Модульная форма

В математике , А модулярная форма является (комплексной) аналитической функцией на верхнюю полуплоскость , удовлетворяющей определенный вид функционального уравнения относительно действие группы из модульной группы , а также удовлетворяющее условие роста. Таким образом, теория модульных форм относится к комплексному анализу, но основное значение этой теории традиционно было связано с теорией чисел . Модульные формы появляются в других областях, таких как алгебраическая топология , упаковка сфер и теория струн .

Модульная функция является функцией , которая, как и модульной форма, инвариантна относительно модулярной группы, но без условия , что е  ( г ) будет голоморфным в верхней полуплоскости. Вместо этого модульные функции мероморфны (т. Е. Почти голоморфны, за исключением набора изолированных точек).

Теория модулярных форм - это частный случай более общей теории автоморфных форм , и поэтому теперь ее можно рассматривать как наиболее конкретную часть богатой теории дискретных групп .

Общее определение модульных форм [ править ]

В общем, ^[1] дана подгруппа из конечного индекса , называется арифметической группа , в модульную форме уровня и весом является голоморфной функцией от верхней полуплоскости такой , что следующие два условия:${\ displaystyle \ Gamma \ subset {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {H}} \ to \ mathbb {C}}$

1. ( условие автоморфности ) Для любого имеет место равенство${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$${\ Displaystyle е (\ гамма (z)) = (cz + d) ^ {k} f (z)}$

2. ( условие роста ) Для любого функция ограничена при${\ displaystyle \ gamma \ in {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle (cz + d) ^ {- к} е (\ гамма (г))}$${\ Displaystyle {\ текст {им}} (г) \ к \ infty}$

куда:

${\ displaystyle \ gamma = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ in \ Gamma \ subset {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

Кроме того, она называется куспидом, если удовлетворяет следующему условию роста:

3. ( условие возврата ) Для любой функции как${\ displaystyle \ gamma \ in {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle (cz + d) ^ {- к} е (\ гамма (г)) \ к 0}$${\ Displaystyle {\ текст {им}} (г) \ к \ infty}$

Как разделы линейного пакета [ править ]

Модульные формы также можно интерпретировать как участки определенных линейных пакетов на модульных разновидностях . Для модульной формы уровень и вес можно определить как элемент${\ displaystyle \ Gamma \ subset {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle f \ in H ^ {0} (X _ {\ Gamma}, \ omega ^ {\ otimes k}) = M_ {k} (\ Gamma)}$

где - каноническое линейное расслоение на модулярной кривой${\ displaystyle \ omega}$

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))}$

Размерности этих пространств модулярных форм можно вычислить с помощью теоремы Римана – Роха . ^[2] Классические модульные формы для представляют собой сечения линейного расслоения на стеке модулей эллиптических кривых .${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Модульные формы для SL (2, Z) [ править ]

Стандартное определение [ править ]

Модульная форма веса k для модулярной группы

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

является комплекснозначной функцией f на верхней полуплоскости H = { z ∈ C , Im ( z )> 0}, удовлетворяющей следующим трем условиям:   

1.  е  является голоморфной функцией на H .
2. Для любого z ∈ H и любой матрицы из SL (2, Z ), как указано выше, мы имеем:

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3.   Требуется, чтобы f была голоморфной при z → i ∞ .

Примечания:

• Вес k обычно является положительным целым числом.
• При нечетном k второму условию может удовлетворять только нулевая функция.
• Третье условие также сформулировано следующим образом: f «голоморфна в точке возврата», терминология поясняется ниже.  
• Второе условие для

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

читает

${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

соответственно. Поскольку S и T порождают модулярную группу SL (2, Z ) , второе приведенное выше условие эквивалентно этим двум уравнениям.

• Поскольку f  ( z + 1) =   f  ( z ) , модулярные формы являются периодическими функциями с периодом 1 и, следовательно, имеют ряд Фурье . 

