Периодические граничные условия

Периодические граничные условия в 2D

Периодические граничные условия (PBC) - это набор граничных условий, которые часто выбираются для аппроксимации большой (бесконечной) системы с помощью небольшой части, называемой элементарной ячейкой . КПБ часто используются в компьютерном моделировании и математических моделях . Топология двумерной КПБ равна из карты мира некоторых видеоигр; геометрия элементарной ячейки удовлетворяет идеальному двумерному мозаичному изображению, и когда объект проходит через одну сторону элементарной ячейки, он снова появляется на противоположной стороне с той же скоростью. С точки зрения топологии, пространство, образованное двумерными КПБ, можно представить как отображаемое на тор (компактификация ). Большие системы, аппроксимируемые PBC, состоят из бесконечного числа элементарных ячеек. В компьютерном моделировании один из них является исходным блоком моделирования, а другие - копиями, называемыми изображениями . Во время моделирования необходимо записывать и распространять только свойства исходного блока моделирования. Соглашение о минимальном изображении - это обычная форма учета частиц PBC, в которой каждая отдельная частица в моделировании взаимодействует с ближайшим изображением остальных частиц в системе.

Один пример периодических граничных условий может быть определен в соответствии с гладкими действительными функциями следующим образом: ${\ Displaystyle \ phi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial x_ {1} ^ {m}}} \ phi (a_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}) = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial x_ {1} ^ {m}}} \ phi (b_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}),}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial x_ {2} ^ {m}}} \ phi (x_ {1}, a_ {2}, ..., x_ {n}) = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial x_ {2} ^ {m}}} \ phi (x_ {1}, b_ {2}, ..., x_ {n}),}

{\ displaystyle ...,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial x_ {n} ^ {m}}} \ phi (x_ {1}, x_ {2}, ..., a_ {n}) = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial x_ {n} ^ {m}}} \ phi (x_ {1}, x_ {2}, ..., b_ {n})}

для всех m = 0, 1, 2, ... и для постоянных и . ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$

В моделировании молекулярной динамики PBC обычно применяется для расчета свойств объемных газов, жидкостей, кристаллов или смесей. Обычное приложение использует PBC для моделирования сольватированных макромолекул в ванне с явным растворителем . Граничные условия Борна – фон Кармана являются периодическими граничными условиями для специальной системы.

В электромагнетизме PBC может применяться для различных типов сеток для анализа электромагнитных свойств периодических структур. ^[1]

Требования и артефакты [ править ]

Трехмерные КПБ полезны для приближения поведения макромасштабных систем газов, жидкостей и твердых тел. Трехмерные КПС также можно использовать для моделирования плоских поверхностей, и в этом случае двумерные КПБ часто более подходят. Двумерные КПБ для плоских поверхностей также называются граничными условиями плиты ; в этом случае PBC используются для двух декартовых координат (например, x и y), а третья координата (z) простирается до бесконечности.

PBC могут использоваться вместе с методами суммирования Эвальда (например, методом Эвальда с сеткой частиц) для расчета электростатических сил в системе. Однако PBC также вносят корреляционные артефакты, которые не учитывают трансляционную инвариантность системы ^[2] и требуют ограничений на состав и размер блока моделирования.

При моделировании твердых систем поле деформации, возникающее из-за любой неоднородности в системе, будет искусственно усечено и модифицировано периодической границей. Точно так же длина волны звука или ударных волн и фононов в системе ограничена размером ящика.

В симуляциях, содержащих ионные (кулоновские) взаимодействия, суммарный электростатический заряд системы должен быть равен нулю, чтобы избежать суммирования до бесконечного заряда при применении PBC. В некоторых применениях целесообразно получить нейтральность, добавляя ионы, такие как натрий или хлорид (в качестве противоионов ) в соответствующем количестве, если интересующие молекулы заряжены. Иногда ионы даже добавляют в систему, в которой интересующие молекулы нейтральны, чтобы приблизиться к ионной силе.раствора, в котором молекулы появляются естественным образом. Соблюдение соглашения о минимальном изображении также обычно требует, чтобы сферический радиус отсечения для несвязанных сил составлял не более половины длины одной стороны кубической коробки. Даже в электростатически нейтральных системах суммарный дипольный момент элементарной ячейки может вносить ложную энергию объемной поверхности, эквивалентную пироэлектричеству в полярных кристаллах .

