Методы Монте-Карло в финансах

Методы Монте-Карло используются в корпоративных финансах и математических финансах для оценки и анализа (сложных) инструментов , портфелей и инвестиций путем моделирования различных источников неопределенности, влияющих на их стоимость, а затем определения распределения их стоимости по диапазону полученных результатов. ^{[1] [2]} Обычно это делается с помощью стохастических моделей активов . Преимущество методов Монте-Карло перед другими методами возрастает по мере увеличения размеров (источников неопределенности) проблемы.

Методы Монте-Карло были впервые представлены в финансах в 1964 году Дэвидом Б. Герцем в его статье Harvard Business Review ^{[3], в которой} обсуждается их применение в корпоративных финансах . В 1977 году Фелим Бойл впервые применил моделирование при оценке производных финансовых инструментов в своей основополагающей статье в журнале «Финансовая экономика» . ^[4]

В этой статье обсуждаются типичные финансовые проблемы, в которых используются методы Монте-Карло. Это также касается использования так называемых «квазислучайных» методов, таких как использование последовательностей Соболя .

Обзор [ править ]

Метод Монте-Карло включает в себя любой метод статистической выборки, используемый для приближенного решения количественных задач. ^[5] По сути, метод Монте-Карло решает проблему путем прямого моделирования лежащего в основе (физического) процесса и последующего вычисления (среднего) результата процесса. ^[1] Этот очень общий подход применим в таких областях, как физика , химия , информатика и т. Д.

В финансах метод Монте-Карло используется для моделирования различных источников неопределенности, которые влияют на стоимость рассматриваемого инструмента , портфеля или инвестиции , а затем для расчета репрезентативной стоимости с учетом этих возможных значений исходных данных. ^[1] («Покрытие всех мыслимых непредвиденных обстоятельств в реальном мире пропорционально их вероятности». ^[6] ) С точки зрения финансовой теории , это, по сути, применение оценки, нейтральной к риску ; ^[7] см. Также нейтральный риск .

Некоторые примеры:

• В области корпоративных финансов , ^{[8] [9] [10]} Проектное финансирование ^[8] и анализ реальных опционов , ^[1] Методы Монте - Карло используются финансовыми аналитиками , которые хотят построить « стохастические » или вероятностные финансовые модели , в отличие от традиционных статические и детерминированные модели. Здесь, чтобы проанализировать характеристики чистой приведенной стоимости проекта (NPV), моделируются компоненты денежного потока, на которые (в значительной степени ^[10] ) влияет неопределенность , с учетом любой корреляции.между ними, математически отражая их «случайные характеристики». Затем эти результаты объединяются в гистограмму NPV (т. Е. Распределение вероятностей проекта ), и наблюдается среднее значение NPV потенциальных инвестиций, а также его волатильность и другие факторы чувствительности. Это распределение позволяет, например, оценить вероятность того, что чистая приведенная стоимость проекта будет больше нуля (или любого другого значения). ^[11] См. Далее в разделе «Корпоративные финансы».

• При оценке в опции капитала , моделирование генерирует несколько тысяч возможного (но случайный) пути цен на основную акцию с соответствующей физической величиной (то есть «выигрыш») на выборе для каждого маршрута. Эти выплаты затем усредняются и дисконтируются до сегодняшнего дня, и этот результат является сегодняшней стоимостью опциона. ^[12] Обратите внимание, что в то время как опционы на акции чаще оцениваются с использованием решетчатых моделей , для зависимых от траектории экзотических деривативов, таких как азиатские опционы, чаще всего используется моделирование; см. методы Монте-Карло для определения цены опционовдля обсуждения дальнейшего - и более сложного - моделирования вариантов.

• Для оценки инструментов с фиксированным доходом и производных процентных ставок основным источником неопределенности, который моделируется, является краткосрочная ставка - годовая процентная ставка, по которой предприятие может занимать деньги на определенный период времени; см. Краткосрочная модель . Например, для облигаций и опционов на облигации , ^[13] в рамках каждой возможной эволюции процентных ставок мы наблюдаем другие кривые доходности и другую полученную цену облигаций . Затем для определения стоимости облигации эти цены на облигации усредняются; для оценки опциона на облигацию, как и для опционов на акции, соответствующиезначения упражнений усреднены и оценены в настоящее время. Аналогичный подход используется при оценке свопов , свопционов , ^[14] и конвертируемые облигации . ^[15] Что касается собственного капитала, то для производных по процентной ставке, зависящих от траектории, таких как CMO, моделирование является основным используемым методом; ^[16] (Обратите внимание, что «для создания реалистичного моделирования процентных ставок» иногда используются многофакторные модели краткосрочных процентных ставок . ^[17] )