Определение в терминах решеток или эллиптических кривых [ править ]

Модульную форму можно эквивалентно определить как функцию F от множества решеток в C до множества комплексных чисел, удовлетворяющих определенным условиям:

1. Если мы рассмотрим решетку Λ = Z α + Z г порождается постоянная альфа и переменным г , то F (X) является аналитической функцией от г .
2. Если α - ненулевое комплексное число, а α Λ - решетка, полученная умножением каждого элемента Λ на α , то F ( α Λ) = α ^{- k} F (Λ), где k - постоянная (обычно положительное целое число) называется весом формы.
3. Абсолютное значение из F (Λ) остается ограниченным сверху до тех пор , как абсолютное значение наименьшего ненулевого элемента в Л отделено от 0.

Ключевая идея в доказательстве эквивалентности двух определений является то , что такой функцией F определяется, из второго условия, своих значениями на решетках вида Z + Z т , где т ∈ H .

Примеры [ править ]

Серия Эйзенштейна [ править ]

Самыми простыми примерами с этой точки зрения являются серии Эйзенштейна . Для каждого четного целого числа k > 2 определим E _k (Λ) как сумму λ ^{- k} по всем ненулевым векторам λ из Λ :

${\displaystyle E_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

Тогда E _k - модулярная форма веса k .

Для Λ = Z + Z τ имеем

${\displaystyle E_{k}(\Lambda )=E_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}E_{k}(\tau )\\E_{k}(\tau +1)&=E_{k}(\tau )\end{aligned}}}$.

Условие k > 2 необходимо для сходимости ; для нечетных k существует сокращение между λ ^{- k} и (- λ ) ^{- k} , так что такие ряды тождественно равны нулю.

Тэта-функции четных унимодулярных решеток [ править ]

Даже унимодулярная решетка L в R ^п является решеткой , порожденной п векторами , образующих столбцы матрицы определителя 1 и удовлетворяющих условию , что квадрат длины каждого вектора в L является четным числом. Так называемая тета-функция

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

сходится, когда Im (z)> 0, и, как следствие формулы суммирования Пуассона, можно показать, что это модулярная форма веса n / 2 . Не так просто построить четные унимодулярные решетки, но вот один способ: пусть n будет целым числом, делящимся на 8, и рассмотрим все векторы v в R ⁿ такие, что 2 v имеет целые координаты, все четные или все нечетные, и такие что сумма координат v - четное целое число. Назовем эту решетку L _n . Когда n = 8 , это решетка, порожденная корнями в корневой системе, которая называетсяЕ 8 . Поскольку существует только одна модульная форма веса 8 с точностью до скалярного умножения,

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

хотя решетки L ₈ × L ₈ и L ₁₆ не похожи. Джон Милнор заметил, что 16-мерные торы, полученные делением R ¹⁶ на эти две решетки, следовательно, являются примерами компактных римановых многообразий, которые изоспектральны, но не изометричны (см. Слушание формы барабана ).

Модульный дискриминант [ править ]

Эта функция Дедекинда определяется как

${\displaystyle \eta (z)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

где q называется номом . Тогда модульный дискриминант Δ ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ является модульной формой веса 12. Наличие 24 связано с тем, что решетка Лича имеет 24 измерения. Знаменитая гипотеза о Рамануджане утверждал , что , когда Δ ( г ) разлагается в ряд по степеням д, коэффициент д ^р для любого простого р имеет абсолютное значение ≤ 2 р ^11/2. Это было подтверждено работой Эйхлера, Шимуры, Куги, Ихары и Пьера Делиня в результате доказательства Делиня гипотез Вейля , которые, как было показано, подразумевают гипотезу Рамануджана.

Второй и третий примеры дают некоторое представление о связи между модулярными формами и классическими вопросами теории чисел, такими как представление целых чисел квадратичными формами и статистической суммой . Решающая концептуальная связь между модулярными формами и теорией чисел обеспечивается теорией операторов Гекке , которая также обеспечивает связь между теорией модулярных форм и теорией представлений .

