Обозначения для дифференцирования

В дифференциальном исчислении нет единого единого обозначения для дифференцирования . Вместо этого несколько различных обозначений для производной из функции или переменной были предложены различными математиками. Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда бывает выгодно использовать более одной нотации в данном контексте. Наиболее распространенные обозначения для дифференцирования (и его противоположной операции, антидифференцирования или неопределенного интегрирования) перечислены ниже.

Обозначения Лейбница [ править ]

Оригинальные обозначения, использованные Готфридом Лейбницем , используются во всей математике. Это особенно часто встречается, когда уравнение y = f ( x ) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными y и x . Обозначения Лейбница делают это отношение явным, записывая производную как

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}.}$

Поэтому функция, значение которой в точке x является производной от f в точке x, записывается как

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Высшие производные записываются как

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Это наводящий на размышления прием записи, который происходит от формальных манипуляций с символами, например,

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

С логической точки зрения эти равенства не являются теоремами. Вместо этого они просто определения обозначений. Действительно, оценка выше с использованием правила Quotient и использования dd для отличия от d² в приведенных выше обозначениях дает

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {ddy}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {ddx}{dx^{2}}}}$

Значение производной y в точке x = a может быть выражено двумя способами с использованием обозначений Лейбница:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a)}$.

Обозначения Лейбница позволяют указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных . Это также упрощает запоминание и распознавание цепного правила :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Обозначения Лейбница для различения не требуют присвоения значения таким символам, как dx или dy, сами по себе, и некоторые авторы не пытаются присвоить значение этих символов. Лейбниц рассматривал эти символы как бесконечно малые . Позднее авторы придали им другие значения, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные .

Некоторые авторы и журналы установить дифференциальный символ D в латиницей вместо курсива : d х . Руководство по научному стилю ISO / IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Обозначения Лейбница для антидифференцировки [ править ]

Лейбниц ввел интегральный символ ∫ в Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae instance (оба из 1675 г.). Теперь это стандартный символ для интеграции .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}}$

Обозначения Лагранжа [ править ]

Одно из наиболее распространенных современных обозначений дифференциации названо в честь Жозефа Луи Лагранжа , хотя на самом деле оно было изобретено Эйлером и только что популяризировано им. В обозначениях Лагранжа штрих обозначает производную. Если f - функция, то ее производная, вычисленная в x , записывается как

${\displaystyle f'(x)}$.

Впервые он появился в печати в 1749 году. ^[1]

Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как для второй производной и для третьей производной . Использование повторяющихся простых знаков со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры , обычно в нижнем регистре, ^{[2] [3]} как в${\displaystyle f''(x)}$${\displaystyle f'''(x)}$

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высоких порядков. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, как в

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

Эти обозначения также позволяют описать производную n , где n - переменная. Это написано

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Символы Юникода, относящиеся к нотации Лагранжа, включают

• U + 2032 ◌ ′ PRIME (производная)
• U + 2033 ◌ ″ DOUBLE PRIME (двойная производная)
• U + 2034 ◌ ‴ TRIPLE PRIME (третья производная)
• U + 2057 ◌ ⁗ ЧЕТВЕРКА ПРАЙМ (четвертая производная)

Когда есть две независимые переменные для функции f ( x , y ), можно следовать следующему соглашению: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy}}=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f_{xx}\\f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\,,\end{aligned}}}$

Обозначения Лагранжа для антидифференцировки [ править ]

При выборе первообразной Лагранж следовал обозначениям Лейбница: ^[5]

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.}$

Однако, поскольку интегрирование является обратным дифференцированию, обозначения Лагранжа для производных более высокого порядка распространяются и на интегралы. Повторяющиеся интегралы от f можно записать как

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$для первого интеграла (его легко спутать с обратной функцией ),${\displaystyle f^{-1}(x)}$

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$ для второго интеграла

${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$ для третьего интеграла и

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$для n- го интеграла.

Обозначения Эйлера [ править ]

Обозначения Леонарда Эйлера используют дифференциальный оператор, предложенный Луи Франсуа Антуаном Арбогастом , обозначенный как D ( оператор D ) ^[6] или D̃ ( оператор Ньютона – Лейбница ) ^[7]. Применительно к функции f ( x ) он определяется к

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

Высшие производные обозначаются степенями D , как в ^[4]

${\displaystyle D^{2}f}$ для второй производной

${\displaystyle D^{3}f}$ для третьей производной и

${\displaystyle D^{n}f}$для n- й производной.

Нотация Эйлера оставляет неявной переменную, по которой выполняется дифференцирование. Однако эту переменную также можно указать явно. Когда f является функцией переменной x , это делается записью ^[4]

${\displaystyle D_{x}f}$ для первой производной,

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$ для второй производной

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$ для третьей производной и

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$для n- й производной.

Когда е является функцией нескольких переменных, это общепринятая использовать « ∂ » , а не D . Как и выше, нижние индексы обозначают взятые производные. Например, вторые частные производные функции F ( х , у ) являются: ^[4]

${\displaystyle \partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},}$

${\displaystyle \partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}},}$

${\displaystyle \partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},}$

${\displaystyle \partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.}$

См. § Частные производные .

Обозначения Эйлера полезны для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений , так как они упрощают представление дифференциального уравнения, что может облегчить понимание основных элементов проблемы.

Обозначения Эйлера для антидифференцировки [ править ]

Обозначения Эйлера могут использоваться для антидифференцировки так же, как обозначения Лагранжа. ^[8] следующим образом ^[7]

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$ для первого первообразного,

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$ для второй первообразной, и

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$для n- го первообразного.

