Пятиугольный икоситетраэдр

Пятиугольный икоситетраэдр
(Щелкните ccw* или cw для вращения моделей.)*
Тип	Каталонский
Обозначение Конвея	gC
Диаграмма Кокстера
Многоугольник лица	неправильный пятиугольник
Лица	24
Края	60
Вершины	38 = 6 + 8 + 24
Конфигурация лица	V3.3.3.3.4
Двугранный угол	136 ° 18 '33'
Группа симметрии	O , ½BC ₃ , [4,3] ⁺ , 432
Двойной многогранник	курносый куб
Характеристики	выпуклый , гранно-транзитивный , киральный
Сеть

3d модель пятиугольного икоситетраэдра

В геометрии , A пятиугольная icositetrahedron или пятиугольная icosikaitetrahedron ^[1] является Каталонским твердым веществом , которое является двойной из курносой кубы . В кристаллографии его еще называют гироидом . ^[2]^[3]

Он имеет две различные формы, которые являются зеркальным отображением (или « энантиоморфами ») друг друга.

Строительство [ править ]

Пятиугольный икоситетраэдр можно построить из курносого куба, не взяв двойника. Квадратные пирамиды добавляются к шести квадратным граням курносого куба, а треугольные пирамиды добавляются к восьми треугольным граням, не имеющим общего ребра с квадратом. Высота пирамиды настроена так, чтобы сделать их копланарными с другими 24 треугольными гранями курносого куба. В результате получился пятиугольный икоситетраэдр.

Декартовы координаты [ править ]

Обозначим константу трибоначчи через . (См. Курносый куб для геометрического объяснения постоянной трибоначчи.) Тогда декартовы координаты для 38 вершин пятиугольного икоситетраэдра с центром в начале координат выглядят следующим образом: ${\ Displaystyle т \ приблизительно 1,839 \, 286 \, 755 \, 21}$

12 четных перестановок (± 1, ± (2t + 1), ± t ² ) с четным числом знаков минус
12 нечетных перестановок (± 1, ± (2t + 1), ± t ² ) с нечетным числом знаков минус
6 точек (± t ³ , 0, 0), (0, ± t ³ , 0) и (0, 0, ± t ³ )
8 баллов (± t ² , ± t ² , ± t ² )

Геометрия [ править ]

Пятиугольные грани имеют четыре угла и один угол . Пентагон имеет три коротких края единичной длины и два длинных края длины . Острый угол находится между двумя длинными краями. Двугранный угол равен . ${\ Displaystyle \ arccos ((1-т) / 2) \ приблизительно 114,812 \, 074 \, 477 \, 90 ^ {\ circ}}$ $\arccos(2-t)\approx 80.751\,702\,088\,39^{\circ }$ $(t+1)/2\approx 1.419\,643\,377\,607\,08$ $\arccos(-1/(t^{2}-2))\approx 136.309\,232\,892\,32^{\circ }$

Если его двойной курносый куб имеет единичную длину ребра, его площадь поверхности и объем равны: ^[4]

{\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}&&\approx 19.299\,94\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}&&\approx 7.4474\end{aligned}}

Ортогональные проекции [ править ]

Пятиугольная icositetrahedron имеет три положения симметрии, два сосредоточенные на вершинах, и один на midedge.

Ортогональные проекции
Проективная симметрия	[3]	[4] ⁺	[2]
Изображение
Двойное изображение

Варианты [ править ]

Изоэдральные варианты с той же хирально-октаэдрической симметрией могут быть построены с пятиугольными гранями, имеющими 3 длины ребра.

Этот показанный вариант может быть построен путем добавления пирамид к 6 квадратным граням и 8 треугольным граням курносого куба , так что новые треугольные грани с 3 копланарными треугольниками сливаются в идентичные грани пятиугольника.

Курносый куб с увеличенными пирамидами и объединенными гранями

Пятиугольный икоситетраэдр

Сеть

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Сферический пятиугольный икоситетраэдр

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности многогранников и мозаик пятиугольников с конфигурациями граней (V3.3.3.3. N ). (Последовательность переходит в разбиение гиперболической плоскости на любое n .) Эти транзитивные по граням фигуры обладают (n32) вращательной симметрией .

n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n v т е
Симметрия n 32	Сферический				Евклидово	Компактный гиперболический		Paracomp.
Симметрия n 32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносые фигуры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фигуры гироскопа
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Пятиугольная icositetrahedron занимает второе место в серии двойных курносых многогранников и разбиений с конфигурацией лица V3.3.4.3. п .

4 n 2 мутации симметрии курносых мозаик : 3.3.4.3.n v т е
Симметрия 4 n 2	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия 4 n 2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Курносые фигуры
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Фигуры гироскопа
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Пентагональный икоситетраэдр является одним из семейства двойственных однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 ^1,1 }	т {3,4} т {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 ^1,1 }

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Ссылки [ править ]

^ Conway, Симметрии вещей, с.284
^ http://www.metafysica.nl/turing/promorph_crystals.html
^ http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm
^ Эрик В. Вайсштейн , Пентагональный икоситетраэдр ( каталонское твердое тело ) в MathWorld .

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
Веннингер, Магнус (1983), двойные модели , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, Пентагональный икоситетраэдр)
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 287, пятиугольный икосикаитетраэдр )

Внешние ссылки [ править ]

Пентагональный икоситетраэдр - интерактивная модель многогранника

[1] Conway, Симметрии вещей, с.284

[2] ttp://www.metafysica.nl/turing/promorph_crystals.html

[3] ttp://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm

[4] Эрик В. Вайсштейн , Пентагональный икоситетраэдр ( каталонское твердое тело ) в MathWorld .

[1]