Модульные функции [ править ]

Когда вес k равен нулю, с помощью теоремы Лиувилля можно показать , что единственные модулярные формы являются постоянными функциями. Однако ослабление требования голоморфности f приводит к понятию модулярных функций . Функция f  : H → C называется модульной, если она удовлетворяет следующим свойствам:

1. е является мероморфны в открытой верхней полуплоскости H .
2. Для любого натурального числа матрицы в модулярной группы Г , .${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$
3. Как указывалось выше, второе условие означает, что f периодичен и, следовательно, имеет ряд Фурье . Третье условие - этот ряд имеет вид

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

Часто его записывают в виде (квадрата нома ):${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Это также называется q -разложением f . Коэффициенты известны как коэффициенты Фурье функции f , а число m называется порядком полюса функции f в точке i∞. Это условие называется «мероморфным в точке возврата», что означает, что только конечное число отрицательных n коэффициентов не равны нулю, поэтому q -расширение ограничено снизу, что гарантирует его мероморфность при q  = 0.  ^[3]${\displaystyle a_{n}}$

Другой способ сформулировать определение модулярных функций - использовать эллиптические кривые : каждая решетка Λ определяет эллиптическую кривую C / Λ над C ; две решетки определяют изоморфные эллиптические кривые тогда и только тогда, когда одна получается из другой умножением на некоторое ненулевое комплексное число α . Таким образом, модулярная функция также может рассматриваться как мероморфная функция на множестве классов изоморфизма эллиптических кривых. Например, j-инвариант j ( z ) эллиптической кривой, рассматриваемый как функция на множестве всех эллиптических кривых, является модулярной функцией. Более концептуально модульные функции можно рассматривать как функции напространство модулей классов изоморфизма комплексных эллиптических кривых.

Модулярная форма f, которая обращается в нуль при q = 0 (эквивалентно a ₀ = 0 , также перефразируемое как z = i ∞ ), называется формой возврата ( Spitzenform на немецком языке ). Наименьшее n такое, что a _n ≠ 0, является порядком нуля функции f в i ∞ .

Модульный блок представляет собой модульную функцию, полюсы и нули ограничивается остриями. ^[4]

Модульные формы для более общих групп [ править ]

Функциональное уравнение, т. Е. Поведение f по отношению к, можно ослабить, потребовав его только для матриц в меньших группах.${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

Риманова поверхность G \ H ^∗ [ править ]

Пусть G - подгруппа конечного индекса в SL (2, Z ) . Такая группа G действует на H так же, как SL (2, Z ) . Фактор топологическое пространство G \ H может быть показано, что хаусдорфовым . Обычно он не компактен, но может быть компактифицирован путем добавления конечного числа точек, называемых куспидами . Это точки на границе H , т.е. в Q ∪ {∞}, ^[5] такие, что существует параболический элемент группы G (матрица с след ± 2) фиксация точки. Это дает компактное топологическое пространство G \ H ^∗ . Более того, он может быть наделен структурой римановой поверхности , что позволяет говорить о голо- и мероморфных функциях.

Важными примерами являются, для любого положительного целого числа N , любая из подгрупп сравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

Для G = Γ ₀ ( N ) или Γ ( N ) пространства G \ H и G \ H ^∗ обозначаются Y ₀ ( N ) и X ₀ ( N ) и Y ( N ), X ( N ) соответственно.

