Метод линий (MOL, нмоль, NUMOL [1] [2] [3] ) представляет собой метод для решения дифференциальных уравнений (СИЕ) , в котором все , кроме одного измерения дискретизируются. MOL позволяет использовать стандартные универсальные методы и программное обеспечение, разработанные для численного интегрирования ODE и DAE. Многие процедуры интеграции были разработаны на протяжении многих лет на разных языках программирования, а некоторые были опубликованы как ресурсы с открытым исходным кодом . [4]
Метод линий чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений с частными производными, который осуществляется сначала путем дискретизации только пространственных производных и оставления временной переменной непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой может быть применен численный метод для обыкновенных уравнений начального значения. Метод линий в этом контексте восходит как минимум к началу 1960-х годов. [5] С тех пор появилось много работ, в которых обсуждается точность и устойчивость метода прямых для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных. [6] [7]
Приложение к эллиптическим уравнениям [ править ]
MOL требует, чтобы задача PDE была правильно сформулирована как задача начального значения ( Коши ) по крайней мере в одном измерении, потому что интеграторы ODE и DAE являются решателями задачи начального значения (IVP). Таким образом, его нельзя использовать непосредственно в чисто эллиптических уравнениях в частных производных , таких как уравнение Лапласа . Однако MOL использовался для решения уравнения Лапласа с использованием метода ложных переходных процессов . [1] [8] В этом методе производная зависимой переменной по времени добавляется к уравнению Лапласа. Затем конечные разности используются для аппроксимации пространственных производных, и полученная система уравнений решается с помощью MOL. Также можно решать эллиптические задачи с помощьюполуаналитический метод линий . [9] В этом методе процесс дискретизации приводит к набору ОДУ, которые решаются путем использования свойств связанной экспоненциальной матрицы.
Недавно для преодоления проблем устойчивости, связанных с методом ложных переходных процессов, был предложен метод возмущений, который оказался более устойчивым, чем стандартный метод ложных переходных процессов для широкого диапазона эллиптических УЧП. [10]
Ссылки [ править ]
- ^ a b Schiesser, WE (1991). Численный метод прямых . Академическая пресса. ISBN 0-12-624130-9.
- ^ Хамди, S .; WE Schiesser; GW Гриффитс (2007), "Метод линий", Scholarpedia , 2 (7): 2859, DOI : 10,4249 / scholarpedia.2859
- ^ Schiesser, WE; GW Griffiths (2009). Сборник моделей дифференциальных уравнений в частных производных: метод анализа прямых с помощью Matlab . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-51986-1.
- ^ Ли, HJ; WE Schiesser (2004). Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения в C, C ++, Fortran, Java, Maple и Matlab . CRC Press. ISBN 1-58488-423-1.
- ^ EN Сармин; Л.А. Чудов (1963), «Об устойчивости численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при использовании метода прямых», Вычислительная математика и математическая физика СССР , 3 (6): 1537–1543, doi : 10.1016 / 0041-5553 (63) 90256-8
- ^ А. Зафарулла (1970), «Применение метода прямых к параболическим дифференциальным уравнениям с частными оценками ошибок», журнал Ассоциации по вычислительной технике , 17 (2), стр 294-302,. Дои : 10,1145 / 321574,321583
- ^ JG Verwer; JM Sanz-Serna (1984), "Сходимость метода аппроксимации линий к уравнениям в частных производных" , Вычислительная техника , 33 (3–4): 297–313, doi : 10.1007 / bf02242274
- ^ Schiesser, WE (1994). Вычислительная математика в инженерии и прикладных науках: ODE, DAE и PDE . CRC Press. ISBN 0-8493-7373-5.
- ^ Subramanian, VR; RE White (2004), "Полуаналитический метод линий для решения эллиптических уравнений в частных производных", Chemical Engineering Science , 59 (4): 781–788, doi : 10.1016 / j.ces.2003.10.019
- ^ PWC Northrop; П.А. Рамачандран; WE Schiesser; В.Р. Субраманиан (2013), "Робастный метод прямых с ложными переходными процессами для эллиптических уравнений с частными производными", Chem. Англ. Sci. , 90 , стр 32-39,. DOI : 10.1016 / j.ces.2012.11.033
Внешние ссылки [ править ]
- Ложный переходный метод линий - пример кода
- Численный метод линий
 | В Викибуке Уравнения в частных производных есть страница по теме: Метод линий |