Размер окна моделирования также должен быть достаточно большим, чтобы предотвратить возникновение периодических артефактов из-за нефизической топологии моделирования. В слишком маленьком блоке макромолекула может взаимодействовать со своим собственным изображением в соседнем блоке, что функционально эквивалентно взаимодействию «головы» молекулы со своим собственным «хвостом». Это приводит к крайне нефизической динамике большинства макромолекул, хотя величина последствий и, следовательно, соответствующий размер ящика по отношению к размеру макромолекул зависит от предполагаемой продолжительности моделирования, желаемой точности и ожидаемой динамики. Например, моделирование сворачивания белка, которое начинается с нативного состоянияможет претерпевать меньшие колебания и, следовательно, может не требовать такого большого ящика, как моделирование, которое начинается со случайной конформации катушки . Однако влияние сольватационных оболочек на наблюдаемую динамику - в моделировании или в эксперименте - до конца не изучено. Общая рекомендация, основанная на моделировании ДНК, состоит в том, чтобы требовать минимум 1 нм растворителя вокруг интересующих молекул во всех измерениях. ^[3]

Практическая реализация: непрерывность и минимальное изображение [ править ]

Объект, прошедший через одну грань симуляционного бокса, должен снова войти через противоположную грань - или это должно сделать его изображение. Очевидно, необходимо принять стратегическое решение: мы (А) «складываем» частицы в коробку моделирования, когда они ее покидают, или мы (Б) позволяем им продолжать (но вычисляем взаимодействия с ближайшими изображениями)? Решение не влияет на ход моделирования, но если пользователя интересуют средние смещения, длины диффузии и т. Д., Второй вариант предпочтительнее.

(A) Ограничьте координаты частицы рамкой моделирования [ править ]

Для реализации алгоритма PBC необходимо как минимум два шага.

Ограничение координат - это простая операция, которую можно описать с помощью следующего кода, где x_size - это длина прямоугольника в одном направлении (при условии, что ортогональная элементарная ячейка с центром в начале координат), а x - это положение частицы в том же направлении. :

если  ( periodic_x ) ,  то ,  если  ( х  <  - x_size  *  0,5 )  х  =  х  +  x_size ,  если  ( х  > =  x_size  *  0,5 )  х  =  х  -  x_size конец , если

Расстояние и вектор между объектами должны соответствовать критерию минимального изображения. Это может быть реализовано в соответствии со следующим кодом (в случае одномерной системы, где dx - вектор направления расстояния от объекта i до объекта j):

if  ( period_x )  then dx = x ( j ) - x ( i ) if ( dx > x_size * 0.5 ) dx = dx - x_size if ( dx <= - x_size * 0.5 ) dx = dx + x_size end if

Для трехмерных КПБ обе операции следует повторить во всех трех измерениях.

Эти операции могут быть записаны в гораздо более компактной форме для ромбических ячеек, если начало координат сдвинуто в угол прямоугольника. Тогда у нас есть, в одном измерении, для позиций и расстояний соответственно:

! После обновления x (i) без учета PBC: x ( i )  =  x ( i )  -  floor ( x ( i )  /  x_size )  *  x_size  ! Для коробки с началом в левой нижней вершине ! Работает для x, лежащих в любом изображении. dx  =  x ( j )  -  x ( i ) dx  =  dx  -  nint ( dx  /  x_size )  *  x_size

(B) Не ограничивайте координаты частиц [ править ]

Предполагая, что поле ромбической симуляции с началом в нижнем левом переднем углу, минимальное соглашение об изображении для расчета эффективных расстояний между частицами может быть вычислено с помощью функции «ближайшего целого числа», как показано выше, здесь как код C / C ++:

x_rsize  =  1.0  /  x_size ;  // вычисляем только когда размер коробки установлен или измененdx  =  x [ j ]  -  x [ i ]; dx  - =  x_size  *  nearint ( dx  *  x_rsize );

Самый быстрый способ выполнения этой операции зависит от архитектуры процессора. Если знак dx не актуален, метод

дх  =  фабс ( дх ); dx  - =  static_cast < int > ( dx  *  x_rsize  +  0.5 )  *  x_size ;

был признан самым быстрым на процессорах x86-64 в 2013 г. ^[4]

Для неоромбических ячеек ситуация более сложная. ^[5]

При моделировании ионных систем могут потребоваться более сложные операции для обработки дальнодействующих кулоновских взаимодействий, охватывающих несколько прямоугольных изображений, например суммирование Эвальда .

Геометрия элементарной ячейки [ править ]

PBC требует, чтобы элементарная ячейка имела форму, которая идеально вписывается в трехмерный кристалл. Таким образом, нельзя использовать сферическую или эллиптическую каплю. Куба или прямоугольная призма является наиболее интуитивным и общим выбором, но может быть вычислительно дорого из - за ненужные количества растворителей молекул в углах, удаленных от центральных макромолекул. Распространенной альтернативой, требующей меньшего объема, является усеченный октаэдр .

