Теорема Планшереля

В математике , то теорема Планшереля (иногда называется тождественным Парсеваль Планшерель ^[1] ) является результатом в гармоническом анализе , доказанном Мишель Планшерель в 1910 г. В нем говорится , что интеграл от квадрата модуля некоторой функции равен интегралу квадрата модуль его частотного спектра . То есть, если - функция на действительной прямой, а - ее частотный спектр, то ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi)}$

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | е (х) | ^ {2} \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ widehat {f} } (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi}

( Уравнение 1 )

Более точная формулировка является то , что если функция в обоих пространствах Lp и , то ее преобразование Фурье в , и преобразование Фурье отображение является изометрией по отношению к L ² нормы. Это означает, что отображение преобразования Фурье, ограниченное до, имеет уникальное расширение до линейного изометрического отображения , иногда называемого преобразованием Планшереля. Эта изометрия на самом деле является унитарной картой. Фактически это позволяет говорить о преобразованиях Фурье квадратично интегрируемых функций . ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R}) \ cap L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}) \ mapsto L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

Теорема Планшереля остается в силе, как сказано на n- мерном евклидовом пространстве . Теорема верна и в более общем случае для локально компактных абелевых групп . Существует также версия теоремы Планшереля, которая имеет смысл для некоммутативных локально компактных групп, удовлетворяющих определенным техническим условиям. Это предмет некоммутативного гармонического анализа . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Унитарности из преобразования Фурье часто называют теоремой замкнутости в науке и технике, на основе ранее (но менее общий) результат , который был использован для доказательства унитарности рядов Фурье .

Из-за поляризационного тождества можно также применить теорему Планшереля к внутреннему произведению двух функций. То есть, если и - две функции, и обозначает преобразование Планшереля, то ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle g (x)}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,

и если и являются, кроме того, функциями, то $f(x)$ $g(x)$ $L^{1}(\mathbb {R} )$

({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,

и

({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,

так

\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .

( Уравнение 2 )

См. Также [ править ]

Теорема Планшереля для сферических функций

Ссылки [ править ]

↑ Коэн-Таннуджи, Клод; Дюпон-Рок, Жак; Гринберг, Гилберт (1997). Фотоны и атомы: Введение в квантовую электродинамику . Вайли. п. 11 . ISBN 0-471-18433-0.

Планшерель, Мишель ; Mittag-Leffler (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arteria par les intégrales définies", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289–335, doi : 10.1007 / BF03014877.
Диксмье, Ж. (1969), Les C * -algèbres et leurs Représentations , Gauthier Villars.
Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Springer Verlag.

Внешние ссылки [ править ]

"Теорема Планшереля" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Теорема Планшереля о математическом мире

Эта статья, посвященная математическому анализу, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Коэн-Таннуджи, Клод; Дюпон-Рок, Жак; Гринберг, Гилберт (1997). Фотоны и атомы: Введение в квантовую электродинамику . Вайли. п. 11 . ISBN 0-471-18433-0.

[1]