Плитка вертушка

Викискладе есть медиафайлы по теме плитки Вертушка .

В геометрии , вертушки тайлингов являются непериодическими тайлингами , определенный Чарльз Radin и основанный на конструкцию из - за Джон Conway . Это первые известные непериодические мозаики, каждая из которых обладает тем свойством, что их плитки появляются в бесконечном множестве ориентаций.

Тесселяция Конвея [ править ]

Разложение треугольника Конвея на гомотетические меньшие треугольники.

Позвольте быть прямоугольным треугольником с длиной стороны , и . Конвей заметил, что его изображение можно разделить на пять изометрических копий с помощью коэффициента увеличения . ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {5}}}$

Возрастающая последовательность треугольников, определяющая мозаику Конвея на плоскости.

Соответствующим образом изменяя масштаб и перемещая / вращая, эту операцию можно повторять для получения бесконечной возрастающей последовательности растущих треугольников, все из которых сделаны из изометрических копий . Объединение всех этих треугольников дает мозаику всей плоскости изометрическими копиями . ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$

В этой черепице, изометрические копии появляются в бесконечно много ориентации (это связанно с углами и из , как , не соизмеримы с ). Несмотря на это, все вершины имеют рациональные координаты. ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ arctan (1/2)}$ $\arctan(2)$ $T$ $\pi$

Вертушки [ править ]

Плитка с вертушкой: плитки можно сгруппировать в наборы по пять (толстые линии), чтобы сформировать новую плитку с вертушкой (вплоть до изменения масштаба).

Радин полагался на приведенную выше конструкцию Конвея для определения мозаики вертушки. Формально плитки вертушки - это плитки, плитки которых являются изометрическими копиями , в которых плитка может пересекать другую плитку только либо на всей стороне, либо на стороне половинной длины , и такие, что выполняется следующее свойство. Для любой плитки вертушки существует мозаика вертушки, которая после того, как каждая плитка разделена на пять в соответствии с конструкцией Конвея и результат увеличивается в несколько раз , равна . Другими словами, плитки любых вертушек могут быть сгруппированы по пять штук в гомотетические плитки, так что эти гомотетические плитки образуют (с точностью до масштабирования) новую плитку с вертушками. $T$ $2$ $P$ $P'$ ${\sqrt {5}}$ $P$

Плитка, построенная Конвеем, представляет собой плитку с вертушками, но существует бесчисленное множество других различных плиток с вертушками. Все они локально неразличимы ( т. Е. Имеют одинаковые конечные участки). Все они разделяют с тайлингом Конвея свойство, состоящее в том, что плитки появляются в бесконечном множестве ориентаций (а вершины имеют рациональные координаты).

Главный результат, доказанный Радином, состоит в том, что существует конечный (хотя и очень большой) набор так называемых прототипов, каждый из которых получается раскрашиванием сторон , так что мозаики вертушки в точности представляют собой мозаики плоскости изометрическими копиями эти прототипы с условием, что всякий раз, когда две копии пересекаются в точке, они будут иметь одинаковый цвет в этой точке. ^[1] С точки зрения символической динамики это означает, что тилинги с вертушками образуют софический подсдвиг . $T$

Обобщения [ править ]

Радин и Конвей предложили трехмерный аналог, получивший название квавверзальной мозаики . ^[2] Есть и другие варианты и обобщения исходной идеи. ^[3]

Вертушка фрактал

Фрактал получается путем итеративного деления на пять изометрических копий, следуя конструкции Конвея, и отбрасывая средний треугольник ( до бесконечности ). Этот «вертушечный фрактал» имеет размерность Хаусдорфа . $T$ $d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt {5}}}}\approx 1.7227$

Использование в архитектуре [ править ]

Фасад из песчаника на площади Федерации

Площадь Федерации, строительный комплекс в Мельбурне, Австралия, украшен плиткой с вертушками. В проекте узор плитки используется для создания структурного каркаса фасадов, что позволяет изготавливать фасады за пределами объекта, на заводе, а затем возводить их для формирования фасадов. Система облицовки вертушками была основана на единственном треугольном элементе, состоящем из цинка, перфорированного цинка, песчаника или стекла (известном как плитка), который был соединен с 4 другими подобными плитками на алюминиевой раме, чтобы сформировать «панель». Пять панелей были прикреплены к каркасу из оцинкованной стали, образуя «мега-панель», которую затем подняли на опорные рамы для фасада. Поворотное расположение плиток придает фасадам более хаотичное и неопределенное композиционное качество, даже несмотря на то, что процесс его строительства основан на предварительном изготовлении и повторении.

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Radin, C. (май 1994). "Вертушки на плоскости". Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . DOI : 10.2307 / 2118575 . JSTOR 2118575 .
^ Радин, К., Conway, J., Quaquaversal плиточные и севообороты, препринт, Princeton University Press, 1995
^ Sadun, L. (январь 1998). «Некоторые обобщения вертушек». Дискретная и вычислительная геометрия . 20 (1): 79–110. arXiv : math / 9712263 . CiteSeerX 10.1.1.241.1917 . DOI : 10.1007 / pl00009379 .

Внешние ссылки [ править ]

Вертушка в энциклопедии Tilings
Динамическая вертушка в GeoGebra

[1] Перейти ↑ Radin, C. (май 1994). "Вертушки на плоскости". Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . DOI : 10.2307 / 2118575 . JSTOR 2118575 .

[2] Радин, К., Conway, J., Quaquaversal плиточные и севообороты, препринт, Princeton University Press, 1995

[3] Sadun, L. (январь 1998). «Некоторые обобщения вертушек». Дискретная и вычислительная геометрия . 20 (1): 79–110. arXiv : math / 9712263 . CiteSeerX 10.1.1.241.1917 . DOI : 10.1007 / pl00009379 .

[1]