• Для оценки портфеля используются методы Монте-Карло . ^[18] Здесь для каждой выборки коррелированное поведение факторов, влияющих на составляющие инструменты, моделируется с течением времени, рассчитывается итоговая стоимость каждого инструмента, а затем наблюдается стоимость портфеля. Что касается корпоративных финансов, выше, различные значения портфеля затем объединяются в гистограмму , и статистические характеристики портфеля наблюдаются, и портфель оценивается по мере необходимости. Аналогичный подход используется при расчете величины риска , ^{[19] [20]} лучше известно применение моделирования для портфелей.

• Методы Монте-Карло используются для личного финансового планирования . ^{[21] [22]} Например, моделируя рынок в целом, можно рассчитать шансы того, что 401 (k) позволит выйти на пенсию при целевом доходе. Соответственно, соответствующий работник может пойти на больший риск с пенсионным портфелем или начать откладывать больше денег.

• Симуляция дискретных событий может использоваться для оценки влияния предлагаемых капитальных вложений на существующие операции. Здесь построена модель «текущего состояния». После правильной работы, после тестирования и проверки на исторических данных, моделирование изменяется, чтобы отразить предлагаемые капитальные вложения. Эта модель «будущего состояния» затем используется для оценки инвестиций путем оценки улучшения производительности (т. Е. Доходности) по сравнению с затратами (с помощью гистограммы, как указано выше); его также можно использовать при нагрузочном тестировании конструкции. См. Раздел Моделирование дискретных событий # Оценка решений о капиталовложениях .

Хотя методы Монте-Карло обеспечивают гибкость и могут обрабатывать несколько источников неопределенности, использование этих методов, тем не менее, не всегда целесообразно. В общем, методы моделирования предпочтительнее других методов оценки только при наличии нескольких переменных состояния (т. Е. Нескольких источников неопределенности). ^[1] Эти методы также имеют ограниченное применение при оценке производных финансовых инструментов в американском стиле. Смотри ниже.

Применимость [ править ]

Уровень сложности [ править ]

Многие проблемы в финансовой математике влекут за собой вычисление определенного интеграла (например, проблема нахождения безарбитражного значения конкретной производной ). Во многих случаях эти интегралы могут быть оценены аналитически , а в еще большем количестве случаев они могут быть оценены с помощью численного интегрирования или вычислены с использованием уравнения в частных производных (PDE). Однако, когда число измерений (или степеней свободы) в задаче велико, уравнения в частных производных и числовые интегралы становятся трудноразрешимыми, и в этих случаях методы Монте-Карло часто дают лучшие результаты.

Для более чем трех или четырех переменных состояния не существует таких формул, как Блэка – Шоулза (т. Е. Аналитических решений ), в то время как другие численные методы, такие как модель ценообразования биномиальных опционов и методы конечных разностей, сталкиваются с рядом трудностей и непрактичны. В этих случаях методы Монте-Карло сходятся к решению быстрее, чем численные, требуют меньше памяти и их легче программировать. Однако для более простых ситуаций моделирование - не лучшее решение, поскольку оно требует больших затрат времени и вычислительных ресурсов.

Методы Монте-Карло могут довольно просто работать с производными финансовыми инструментами, выплаты по которым зависят от пути. С другой стороны, решатели методом конечных разностей (PDE) борются с зависимостью от пути.

Американские варианты [ править ]

Методы Монте-Карло труднее использовать с американскими опционами . Это связано с тем, что, в отличие от уравнения в частных производных , метод Монте-Карло на самом деле оценивает только стоимость опциона с учетом заданной начальной точки и времени.

Однако для раннего исполнения нам также необходимо знать стоимость опциона в промежуточные моменты времени между временем начала симуляции и временем истечения опциона. При использовании метода PDE Блэка – Шоулза эти цены легко получить, поскольку моделирование выполняется в обратном порядке, начиная с даты истечения срока действия. В Монте-Карло эту информацию получить сложнее, но это можно сделать, например, используя алгоритм наименьших квадратов Каррьера (см. Ссылку на исходную статью), который несколько лет спустя стал популярным благодаря Лонгстаффу и Шварцу (см. Ссылку на исходную статью). ).