Геометрию G \ H ^∗ можно понять, изучая фундаментальные области для G , т. Е. Подмножества D ⊂ H, такие, что D пересекает каждую орбиту G -действия на H ровно один раз, и такое, что замыкание D пересекает все орбиты. Например, род из G \ H ^* может быть вычислен. ^[6]

Определение [ править ]

Модульная форма для G веса к является функцией на Н , удовлетворяющая функциональное уравнение выше для всех матриц в G , то есть голоморфный на H и на все бугорки G . Опять же , модульные формы , которые обращаются в нуль на всех остриях называются параболическими формами для G . В С - векторные пространства модульных и параболических форм веса к обозначаются M _K ( G ) и S _K ( G ) , соответственно. Аналогично, мероморфная функция на G \ H ^∗называется модульной функция G . В случае , если G = Г ₀ ( N ), они также называют модульной / параболических форм и функций уровня N . При G = Γ (1) = SL (2, Z ) это возвращает упомянутые выше определения.

Последствия [ править ]

Теория римановых поверхностей может быть применена к G \ H ^∗ для получения дополнительной информации о модулярных формах и функциях. Например, пространства М _к ( G ) и S _к ( С ) конечномерны, и их размеры могут быть вычислены благодаря теореме Римана-Роха в терминах геометрии G -действия на H . ^[7] Например,

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

где обозначает функцию пола и четно.${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$${\displaystyle k}$

Модулярные функции составляют поле функций римановой поверхности и, следовательно, образуют поле степени трансцендентности один (над C ). Если модульная функция F не равна тождественно 0, то можно показать , что число нулей F равно числу полюсов из F в замыкании в фундаментальной области R _Γ .Это может быть показано , что поле модульной функция уровня N ( N ≥ 1) порождается функциями j ( z ) и j ( Nz). ^[8]

Связки линий [ править ]

Ситуацию можно выгодно сравнить с той, которая возникает при поиске функций на проективном пространстве P ( V ): в этой ситуации в идеале можно было бы сравнить функции F на векторном пространстве V, которые полиномиальны от координат v  ≠ 0 в V и удовлетворяют уравнению F ( cv ) =  F ( v ) для всех ненулевых c . К сожалению, единственными такими функциями являются константы. Если мы допустим знаменатели (рациональные функции вместо многочленов), мы можем позволить F быть отношением двух однородныхмногочлены одной степени. В качестве альтернативы мы можем придерживаться полиномов и ослабить зависимость от c , положив F ( cv ) =  c ^k F ( v ). Тогда решения представляют собой однородные многочлены степени k . С одной стороны, они образуют конечномерное векторное пространство для каждого  k , а с другой, если мы позволим k варьироваться, мы сможем найти числители и знаменатели для построения всех рациональных функций, которые действительно являются функциями на лежащем в основе проективном пространстве P ( V ).

Кто-то может спросить, поскольку однородные многочлены на самом деле не являются функциями на P ( V ), что это такое с геометрической точки зрения? Алгебро- геометрического ответ , что они являются разделами о виде пучка (можно также сказать расслоение в данном случае). Аналогичная ситуация и с модульными формами.

К модульным формам также можно с успехом подходить с этого геометрического направления, как сечения линейных расслоений на пространстве модулей эллиптических кривых.

Кольца модульных форм [ править ]

Для подгруппы Γ группы SL (2, Z ) кольцо модулярных форм - это градуированное кольцо, порожденное модулярными формами группы Γ . Другими словами, если M _k (Γ) - кольцо модулярных форм веса k , то кольцо модулярных форм Γ является градуированным кольцом .${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

Кольца модулярных форм подгрупп конгруэнции группы SL (2, Z ) конечно порождены благодаря результату Пьера Делиня и Майкла Рапопорта . Такие кольца модулярных форм порождаются с весом не более 6, а отношения порождаются с весом не более 12, если подгруппа сравнения имеет модулярные формы с ненулевым нечетным весом, и соответствующие оценки равны 5 и 10, если нет модулярных форм с ненулевым нечетным весом. .

В более общем смысле, существуют формулы для оценок весов образующих кольца модулярных форм и его соотношений для произвольных фуксовых групп .

Типы [ править ]

Целые формы [ править ]

Если е является голоморфным в точке излома (не имеет полюса при ц  = 0), то она называется всей модульная формой .