Общий размер [ править ]

Для моделирования в двухмерном и трехмерном пространстве чаще всего используется кубическое периодическое граничное условие, поскольку оно является наиболее простым в кодировании. Однако при компьютерном моделировании систем большой размерности гиперкубическое периодическое граничное условие может быть менее эффективным, поскольку углы занимают большую часть пространства. В общем измерении элементарная ячейка может рассматриваться как ячейка Вигнера-Зейтца определенной упаковки решетки . ^[6] Например, гиперкубическое периодическое граничное условие соответствует упаковке гиперкубической решетки. В этом случае предпочтительно выбрать элементарную ячейку, которая соответствует плотной упаковке этого размера. В 4D это решетка D4 ; и решетка E8в 8-мерном. Реализация этих периодических граничных условий большой размерности эквивалентна подходам с исправлением ошибок в теории информации . ^[7]

Сохраненные свойства [ править ]

При периодических граничных условиях импульс системы сохраняется, а угловой момент - нет. Традиционное объяснение этого факта основано на теореме Нётер , которая утверждает, что сохранение углового момента следует из вращательной инвариантности лагранжиана . Однако было показано, что такой подход непоследователен: он не может объяснить отсутствие сохранения углового момента одиночной частицы, движущейся в периодической ячейке. ^[8]Лагранжиан частицы постоянен и, следовательно, инвариантен относительно вращения, в то время как угловой момент частицы не сохраняется. Это противоречие вызвано тем, что теорема Нётер обычно формулируется для замкнутых систем. Периодическая ячейка обменивается массовым импульсом, угловым моментом и энергией с соседними ячейками.

При применении к микроканоническому ансамблю (постоянное число частиц, объем и энергия, сокращенно NVE) использование PBC вместо отражающих стен немного изменяет выборку моделирования из-за сохранения общего линейного импульса и положения центра масс; этот ансамбль получил название « ансамбль молекулярной динамики » ^[9] или ансамбль NVEPG. ^[10] Эти дополнительные сохраняющиеся величины вносят незначительные артефакты, связанные со статистико-механическим определением температуры , отклонением распределений скоростей от распределения Больцмана., и нарушения равнораспределения для систем, содержащих частицы с неоднородными массами . Самый простой из этих эффектов состоит в том, что система из N частиц будет вести себя в ансамбле молекулярной динамики как система из N-1 частиц. Эти артефакты имеют поддающиеся количественной оценке последствия для небольших игрушечных систем, содержащих только совершенно твердые частицы; они не были глубоко изучены для стандартных биомолекулярных симуляций, но, учитывая размер таких систем, эффекты будут в значительной степени незначительными. ^[10]

См. Также [ править ]

Винтовые граничные условия
Молекулярное моделирование
Программное обеспечение для моделирования молекулярной механики

Заметки [ править ]

^ Mai, W .; Li, P .; Bao, H .; Li, X .; Jiang, L .; Hu, J .; Вернер, Д.Х. (апрель 2019 г.). «Призменный DGTD с упрощенным периодическим граничным условием для анализа FSS с D2n-симметрией в прямоугольном массиве при нормальном падении». Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении . 18 (4): 771–775. DOI : 10,1109 / LAWP.2019.2902340 . ISSN 1536-1225 .
^ Cheatham, TE; Миллер, JH; Fox, T .; Дарден, Пенсильвания; Коллман, Пенсильвания (1995). «Моделирование молекулярной динамики на сольватированных биомолекулярных системах: метод Эвальда с сеткой частиц приводит к стабильным траекториям ДНК, РНК и белков». Журнал Американского химического общества . 117 (14): 4193–4194. DOI : 10.1021 / ja00119a045 .
^ де Соуза, Онтарио; Орнштейн, Р.Л. (1997). «Влияние размера периодической коробки на моделирование водной молекулярной динамики додекамера ДНК с помощью метода Эвальда с частицами-сеткой» . Biophys J . 72 (6): 2395–2397. DOI : 10.1016 / s0006-3495 (97) 78884-2 . PMC 1184438 . PMID 9168016 .
^ Дейтерс, Ульрих К. (2013). «Эффективное кодирование с минимальным условием изображения» . Z. Phys. Chem . 227 (2–3): 345–352. DOI : 10.1524 / zpch.2013.0311 .
^ Соглашение о минимальном изображении в некубических ячейках моделирования
^ Бертье, Людовик; Шарбонно, Патрик; Кунду, Джойджит (31 августа 2020 г.). «Конечномерный остаток спинодальной критичности над динамическим стеклованием». Письма с физическим обзором . 125 (10): 108001. arXiv : 1912.11510 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.125.108001 .
^ Conway, J .; Слоан, Н. (март 1982 г.). «Быстрое квантование и декодирование и алгоритмы для решетчатых квантователей и кодов». IEEE Transactions по теории информации . 28 (2): 227–232. CiteSeerX 10.1.1.392.249 . DOI : 10.1109 / TIT.1982.1056484 .
↑ Кузькин, В.А. (2015). «О балансе момента количества движения в системах частиц с периодическими граничными условиями». ЗАММ . 95 (11): 1290–1295. arXiv : 1312.7008 . DOI : 10.1002 / zamm.201400045 .
^ Эрпенбек, JJ; Вуд, WW (1977). Берн, Б. Дж. (Ред.). Статистическая механика, часть B: процессы, зависящие от времени . Современная теоретическая химия. Том 6. Нью-Йорк: Пленум. С. 1–40. ISBN 0-306-33506-9. |volume=есть дополнительный текст ( справка )
^ a b Рубашки, РБ; Берт, SR; Джонсон, AM (2006). «Периодическое граничное условие вызвало нарушение принципа равнораспределения и другие кинетические эффекты конечного размера образца в классическом моделировании молекулярной динамики твердых сфер» . J Chem Phys . 125 (16): 164102. DOI : 10,1063 / 1,2359432 . PMID 17092058 .