Методы Монте-Карло [ править ]

Математически [ править ]

Фундаментальная теорема безарбитражных ценообразования гласит , что значение производной равно ожидаемой дисконтированной стоимости производного подкупе , где математическое ожидание берется под риск-нейтральной меры ^[1] . На языке чистой математики ожидание - это просто интеграл относительно меры. Методы Монте-Карло идеально подходят для вычисления сложных интегралов (см. Также метод Монте-Карло ).

Таким образом, если мы предположим, что наше вероятностное пространство нейтрально по отношению к риску, и что у нас есть производная H, которая зависит от набора базовых инструментов . Затем для выборки из вероятностного пространства значение производной равно . Сегодняшняя стоимость производного инструмента определяется путем расчета ожидания по всем возможным выборкам и дисконтирования по безрисковой ставке. Т.е. производная имеет значение:${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle S_ {1}, ..., S_ {n}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle H (S_ {1} (\ omega), S_ {2} (\ omega), \ dots, S_ {n} (\ omega)) =: H (\ omega)}$

${\displaystyle H_{0}={DF}_{T}\int _{\omega }H(\omega )\,d\mathbb {P} (\omega )}$

где - коэффициент дисконтирования, соответствующий безрисковой ставке на окончательный срок погашения через T лет в будущее.${\displaystyle {DF}_{T}}$

Теперь предположим, что интеграл сложно вычислить. Мы можем аппроксимировать интеграл, сгенерировав пути выборки, а затем взяв среднее значение. Предположим, мы генерируем N образцов, тогда

${\displaystyle H_{0}\approx {DF}_{T}{\frac {1}{N}}\sum _{\omega \in {\text{sample set}}}H(\omega )}$

что гораздо проще вычислить.

Примеры путей для стандартных моделей [ править ]

В финансах обычно предполагается, что базовые случайные переменные (такие как цена базовой акции) следуют траектории, которая является функцией броуновского движения ² . Например, в стандартной модели Блэка – Шоулза курс акций изменяется как

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW_{t}.}$

Чтобы выбрать путь, следующий этому распределению от времени 0 до T, мы разрезаем временной интервал на M единиц длины и аппроксимируем броуновское движение на интервале одной нормальной переменной со средним значением 0 и дисперсией . Это приводит к примерному пути${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle S(k\delta t)=S(0)\exp \left(\sum _{i=1}^{k}\left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\delta t+\sigma \varepsilon _{i}{\sqrt {\delta t}}\right]\right)}$

для каждого к между 1 и М . Здесь каждое из них является результатом стандартного нормального распределения.${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Предположим, что производная H платит среднее значение S между 0 и T, тогда путь выборки соответствует набору и${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{M}S(k\delta t).}$

Мы получаем значение Монте-Карло этой производной, генерируя N партий из M нормальных переменных, создавая N выборочных путей и, таким образом, N значений H , а затем взяв среднее значение. Обычно производная будет зависеть от двух или более (возможно, коррелированных) базовых активов. Метод здесь может быть расширен для генерации выборочных путей нескольких переменных, где нормальные переменные, составляющие выборочные пути, соответствующим образом коррелированы.

Из центральной предельной теоремы следует, что четырехкратное увеличение количества путей выборки примерно вдвое уменьшает ошибку моделируемой цены (т. Е. Ошибка имеет порядок сходимости в смысле стандартного отклонения решения).${\displaystyle \epsilon ={\mathcal {O}}\left(N^{-1/2}\right)}$

На практике методы Монте-Карло используются для производных в европейском стиле, включающих не менее трех переменных (более прямые методы, включающие численное интегрирование, обычно могут использоваться для тех задач, в которых есть только одна или две базовые составляющие. См. Модель опционов Монте-Карло .

Греки [ править ]

Оценки для « греков » опциона, то есть (математические) производные от стоимости опциона по отношению к входным параметрам, могут быть получены путем численного дифференцирования. Это может занять много времени (для каждого «толчка» или небольшого изменения входных параметров необходимо выполнять весь цикл Монте-Карло). Кроме того, получение числовых производных имеет тенденцию подчеркивать ошибку (или шум) в значении Монте-Карло, что делает необходимым моделирование с большим количеством траекторий выборки. Практики считают эти моменты ключевой проблемой при использовании методов Монте-Карло.

