Нормальная матрица

В математике комплексная квадратная матрица A считается нормальной, если она коммутирует со своим сопряженным транспонированием A ^* :

Понятие нормальных матриц можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных нормированных пространствах и на нормальные элементы в C * -алгебрах . Как и в матричном случае, нормальность означает, что коммутативность сохраняется, насколько это возможно, в некоммутативной ситуации. Это делает нормальные операторы и нормальные элементы C * -алгебр более доступными для анализа.

В спектральной теореме говорится , что матрица является нормальной , если и только если оно унитарно похоже на диагональную матрицу , и , следовательно , любая матрица , удовлетворяющий уравнению ^* А = АА ^* является диагонализируемо .

Особые случаи [ править ]

Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Аналогично, среди вещественных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы являются нормальными. Однако не все нормальные матрицы либо унитарны, либо (косо) эрмитовы. Например,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$

не является ни унитарным, ни эрмитовым, ни косоэрмитовым, но это нормально, потому что

${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}$

Последствия [ править ]

Предложение : Нормальная треугольная матрица является диагональной .

Доказательство . Пусть A - любая нормальная верхнетреугольная матрица. С

${\displaystyle (A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},}$

используя обозначение индекса, можно написать эквивалентное выражение, используя вместо этого i- й единичный вектор ( ) для выбора i- й строки и i- го столбца:${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.}$

Выражение

${\displaystyle \left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)}$

эквивалентно, и поэтому

${\displaystyle \left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},}$

что показывает, что i- я строка должна иметь ту же норму, что и i- й столбец.

Рассмотрим i = 1 . Первая запись строки 1 и столбца 1 одинаковы (из-за нормальности), а остальная часть столбца 1 равна нулю (из-за треугольности). Это означает, что первая строка должна быть нулевой для записей с 2 ​​по n . Продолжение этого рассуждения для пар строка – столбец от 2 до n показывает, что A диагональна. ◻

Концепция нормальности важна, потому что нормальные матрицы - это именно те, к которым применима спектральная теорема :

Предложение. Матрица A является нормальной тогда и только тогда, когда существуют диагональная матрица Λ и унитарная матрица U такие, что A = U Λ U ^* .

Диагональные элементы матрицы Л являются собственными значениями из А , а столбцы U являются собственными векторами из А . Совпадение собственных значений в Л приходят в том же порядке, что и собственные векторы упорядочены в виде столбцов U .

Другим способ с указанием спектральной теоремы , чтобы сказать , что нормальные матрицы являются именно те матрицами , которые могут быть представлены с помощью диагональной матрицы по отношению к правильно выбранной ортонормированному из C ^н . Другими словами: матрица нормальна тогда и только тогда, когда ее собственные подпространства охватывают C ⁿ и попарно ортогональны по отношению к стандартному внутреннему произведению C ⁿ .

Спектральная теорема для нормальных матриц является частным случаем более общего разложения Шура, которое справедливо для всех квадратных матриц. Пусть A - квадратная матрица. Тогда при разложении Шура это унитарная похож на верхней треугольной матрицей, скажем, B . Если A нормально, то B тоже . Но тогда B должна быть диагональной, поскольку, как отмечалось выше, нормальная верхнетреугольная матрица диагональна.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы по их спектрам, например:

Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда все ее собственные значения (ее спектр) лежат на единичной окружности комплексной плоскости.

Предложение. Нормальная матрица самосопряженная тогда и только тогда, когда ее спектр содержится в . Другими словами: нормальная матрица эрмитова тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительны .${\displaystyle \mathbb {R} }$

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно должны быть нормальными. Однако имеет место следующее:

Предложение. Если A и B нормальны с AB = BA , то и AB, и A + B также нормальны. Кроме того, существует унитарная матрица U такая, что UAU ^* и UBU ^* являются диагональными матрицами. Другими словами и Б являются одновременно диагонализируемы .

В этом частном случае столбцы U ^* являются собственными векторами как A, так и B и образуют ортонормированный базис в C ⁿ . Это следует из объединения теорем о том, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы одновременно могут быть триангулируемы, а нормальная матрица диагонализуема - добавленный результат состоит в том, что и то и другое может быть выполнено одновременно.

Эквивалентные определения [ править ]

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A - комплексная матрица размера n × n . Тогда следующие эквиваленты:

1. А нормально.
2. Является диагонализируемы унитарной матрицей.
3. Существует набор собственных векторов матрицы A, который образует ортонормированный базис для C ⁿ .
4. ${\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|}$для каждого x .
5. Фробениус норма из А может быть вычислен с помощью собственных значений А : .${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$
6. Эрмитова часть1/2( A + A ^* ) и косоэрмитова часть1/2( - ^* ) из коммутируют.
7. ^* Многочлен (степени ≤ п - 1 ) в A . ^[а]
8. ^* = AU для некоторой унитарной матрицы U . ^[1]
9. U и P коммутируют, где мы имеем полярное разложение A = UP с унитарной матрицей U и некоторым положительным полуопределенным матрицы P .
10. A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N с различными собственными значениями.
11. σ _i = | λ _i | для всех 1 ≤ i ≤ n, где A имеет сингулярные значения σ ₁ ≥ ⋯ ≥ σ _n и собственные значения | λ ₁ | ≥ ⋯ ≥ | λ _n | . ^[2]

Некоторые, но не все из вышеперечисленного обобщаются на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), только квазинормален .

Аналогия [ править ]

Иногда полезно (но иногда вводить в заблуждение) думать об отношениях между различными типами нормальных матриц как о аналоге отношений между различными видами комплексных чисел:

• Обратимые матрицы аналогичны ненулевым комплексным числам.
• Сопряженное транспонирование аналогичен комплексно сопряженное
• Унитарные матрицы аналогичны комплексным числам на единичной окружности.
• Эрмитовы матрицы аналогичны действительным числам
• Эрмитовы положительно определенные матрицы аналогичны положительным действительным числам
• Косые эрмитовы матрицы аналогичны чисто мнимым числам

В качестве особого случая комплексные числа могут быть вложены в нормальные вещественные матрицы 2 × 2 с помощью отображения

${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.}$

который сохраняет сложение и умножение. Легко проверить, что это вложение соблюдает все приведенные выше аналогии.

См. Также [ править ]

• Эрмитова матрица
• Нормальная матрица наименьших квадратов

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройал (1985), матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-30587-7.