Обозначения Ньютона [ править ]

Ньютоновская нотация для дифференцирования (также называемая точечной нотацией или иногда, грубо говоря, нотацией для дифференцирования ^[9] ) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией t , то производная y по t равна

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Высшие производные представлены с помощью нескольких точек, как в

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Ньютон довольно далеко расширил эту идею: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

Символы Юникода, относящиеся к нотации Ньютона, включают:

• U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
• U + 0308 ◌̈ КОМБИНИРОВАННЫЙ ДИАРЕЗ (двойная производная)
• U + 20DB ◌⃛ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезиса» + «объединение точки сверху».
• U + 20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменено на «объединение диэрезиса».
• U + 030D ◌̍ КОМБИНИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНАЯ ЛИНИЯ НАД (интеграл)
• U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
• U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (интегральный)
• U + 20DE ◌⃞ ОБЪЕДИНИТЕЛЬНАЯ ПЛОЩАДЬ (цельная)
• U + 1DE0 ◌ᷠ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОЧНОЙ ЛАТИНСКОЙ БУКВЫ N ( n- я производная)

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время . Если положение y является функцией t , то обозначает скорость ^[11] и обозначает ускорение . ^[12] Это обозначение популярно в физике и математической физике . Он также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения . Он популярен только для первой и второй производных, но в приложениях это обычно единственные производные, которые необходимы.${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$

При выборе производной зависимой переменной y = f ( x ) существует альтернативное обозначение: ^[13]

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'}$

Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X (ⵋ). Определения, данные Уайтсайдом, приведены ниже: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\\colon {\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

Обозначения Ньютона для интеграции [ править ]

Ньютон разработал множество различных обозначений для интегрирования в своей Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах : он написал небольшую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ( y̍ ), прямоугольник с префиксом ( ▭ y ) или вложение члена в прямоугольник ( у ) для обозначения свободно или временной интеграл ( absement ).

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}}$

Для обозначения нескольких интегралов Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа ( y̎ ), или комбинацию предыдущих символов ▭ y̍ y , чтобы обозначить второй интеграл по времени (абсолютность).

${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Интегралы по времени высшего порядка были следующими: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}}$

Это математическое обозначение не получило широкого распространения из-за трудностей с печатью и разногласий по исчислению Лейбница-Ньютона .

Частные производные [ править ]

Когда необходимы более конкретные типы дифференцирования, например, в многомерном исчислении или тензорном анализе , используются другие обозначения.

Для функции f ( x ) мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

Этот тип записи особенно полезен для получения частных производных от функции нескольких переменных.

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d символом « ∂ ». Например, мы можем указать частную производную f ( x , y , z ) по x , но не по y или z несколькими способами:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}$.

То , что делает это различие важным является то , что не-частными производными , такими , как может , в зависимости от контекста, следует интерпретировать как скорость изменения по отношению к , когда все переменные могут одновременно изменяться в то время как с частной производной , такими как это явно что только одна переменная должна изменяться.${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Другие обозначения можно найти в различных подполях математики, физики и инженерии, см., Например, соотношения Максвелла в термодинамике . Символ является производной температуры Т по отношению к объему V , сохраняя при этом постоянную энтропия (индекс) S , а является производной от температуры по отношению к объему, сохраняя при этом константа давления P . Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, так что нужно выбирать, какие другие переменные следует оставить фиксированными.${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}}$${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{P}}$

Частные производные высшего порядка по одной переменной выражаются как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx}.}$

Смешанные частные производные могут быть выражены как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.}$

В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:

${\displaystyle (f_{x})_{y}=f_{xy}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$

Обозначения в векторном исчислении [ править ]

Вектор Исчисление касается дифференциации и интеграции в вектор или скалярных полей. Распространены несколько обозначений, характерных для трехмерного евклидова пространства .

Предположим, что ( x , y , z ) - заданная декартова система координат , что A - векторное поле с компонентами , и это скалярное поле .${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$

Дифференциальный оператор, введенный Уильямом Роуэном Гамильтоном , который обозначается буквой ∇ и называется дель или набла, символически определяется в виде вектора

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

где терминология символически отражает, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

• Градиент : градиентскалярного поля- это вектор, который символически выражается умножением и скалярного поля,${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

• Дивергенция : Дивергенциявекторного поля A является скаляром, который символически выражается скалярным произведением и вектора A ,${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

• Лапласиан : лапласианскалярного поля- это скаляр, который символически выражается скалярным умножением ∇ ² и скалярным полем φ ,${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

• Вращение : вращениеиливекторного поля A представляет собой вектор, который символически выражается перекрестным произведением ∇ и вектора A ,${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Многие символьные операции над производными могут быть напрямую обобщены с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения с одной переменной имеет прямой аналог в умножении скалярных полей путем применения оператора градиента, как в

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

Многие другие правила исчисления с одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, локона и лапласиана.

Для более экзотических типов пространств были разработаны дальнейшие обозначения. Для расчетов в пространстве Минковского , то Д'Аламбера оператор , называемый также даламбертиан, волна оператора или оператора коробки представлена в виде , или когда не в конфликте с символом лапласиана.${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Delta }$

См. Также [ править ]

• Аналитическое общество
• Производная
• Матрица якобиана
• Матрица Гессе

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Самые ранние случаи использования символов исчисления , поддержанные Джеффом Миллером ( Архивировано 26 июля 2020 г. ^{[Несоответствие даты]} на Wayback Machine ).