Ссылки [ править ]

Рапапорт, округ Колумбия (2004). Искусство моделирования молекулярной динамики (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-82568-7.См. Особенно pp15–20.
Шлик, Т. (2002). Молекулярное моделирование и моделирование: междисциплинарное руководство . Междисциплинарная прикладная математика. т. 21. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-95404-X. |volume=есть дополнительный текст ( справка )CS1 maint: discouraged parameter (link)См. Особенно pp272–6.

[1] Mai, W .; Li, P .; Bao, H .; Li, X .; Jiang, L .; Hu, J .; Вернер, Д.Х. (апрель 2019 г.). «Призменный DGTD с упрощенным периодическим граничным условием для анализа FSS с D2n-симметрией в прямоугольном массиве при нормальном падении». Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении . 18 (4): 771–775. DOI : 10,1109 / LAWP.2019.2902340 . ISSN 1536-1225 .

[Cheatham-2] Cheatham, TE; Миллер, JH; Fox, T .; Дарден, Пенсильвания; Коллман, Пенсильвания (1995). «Моделирование молекулярной динамики на сольватированных биомолекулярных системах: метод Эвальда с сеткой частиц приводит к стабильным траекториям ДНК, РНК и белков». Журнал Американского химического общества . 117 (14): 4193–4194. DOI : 10.1021 / ja00119a045 .

[de_Souza-3] де Соуза, Онтарио; Орнштейн, Р.Л. (1997). «Влияние размера периодической коробки на моделирование водной молекулярной динамики додекамера ДНК с помощью метода Эвальда с частицами-сеткой» . Biophys J . 72 (6): 2395–2397. DOI : 10.1016 / s0006-3495 (97) 78884-2 . PMC 1184438 . PMID 9168016 .

[4] Дейтерс, Ульрих К. (2013). «Эффективное кодирование с минимальным условием изображения» . Z. Phys. Chem . 227 (2–3): 345–352. DOI : 10.1524 / zpch.2013.0311 .

[5] Соглашение о минимальном изображении в некубических ячейках моделирования

[kundu2020glass-6] Бертье, Людовик; Шарбонно, Патрик; Кунду, Джойджит (31 августа 2020 г.). «Конечномерный остаток спинодальной критичности над динамическим стеклованием». Письма с физическим обзором . 125 (10): 108001. arXiv : 1912.11510 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.125.108001 .

[conway1982quantization-7] Conway, J .; Слоан, Н. (март 1982 г.). «Быстрое квантование и декодирование и алгоритмы для решетчатых квантователей и кодов». IEEE Transactions по теории информации . 28 (2): 227–232. CiteSeerX 10.1.1.392.249 . DOI : 10.1109 / TIT.1982.1056484 .

[Kuzkin-8] Кузькин, В.А. (2015). «О балансе момента количества движения в системах частиц с периодическими граничными условиями». ЗАММ . 95 (11): 1290–1295. arXiv : 1312.7008 . DOI : 10.1002 / zamm.201400045 .

[Erpenbeck-9] Эрпенбек, JJ; Вуд, WW (1977). Берн, Б. Дж. (Ред.). Статистическая механика, часть B: процессы, зависящие от времени . Современная теоретическая химия. Том 6. Нью-Йорк: Пленум. С. 1–40. ISBN 0-306-33506-9. |volume=есть дополнительный текст ( справка )

[Shirts-10] Рубашки, РБ; Берт, SR; Джонсон, AM (2006). «Периодическое граничное условие вызвало нарушение принципа равнораспределения и другие кинетические эффекты конечного размера образца в классическом моделировании молекулярной динамики твердых сфер» . J Chem Phys . 125 (16): 164102. DOI : 10,1063 / 1,2359432 . PMID 17092058 .

[1]