Комплект кадров

В математике , А расслоение кадров является главным расслоением F ( E ) , связанное с любым векторным расслоением Е . Слой F ( E ) над точкой x - это множество всех упорядоченных базисов , или фреймов , для E _x . Линейная группа естественным образом действует на F ( E ) с помощью замены базиса , давая кадр расслоения структуры основного GL ( K , R ) -расслоение (где K представляет ранг Е ).

Расслоение реперов гладкого многообразия связано с его касательным расслоением . По этой причине его иногда называют связкой касательных реперов .

Определение и конструкция [ править ]

Пусть E → X вещественное векторное расслоение ранга к над топологическим пространством X . Кадр в точке х ∈ X представляет собой упорядоченный базис для векторного пространства Е _х . Эквивалентно фрейм можно рассматривать как линейный изоморфизм

${\ displaystyle p: \ mathbf {R} ^ {k} \ to E_ {x}.}$

Множество всех кадров на х , обозначается Р _х , имеет естественное правое действие со стороны общей линейной группы GL ( K , R ) обратимых к × K матриц: групповой элемент г ∈ GL ( K , R ) действует на раме p через композицию, чтобы дать новый кадр

${\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

Это действие GL ( k , R ) на F _x является одновременно свободным и транзитивным (это следует из результата стандартной линейной алгебры, что существует единственное обратимое линейное преобразование, переводящее один базис на другой). В качестве топологического пространства, Р _х является гомеоморфной к GL ( K , R ) , хотя это не имеет групповую структуру, так как нет «предпочтительного кадра». Пространство F _x называется GL ( k , R ) -торсором .

Кадра пучок из Е , обозначим через F ( E ) или F _GL ( E ), является объединением непересекающихся из всех Р _х :

${\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}$

Каждая точка в F ( E ) - это пара ( x , p ), где x - точка в X, а p - рамка в x . Существует естественная проекция π: F ( E ) → X, переводящая ( x , p ) в x . Группа GL ( k , R ) действует на F ( E ) справа, как указано выше. Очевидно, что это действие является свободным, и орбиты - это просто слои π.

Рама расслоение F ( E ) можно придать естественную топологию и расслоение структуры определяется , что из Е . Пусть ( U _я , φ _я ) является локальным тривиализация из E . Тогда для каждого x ∈ U _i существует линейный изоморфизм φ _{i , x}  : E _x → R ^k . Эти данные определяют биекцию

${\displaystyle \psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbf {R} )}$

дано

${\displaystyle \psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).}$

С помощью этих биекций каждому π ⁻¹ ( U _i ) может быть задана топология U _i × GL ( k , R ). Топология на F ( E ) - это финальная топология, коиндуцированная отображениями включения π ⁻¹ ( U _i ) → F ( E ).

Со всеми приведенными выше данными расслоение фреймов F ( E ) становится главным расслоением над X со структурной группой GL ( k , R ) и локальной тривиализацией ({ U _i }, {ψ _i }). Можно проверить , что функции перехода от F ( E ) являются такими же , как Е .

Выше всех работ в гладкой категории , а также: если Е является гладким векторным расслоением над гладким многообразием М , то рама расслоение Е можно придать структуру гладкого главного расслоения над M .

Связанные векторные пучки [ править ]

Векторное расслоение E и его расслоение фреймов F ( E ) являются ассоциированными расслоениями . Одно определяет другое. Расслоение фреймов F ( E ) может быть построено из E, как указано выше, или, более абстрактно, с использованием теоремы построения расслоения . В последнем методе F ( E ) представляет собой расслоение с той же базой, структурной группой, тривиализуемыми окрестностями и функциями перехода, что и E, но с абстрактным слоем GL ( k , R ), где действие структурной группы GL ( k , R ) на слое GL ( k , R) является умножением слева.