Снижение дисперсии [ править ]

Сходимость квадратного корня происходит медленно, поэтому использование описанного выше наивного подхода требует использования очень большого количества выборочных путей (например, 1 миллион для типичной проблемы), чтобы получить точный результат. Помните, что оценка цены производного инструмента является случайной величиной, и в рамках деятельности по управлению рисками неопределенность цены портфеля производных инструментов и / или его рисков может привести к принятию неоптимальных решений по управлению рисками.

Такое положение дел можно смягчить с помощью методов уменьшения дисперсии .

Антитетические пути [ править ]

Простая техника состоит в том, чтобы для каждого полученного пути выборки следовать его противоположному пути - этому также дается путь, по которому следует идти . Поскольку переменные и образуют противоположную пару, большое значение одного сопровождается малым значением другого. Это предполагает, что необычно большой или малый выходной сигнал, вычисленный по первому пути, может быть уравновешен значением, вычисленным по противоположному пути, что приведет к уменьшению дисперсии. ^[23] Это не только уменьшает количество нормальных выборок, которые необходимо взять для генерации N путей, но также, при тех же условиях, таких как отрицательная корреляция между двумя оценками, уменьшает дисперсию траекторий выборки, повышая точность.${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$${\displaystyle \{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle -\varepsilon _{i}}$

Вариант управления [ править ]

Также естественно использовать контрольную вариацию . Предположим, что мы хотим получить значение Монте-Карло производной H , но знаем аналитически значение аналогичной производной I. Тогда H * = (Значение H согласно Монте-Карло) + B * [(Значение I аналитически ) - (Значение I согласно тем же путям Монте-Карло)] является лучшей оценкой, где B - это covar (H, I) / var (H).

Интуиция, лежащая в основе этого метода, применительно к деривативам, заключается в следующем: обратите внимание, что источник дисперсии производного инструмента будет напрямую зависеть от рисков (например, дельты, вегетации) этого производного инструмента. Это связано с тем, что любая ошибка, скажем, в оценщике форвардного значения нижележащего актива будет генерировать соответствующую ошибку в зависимости от дельты производной по отношению к этому форвардному значению. Самый простой пример, демонстрирующий это, состоит в сравнении ошибки при ценообразовании колл при деньгах и стрэддла при деньгах (то есть колл + пут), дельта которого намного меньше.

Поэтому стандартный способ выбора производной I заключается в выборе Репликация портфелей вариантов для H . На практике мы будем оценивать H без уменьшения дисперсии, вычислять дельты и вегас, а затем использовать комбинацию коллов и путов, которые имеют те же дельты и вегас, что и контрольная вариация.

Выборка по важности [ править ]

Выборка по важности состоит из моделирования траекторий Монте-Карло с использованием другого распределения вероятностей (также известного как изменение меры), которое даст большую вероятность того, что смоделированный базовый объект будет расположен в области, где выигрыш от производной имеет наибольшую выпуклость (например, близко к страйку в случае простого варианта). Затем смоделированные выплаты не просто усредняются, как в случае простого Монте-Карло, но сначала умножаются на отношение правдоподобия между модифицированным распределением вероятностей и исходным (которое получается с помощью аналитических формул, специфичных для распределения вероятностей). Это гарантирует, что пути, вероятность которых была произвольно увеличена за счет изменения распределения вероятностей, будут взвешены с низким весом (именно так будет уменьшена дисперсия).

Этот метод может быть особенно полезен при расчете рисков по производным финансовым инструментам. При вычислении дельты с использованием метода Монте-Карло наиболее простым способом является метод черного ящика , заключающийся в выполнении Монте-Карло на исходных рыночных данных и другом на измененных рыночных данных и вычислении риска путем вычисления разницы. Вместо этого метод выборки по важности заключается в выполнении Монте-Карло для произвольных базовых рыночных данных (в идеале, в которых дисперсия минимальна) и расчета цен с использованием описанной выше техники изменения веса. Это приводит к риску, который будет намного более стабильным, чем риск, полученный с помощью подхода черного ящика .

Квазислучайные (малые расхождения) методы [ править ]

Вместо того, чтобы генерировать выборочные пути случайным образом, можно систематически (и фактически полностью детерминированно, несмотря на «квазислучайный» в названии) выбирать точки в вероятностных пространствах, чтобы оптимально «заполнить» пространство. Выбор точек представляет собой последовательность с малым расхождением, такую ​​как последовательность Соболя . Получение средних значений выплат по производным в точках последовательности с низким расхождением часто более эффективно, чем получение средних значений выплат в случайных точках.

