Теорема без удаления

В физике , то нет, удаление теоремы о квантовой теории информации не является не годен теорема , которая утверждает , что, в целом, учитывая две копии некоторого произвольного квантового состояния, то невозможно удалить один из экземпляров. ^[1] Это время Обращенного двойной к не-клонирующим теоремам , ^[2]^[3] , который гласит , что произвольные состояния не может быть скопированы. Эта теорема кажется замечательной, потому что во многих смыслах квантовые состояния хрупки; теорема утверждает, что в частном случае они также являются робастными. Физик Арун К. Пати вместе с Сэмюэлем Л. Браунштейном доказали эту теорему.

Теорема о запрете удаления вместе с теоремой о запрете клонирования лежат в основе интерпретации квантовой механики в терминах теории категорий и, в частности, как кинжал-симметричной моноидальной категории . ^[4]^[5] Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика , в свою очередь, позволяет связать квантовую механику с линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в точной аналогии с классической логикой, основанной на декартовых замкнутых категориях ) .

Обзор квантового удаления [ править ]

Предположим, что есть две копии неизвестного квантового состояния. Уместным вопросом в этом контексте является вопрос, возможно ли, учитывая две идентичные копии, удалить одну из них, используя квантово-механические операции? Оказывается, нельзя. Теорема об отсутствии удаления является следствием линейности квантовой механики . Как и теорема о запрете клонирования, это имеет важное значение для квантовых вычислений , квантовой теории информации и квантовой механики в целом.

Процесс квантового удаления берет две копии произвольного неизвестного квантового состояния на входном порту и выводит пустое состояние вместе с оригиналом. Математически это можно описать следующим образом:

{\ Displaystyle U | \ psi \ rangle _ {A} | \ psi \ rangle _ {B} | A \ rangle _ {C} = | \ psi \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A '\ rangle _ {C}}

где - операция удаления, которая не обязательно унитарна (но является линейным оператором), является неизвестным квантовым состоянием, является пустым состоянием, является начальным состоянием удаляющей машины и является конечным состоянием машины. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle _ {B}}$ ${\ displaystyle | A \ rangle _ {C}}$ ${\ displaystyle | A '\ rangle _ {C}}$

Можно отметить, что классические биты можно копировать и удалять, как и кубиты в ортогональных состояниях. Например, если мы имеем два одинаковых кубитов и затем мы можем преобразовать к и . В этом случае мы удалили вторую копию. Однако из линейности квантовой теории следует, что не существует того, что может выполнить операцию удаления для любого произвольного состояния . ${\ displaystyle | 00 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 11 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 00 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 10 \ rangle}$ ${\ displaystyle U}$ $|\psi \rangle$

Формальная формулировка теоремы об отсутствии удаления [ править ]

Позвольте быть неизвестным квантовым состоянием в некотором гильбертовом пространстве (и пусть другие состояния имеют их обычный смысл). Тогда не существует линейного изометрического преобразования , при котором конечное состояние вспомогательной функции не зависит от . $|\psi \rangle$ $|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}$ $|\psi \rangle$

Доказательство [ править ]

Теорема верна для квантовых состояний в гильбертовом пространстве любой размерности. Для простоты рассмотрим преобразование удаления для двух одинаковых кубитов. Если два кубита находятся в ортогональных состояниях, то для удаления требуется, чтобы

|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}

,

|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}

.

Позвольте быть состояние неизвестного кубита. Если у нас есть две копии неизвестного кубита, то по линейности удаляющего преобразования имеем $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$

|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=[\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}+\alpha \beta (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]|A\rangle _{C}

\qquad \rightarrow \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC}.

В приведенном выше выражении было использовано следующее преобразование:

1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A\rangle _{C}\rightarrow |\Phi \rangle _{ABC}.

Однако, если мы можем удалить копию, то на выходном порту удаляющей машины комбинированное состояние должно быть

|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}

.

В общем, эти состояния не идентичны, и, следовательно, мы можем сказать, что машине не удается удалить копию. Если мы потребуем, чтобы конечные состояния вывода были такими же, то мы увидим, что есть только один вариант:

|\Phi \rangle =1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}),

и

|A'\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}.

Поскольку конечное состояние вспомогательной службы нормализовано для всех ее значений, должно быть верно, что и являются ортогональными. Это означает, что квантовая информация просто находится в конечном состоянии вспомогательной службы. Всегда можно получить неизвестное состояние из конечного состояния вспомогательной службы, используя локальную операцию в вспомогательном гильбертовом пространстве. Таким образом, линейность квантовой теории не позволяет полностью исключить неизвестное квантовое состояние. $|\Phi \rangle$ $\alpha ,\beta$ $|A_{0}\rangle _{C}$ $|A_{1}\rangle _{C}$

Следствие [ править ]

Если бы можно было удалить неизвестное квантовое состояние, тогда, используя две пары состояний ЭПР , мы могли бы посылать сигналы быстрее света. Таким образом, нарушение теоремы об отсутствии удаления несовместимо с условием отсутствия сигнализации .
Теоремы о запрете клонирования и удаления указывают на сохранение квантовой информации.
Более сильная версия теоремы о запрете клонирования и теоремы о запрете удаления обеспечивает постоянство квантовой информации. Чтобы создать копию, необходимо импортировать информацию из некоторой части вселенной, а для удаления состояния нужно экспортировать ее в другую часть вселенной, где она будет продолжать существовать.

См. Также [ править ]

Теорема о запрете трансляции
Теорема о запрете клонирования
Теорема об отсутствии связи
Теорема о запрете укрытия ^[6]
Квантовое клонирование
Квантовая запутанность
Квантовая информация
Квантовая телепортация
Принцип неопределенности

Ссылки [ править ]

^ AK Pati и SL Braunstein, "Невозможность удаления неизвестного квантового состояния", Nature 404 (2000), p164.
^ WK Wootters и WH Zurek, «Один квант не может быть клонирован», Nature 299 (1982), p802.
^ Д. Дикс, "Связь с помощью устройств EPR", Physics Letters A , vol. 92 (6) (1982), стр. 271.
^ Джон Баэз, Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень (2009)
^ Боб Коеке, Quantum Picturalism (2009) ArXiv 0908,1787
^ Квантовая теорема о запрете укрытия впервые экспериментально подтверждена. 7 марта 2011 г., Лиза Зыга

[1] AK Pati и SL Braunstein, "Невозможность удаления неизвестного квантового состояния", Nature 404 (2000), p164.

[2] WK Wootters и WH Zurek, «Один квант не может быть клонирован», Nature 299 (1982), p802.

[3] Д. Дикс, "Связь с помощью устройств EPR", Physics Letters A , vol. 92 (6) (1982), стр. 271.

[4] Джон Баэз, Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень (2009)

[5] Боб Коеке, Quantum Picturalism (2009) ArXiv 0908,1787

[6] Квантовая теорема о запрете укрытия впервые экспериментально подтверждена. 7 марта 2011 г., Лиза Зыга

[1]