Для любого линейного представления ρ: GL ( k , R ) → GL ( V , F ) существует векторное расслоение

${\displaystyle \mathrm {F} (E)\times _{\rho }V}$

ассоциированный с F ( E ), который задается произведением F ( E ) × V по модулю отношения эквивалентности ( pg , v ) ~ ( p , ρ ( g ) v ) для всех g в GL ( k , R ). Обозначим классы эквивалентности через [ p , v ].

Векторное расслоение Е является естественным изоморфно расслоению F ( E ) × _р R ^к , где ρ представляет собой фундаментальное представление GL ( K , R ) на R ^к . Изоморфизм задается формулой

${\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}$

где v - вектор в R ^k, а p  : R ^k → E _x - фрейм в x . Легко проверить, что эта карта определена правильно .

Любое векторное расслоение, ассоциированное с E, может быть задано указанной выше конструкцией. Например, двойственное расслоение к E задается формулой F ( E ) × _{ρ *} ( R ^k ) *, где ρ * - двойственное к фундаментальному представлению. Тензорные пучки из Й могут быть сконструированы таким же образом.

Связка касательных кадров [ править ]

Расслоение касательной кадров (или просто расслоение кадра ) из гладкого многообразия M есть расслоение кадров , связанное с касательным расслоением из М . Связку фреймов M часто обозначают F M или GL ( M ), а не F ( TM ). Если М является п - мерным , то касательное расслоение имеет ранг п , поэтому кадр расслоение M является главным GL ( п , R ) расслоения над M .

Гладкие рамки [ править ]

Локальные участки из репера пучка М называются гладкими кадры на М . Теорема о поперечном сечении для главных расслоений утверждает, что расслоение реперов тривиально над любым открытым множеством в U в M, допускающим гладкий репер. Для гладкого фрейма s  : U → F U тривиализация ψ: F U → U × GL ( n , R ) задается формулой

${\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}$

где p - фрейм в точке x . Отсюда следует, что многообразие параллелизуемо тогда и только тогда, когда расслоение реперов M допускает глобальное сечение.

Поскольку касательное расслоение к M тривиализуемо над координатными окрестностями M, так же и расслоение реперов. Фактически, для любой координатной окрестности U с координатами ( x ¹ ,…, x ⁿ ) координатные векторные поля

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)}$

Определим гладкую раму на U . Одним из преимуществ работы со связками кадров является то, что они позволяют работать с кадрами, отличными от кадров координат; можно выбрать раму, адаптированную к поставленной задаче. Иногда это называют методом перемещения кадров .

Форма припоя [ править ]

Рама расслоение многообразия М представляет собой особый тип основного пучка в том смысле , что его геометрия фундаментально связана с геометрией М . Это отношение может быть выражено с помощью векторной 1-формы на F M, называемой формой припоя (также известной как фундаментальная или тавтологическая 1-форма ). Пусть x - точка многообразия M, а p - шкала в x , так что

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M}$

является линейным изоморфизмом R ⁿ с касательным пространством к M в точке x . Форма припоя F M - это R ⁿ -значная 1-форма θ, определяемая формулой

${\displaystyle \theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )}$

где ξ - касательный вектор к F M в точке ( x , p ), а p ⁻¹  : T _x M  →  R ⁿ - обратное отображение каркаса, а dπ - дифференциал отображения проекции π: F M → М . Форма припоя горизонтальна в том смысле, что обращается в нуль на векторах, касательных к слоям π, и правая эквивариантна в том смысле, что

${\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta }$

где R _g - правый сдвиг на g ∈ GL ( n , R ). Форма с этими свойствами, называется основными или тензориальными формами на F M . Такие формы в 1-1 переписки с ТМ -значной 1-формы на М , которые, в свою очередь, в соответствии с 1-1 гладким пучком отображает TM → TM над M . В этом свете θ - это просто карта идентичности на TM .

В качестве соглашения об именовании термин «тавтологическая одноформа» обычно зарезервирован для случая, когда форма имеет каноническое определение, как здесь, в то время как «форма припоя» более подходит для тех случаев, когда форма не определена канонически. . Это соглашение здесь не соблюдается.