Заметки [ править ]

1. Часто более практично принимать ожидания с использованием разных мер, однако они по-прежнему являются в основном интегралами, и поэтому можно применить тот же подход.
2. Иногда также используются более общие процессы, такие как процессы Леви . Их также можно смоделировать.

См. Также [ править ]

• Квази-Монте-Карло методы в финансах
• Метод Монте-Карло
• Историческое моделирование (финансы)
• Симулятор фондового рынка
• Оценка реальных опционов

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Статьи [ править ]

• Бойл П., Броди М. и Глассерман П. Методы Монте-Карло для ценообразования ценных бумаг. Журнал экономической динамики и управления, том 21, выпуски 8-9, страницы 1267-1321
• Рубинштейн, Самородницкий, Шакед. Антитетические переменные, многомерная зависимость и моделирование стохастических систем. Наука управления, Vol. 31, No. 1, январь 1985 г., страницы 66–67

Книги [ править ]

• Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляции и кредита (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Дэниел Дж. Даффи и Йорг Кениц (2009). Фреймворки Монте-Карло: создание настраиваемых высокопроизводительных приложений на C ++ . Вайли. ISBN 978-0470060698.
• Бруно Дюпире (1998). Монте-Карло: методологии и приложения для ценообразования и управления рисками . Риск.
• Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовом инжиниринге . Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Джон К. Халл (2000). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (4-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-015822-4.
• Питер Джекель (2002). Методы Монте-Карло в финансах . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-49741-X.
• Питер Э. Клёден и Экхард Платен (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Springer - Verlag.
• Дессислава Пачаманова и Фрэнк Дж. Фабоцци (2010). Моделирование и оптимизация в финансах: моделирование с помощью MATLAB, @Risk или VBA . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-37189-3.

Внешние ссылки [ править ]

Общий

• Моделирование Монте-Карло (Энциклопедия количественных финансов), Питер Джекель и Экхард Платени
• Моделирование Монте-Карло в финансах , global-derivatives.com
• Метод Монте-Карло , riskglossary.com
• Структура Монте-Карло, Примеры из финансов , Мартин Хо, Колумбийский университет
• Методы Монте-Карло применительно к финансам , Симон Леже

Оценка производных финансовых инструментов

• Моделирование методом Монте-Карло , профессор Дон М. Чанс, Государственный университет Луизианы.
• Ценообразование опционов путем моделирования , Бернт Арне Эдегаард, Норвежская школа менеджмента
• Применение методов Монте-Карло в финансах: ценообразование опционов , Ю. Лай и Дж. Спаниер, Университет Клермонта.
• Оценка производных инструментов Монте-Карло , продолжение. , Тимоти Л. Крехбил, Государственный университет Оклахомы, Стиллуотер
• Стоимость сложных опций с использованием простого моделирования методом Монте-Карло , Питер Финк - перепечатка на сайте Quantnotes.com
• Монте-Карло методом наименьших квадратов для американских опционов, Каррьер, 1996 , ideas.repec.org
• Метод наименьших квадратов Монте-Карло для американских опционов Лонгстаффа и Шварца, 2001 , repositories.cdlib.org
• Используя моделирование для ценообразования опционов , Джон Чарнс

Корпоративные финансы

• Реальные варианты с моделированием Монте-Карло , Марко Диас, Католический университет Понтифика в Рио-де-Жанейро
• Использование моделирования для расчета NPV проекта , investmentscience.com
• Моделирование, деревья решений и анализ сценариев в оценке Проф. Асват Дамодаран , Школа бизнеса Стерна
• Метод Монте-Карло в Excel Бизнес-школа профессора Андре Фарбера Сольве
• Прогноз продаж , vertex42.com
• Ценообразование с использованием моделирования Монте-Карло , практический пример, профессор Джанкарло Верчеллино

Стоимость под риском и анализ портфеля

• Ценность под угрозой Монте-Карло , riskglossary.com

Личные финансы

• Лучший способ оценить свое гнездовое яйцо , Businessweek Online: 22 января 2001 г.
• Онлайн-планировщик пенсионного обеспечения Монте-Карло с исходным кодом , Джим Ричмонд, 2006 г.
• Бесплатный калькулятор выхода на пенсию на основе таблиц и симулятор Монте-Карло , Эрик К., 2008 г.
• Пенсионное моделирование
• Финансовое планирование с использованием случайных блужданий , Джон Норстад, 2005 г.
• Калькулятор яиц Vanguard Nest , Vanguard