Если f мероморфна, но не голоморфна в точке возврата, она называется неполной модулярной формой . Например, j-инвариант является неполной модулярной формой веса 0 и имеет простой полюс в точке i∞.

Новые формы [ править ]

Новые формы представляют собой подпространство модулярных форм ^[9] фиксированного веса, которое не может быть построено из модулярных форм деления меньшего веса . Остальные формы называются старыми формами . Эти старые формы могут быть построены, используя следующие наблюдения: если, то дает обратное включение модульных форм .${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M|N}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

Формы куспида [ править ]

Параболическая форма представляет собой модульную форму с коэффициентом нулевого постоянной в ее ряда Фурье. Это называется куспидом, потому что форма исчезает на всех куспидах.

Обобщения [ править ]

Существует ряд других употреблений термина «модульная функция», помимо этого классического; например, в теории мер Хаара это функция Δ ( g ), определяемая действием сопряжения.

Maaß формы являются вещественно-аналитические собственные функции по лапласианом но не обязательно голоморфна . Голоморфные части некоторых слабых волновых форм Маасса оказываются по существу ложными тета-функциями Рамануджана. Можно рассматриватьгруппы, не являющиеся подгруппами SL (2, Z ) .

Модульные формы Гильберта - это функции от n переменных, каждая из которых является комплексным числом в верхней полуплоскости, удовлетворяющие модульному соотношению для матриц 2 × 2 с элементами в поле полностью действительных чисел .

Модулярные формы Зигеля связаны с большими симплектическими группами точно так же, как классические модулярные формы связаны с SL (2, R ) ; другими словами, они связаны с абелевыми многообразиями в том же смысле, что классические модулярные формы (которые иногда называют эллиптическими модулярными формами, чтобы подчеркнуть суть) связаны с эллиптическими кривыми.

Формы Якоби представляют собой смесь модульных форм и эллиптических функций. Примеры таких функций очень классические - тета-функции Якоби и коэффициенты Фурье модулярных форм Зигеля второго рода - но относительно недавнее наблюдение, что формы Якоби имеют арифметическую теорию, очень аналогичную обычной теории модулярных форм.

Автоморфные формы распространяют понятие модулярных форм на общие группы Ли .

Модульные интегралы веса k - это мероморфные функции в верхней полуплоскости умеренного роста на бесконечности, которые не могут быть модульны веса k рациональной функцией.

Автоморфные факторы - это функции формы,которые используются для обобщения отношения модульности, определяющего модульные формы, так что${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

Функция - это небентыпус модульной формы. Такие функции, как эта функция Дедекинда , модульная форма веса 1/2, могут быть охвачены теорией, допуская автоморфные факторы.${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$

История [ править ]

Теория модулярных форм развивалась в четыре периода: первый в связи с теорией эллиптических функций в первой половине XIX века; затем Феликс Кляйн и другие к концу девятнадцатого века, когда концепция автоморфной формы стала понятной (для одной переменной); затем Эрих Хекке примерно с 1925 г .; а затем в 1960-х годах, когда потребности теории чисел и, в частности, формулировка теоремы модульности показали, что модулярные формы глубоко замешаны.

Термин «модульная форма», как систематическое описание, обычно приписывают Гекке.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , Тексты для выпускников по математике, 7 , Нью-Йорк: Springer-Verlag. Глава VII представляет собой элементарное введение в теорию модульных форм .
• Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0
• Шимура, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. Обеспечивает более совершенное лечение.
• Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR  0379375. Предоставляет введение в модульные формы с точки зрения теории представлений .
• Ранкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-21212-X
• Ribet, K .; Штейн В. Лекции по модулярным формам и операторам Гекке (PDF)
• Гекке, Эрих (1970), Mathematische Werke , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
• Скоруппа, Н. П.; Загьер, Д. (1988), "Формы Якоби и определенное пространство модулярных форм", Inventiones Mathematicae , Springer