Комплект ортонормированных кадров [ править ]

Если векторное расслоение E снабжено метрикой риманова расслоения, то каждый слой E _x является не только векторным пространством, но и пространством внутреннего произведения . Тогда можно говорить о множестве всех ортонормированных систем отсчета для E _x . Ортонормированный фрейм для E _x - это упорядоченный ортонормированный базис для E _x или, что то же самое, линейная изометрия

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}}$

где R ^k снабжен стандартной евклидовой метрикой . Ортогональная группа О ( к ) свободно и транзитивно действует на множестве всех кадров ортонормирован- через правые композиции. Другими словами, множество всех ортонормированных реперов является правым O ( k ) -торсором .

Ортонормированный репер пучок из Е , обозначается Р _О ( Е ), представляет собой набор из всех ортонормреперов в каждой точке х в базовом пространстве X . Он может быть построен способом, полностью аналогичным обычному комплекту кадров. Ортонормированный репер расслоение ранга к риманову векторного расслоение Е → Х является главным О ( K ) -расслоение над Й . Опять же, конструкция работает так же хорошо в гладкой категории.

Если векторное расслоение Е является ориентируемой , то можно определить ориентированный ортонормированный кадр пучок из Е , F обозначается _SO ( Е ), в качестве главного SO ( K ) -расслоения всех положительно ориентированных ортонормрепер.

Если M - n -мерное риманово многообразие , то расслоение ортонормированных реперов M , обозначаемое F _O M или O ( M ), является ортонормированным расслоением реперов, ассоциированным с касательным расслоением к M (которое по определению снабжено римановой метрикой ). Если М ориентируемы, то одна также имеют ориентированный ортонормированный репер расслоения F _SO M .

Для риманова векторного расслоения E расслоение ортонормированных реперов является главным O ( k ) - подрасслоением общего линейного расслоения реперов. Другими словами, карта включения

${\displaystyle i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)}$

- отображение главного расслоения . Говорят, что F _O ( E ) является редукцией структурной группы F _GL ( E ) от GL ( k , R ) до O ( k ).

G -структуры [ править ]

Если гладкое многообразие M имеет дополнительную структуру, часто естественно рассматривать подрасслоение полного расслоения шкалы M, которое адаптировано к данной структуре. Например, если М риманова многообразия мы видели выше , что естественно рассматривать ортонормированный репер пучок М . Расслоение ортонормированных реперов - это просто редукция структурной группы F _GL ( M ) к ортогональной группе O ( n ).

В общем, если М является гладким п -многообразием и G является подгруппой Ли из GL ( п , Р ) определим G -структуру на M , чтобы быть уменьшение структурной группы из F _GL ( M ) к G . В явном виде это главное G -расслоение F _G ( M ) над M вместе с G -эквивариантным отображением расслоения

${\displaystyle {\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)}$

над M .

На этом языке, риманова метрика на М порождает О ( п ) -структуры на М . Ниже приведены некоторые другие примеры.

• Каждое ориентированное многообразие имеет ориентированный кадр пучок , который является лишь GL ⁺ ( п , Р ) -структура на М .
• Форма объема на М определяет SL ( п , R ) -структуры на М .
• 2 n -мерное симплектическое многообразие имеет естественную Sp (2 n , R ) -структуру.
• 2 n -мерное комплексное или почти комплексное многообразие имеет естественную GL ( n , C ) -структуру.

Во многих из этих случаев, G -структура на М однозначно определяет соответствующую структуру на М . Например, SL ( п , Р ) -структура на М определяет форму объема на М . Однако в некоторых случаях, например для симплектических и комплексных многообразий, требуется дополнительное условие интегрируемости . Sp (2 n , R ) -структура на M однозначно определяет невырожденную 2-форму на M , но для того, чтобы M была симплектической, эта 2-форма также должна быть замкнутой .

Ссылки [ править ]

• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (Новое издание), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 2 августа 2008 г.
• Штернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) Изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4