргументы Архимеда или метод исчерпания, для вычисления этих объемов.

Проблема с кольцом для салфеток [ править ]

Если отверстие высотой h просверлить прямо через центр сферы, объем оставшейся полосы не будет зависеть от размера сферы. Для большей сферы полоса будет тоньше, но длиннее.

В том, что называется проблемой кольца для салфеток , по принципу Кавальери показано, что когда отверстие просверливается прямо через центр сферы, где оставшаяся полоса имеет высоту h , объем оставшегося материала неожиданно не зависит от размера сфера. Поперечное сечение оставшегося кольца представляет собой плоское кольцо, площадь которого равна разнице площадей двух окружностей. По теореме Пифагора площадь одной из двух окружностей равна π, умноженному на r ² - y ² , где r - радиус сферы, y - расстояние от плоскости экватора до плоскости отсечения, а площадь другой окружности равна πраз r ² - ( h / 2) ² . Когда они вычитаются, r ² отменяется; отсюда отсутствие зависимости итогового ответа от r .

Циклоиды [ править ]

Горизонтальное поперечное сечение области, ограниченной двумя циклоидальными дугами, очерченными точкой на той же окружности, катящейся в одном случае по часовой стрелке по линии под ней, а в другом - против часовой стрелки по линии над ней, имеет ту же длину, что и соответствующий горизонтальное сечение круга.

Н. Рид показал ^[6], как найти площадь, ограниченную циклоидой , используя принцип Кавальери. Круг радиуса rможет катиться по часовой стрелке по линии под ним или против часовой стрелки по линии над ним. Таким образом, точка на окружности очерчивает две циклоиды. Когда круг прокручивается на определенное расстояние, угол, на который он повернулся бы по часовой стрелке, и угол, на который он повернулся бы против часовой стрелки, одинаковы. Таким образом, две точки, обозначающие циклоиды, находятся на одинаковой высоте. Линия, проходящая через них, поэтому горизонтальна (т. Е. Параллельна двум линиям, по которым катится круг). Следовательно, каждое горизонтальное поперечное сечение круга имеет ту же длину, что и соответствующее горизонтальное поперечное сечение области, ограниченной двумя дугами цилоидов. По принципу Кавальери, круг имеет такую же площадь, что и эта область.

Рассмотрим прямоугольник, ограничивающий одну циклоидную арку. По определению циклоиды, она имеет ширину $2π r$ и высоту $2 r.$ , поэтому его площадь в четыре раза больше площади круга. Вычислите площадь внутри этого прямоугольника, который лежит над циклоидной аркой, разделив прямоугольник пополам в средней точке, где арка пересекает прямоугольник, поверните одну часть на 180 ° и наложите на нее другую половину прямоугольника. Новый прямоугольник, площадь которого вдвое больше, чем у круга, состоит из области «линзы» между двумя циклоидами, площадь которой, как было вычислено выше, совпадает с площадью круга, и двух областей, образующих область над циклоидной аркой. в исходном прямоугольнике. Таким образом, площадь, ограниченная прямоугольником над единственной полной аркой циклоиды, имеет площадь, равную площади круга, и поэтому площадь, ограниченная аркой, в три раза больше площади круга.

См. Также [ править ]

Теорема Фубини (принцип Кавальери - частный случай теоремы Фубини)

Ссылки [ править ]

^ Ховард Ивс, «Две удивительные теоремы о конгруэнтности Кавальери», The College Mathematics Journal , том 22, номер 2, март, 1991), страницы 118–124
^ Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение (2-е изд.), Addison-Wesley, p. 477.
^ Александр, Амир (2015). Бесконечно малое: как опасная математическая теория сформировала современный мир . Великобритания: Oneworld. С. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.
^ "Утерянный метод Архимеда" . Британская энциклопедия .
^ Зилл, Деннис G .; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: Ранние трансцендентальные (3-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение . п. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. Отрывок страницы 27
^ Н. Рид, " Элементарное доказательство площади под циклоидой", Mathematical Gazette , том 70, номер 454, декабрь 1986 г., страницы 290–291

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Кавальери» . MathWorld .
(на немецком языке) Prinzip von Cavalieri
Cavalieri интеграции

[1] Ховард Ивс, «Две удивительные теоремы о конгруэнтности Кавальери», The College Mathematics Journal , том 22, номер 2, март, 1991), страницы 118–124

[2] Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение (2-е изд.), Addison-Wesley, p. 477.

[3] Александр, Амир (2015). Бесконечно малое: как опасная математическая теория сформировала современный мир . Великобритания: Oneworld. С. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.

[4] "Утерянный метод Архимеда" . Британская энциклопедия .

[5] Зилл, Деннис G .; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: Ранние трансцендентальные (3-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение . п. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. Отрывок страницы 27

[6] Н. Рид, " Элементарное доказательство площади под циклоидой", Mathematical Gazette , том 70, номер 454, декабрь 1986 г., страницы 290–291

[1]

vтеБесконечно малые
История	Адекватность Обозначения Лейбница Интегральный символ Критика нестандартного анализа Аналитик Метод механических теорем Принцип Кавальери Метод неделимых
Связанные отрасли	Нестандартный анализ Нестандартное исчисление Теория внутреннего множества Синтетическая дифференциальная геометрия Гладкий анализ бесконечно малых Конструктивный нестандартный анализ Теория бесконечно малых деформаций (физика)
Формализации	Дифференциалы Гиперреальные числа Двойные числа Сюрреалистические числа
Индивидуальные концепции	Стандартная функция детали Принцип передачи Hyperinteger Теорема об увеличении Монада Внутренний набор Поле Леви-Чивита Сверхконечное множество Закон непрерывности Переполнение Микропрерывность Трансцендентный закон однородности
Математики	Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон Пьер де Ферма Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер
Учебники	Анализируйте des Infiniment Petits Элементарное исчисление Cours d'Analyse