Транспортная теорема Рейнольдса

В дифференциальном исчислении , то транспортная теорема Рейнольдс (также известная как теорема транспортной Лейбниц-Рейнольдс), или в короткой теореме Рейнольдса , является трехмерный обобщением интегрального правила Лейбница , который также известен как дифференцирование под знаком интеграла . Теорема названа в честь Осборна Рейнольдса (1842–1912). Он используется для преобразования производных интегральных величин и полезен при формулировании основных уравнений механики сплошных сред .

Рассмотрим интегрирование f = f ( x , t ) по зависящей от времени области Ω ( t ) , имеющей границу ∂Ω ( t ) , а затем взяв производную по времени:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV.}$

Если мы хотим переместить производную внутри интеграла, возникают две проблемы: зависимость f от времени и введение и удаление пространства из Ω из-за его динамической границы. Транспортная теорема Рейнольдса обеспечивает необходимую основу.

Общая форма [ править ]

Теорема переноса Рейнольдса может быть выражена следующим образом: ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA}$

в которой n ( x , t ) - единичный вектор нормали, направленный наружу, x - точка в области и переменная интегрирования, dV и dA - объемные и поверхностные элементы в x , а v ^b ( x , t ) - скорость элемента площади ( не скорость потока). Функция f может быть тензорной, векторной или скалярной. ^[4] Обратите внимание, что интеграл в левой части является функцией исключительно времени, поэтому была использована полная производная.

Форма для материального элемента [ править ]

В механике сплошных сред эта теорема часто используется для материальных элементов . Это пакеты жидкостей или твердых тел, в которые не входит и не выходит ни один материал. Если Ω ( t ) - материальный элемент, то существует функция скорости v = v ( x , t ) , а граничные элементы подчиняются

${\displaystyle \mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .}$

Это условие можно заменить, чтобы получить: ^[5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.}$

Доказательство материального элемента

Пусть Ω 0 - эталонная конфигурация области Ω ( t ) . Пусть движение и градиент деформации задаются формулами ${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\varphi }}.}$ Пусть J ( X , t ) = det F ( X , t ) . Определять ${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)=\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t).}$ Тогда интегралы в текущей и эталонной конфигурациях связаны соотношением ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}.\end{aligned}}}$ То, что этот вывод относится к материальному элементу, подразумевается постоянством времени эталонной конфигурации: он постоянен в координатах материала. Производная интеграла по объему по времени определяется как ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t+\Delta t)\,dV-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right).}$ Преобразуя в интегралы по эталонной конфигурации, получаем ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\right).}$ Поскольку Ω 0 не зависит от времени, имеем ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left(\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t}}\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t){\big )}\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}J(\mathbf {X} ,t){\big )}\right)\,dV_{0}.\end{aligned}}}$ Производная от J по времени определяется выражением: [6] ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial J(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\det {\boldsymbol {F}})&=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} {\big (}{\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t{\big )}\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).\end{aligned}}}$ Следовательно, ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV.\end{aligned}}}$ где - материальная производная от f по времени . Материальная производная дается формулой${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).}$ Следовательно, ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV,}$ или же, ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.}$ Использование идентичности ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ,}$ тогда у нас есть ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)\,dV.}$ Используя теорему о расходимости и тождество ( a ⊗ b ) · n = ( b · n ) a , имеем ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,dA\\&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.\qquad \square \end{aligned}}}$

Особый случай [ править ]

Если взять Ω за постоянное по времени, то v _b = 0 и тождество сводится к

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }f\,dV=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dV.}$

как и ожидалось. (Это упрощение невозможно, если скорость потока используется неправильно вместо скорости элемента площади.)

Интерпретация и сокращение до одного измерения [ править ]

Теорема представляет собой многомерное расширение дифференцирования под знаком интеграла и в некоторых случаях сводится к этому выражению. Предположим, что f не зависит от y и z , и что Ω ( t ) является единичным квадратом на плоскости yz и имеет пределы x a ( t ) и b ( t ) . Тогда транспортная теорема Рейнольдса сводится к

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t),t{\big )}-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big )}\,,}$

которое с точностью до замены x и t является стандартным выражением дифференцирования под знаком интеграла.

См. Также [ править ]

• Дифференцирование под знаком интеграла
• Интегральное правило Лейбница

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Леал, LG (2007). Продвинутые явления переноса: механика жидкости и конвективные процессы переноса . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84910-4.
• Марсден, Дж. Э . ; Тромба, А. (2003). Векторное исчисление (5-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-4992-9.
• Рейнольдс, О. (1903). Статьи по механическим и физическим предметам . Vol. 3, Субмеханика Вселенной. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки [ править ]

• Осборн Рейнольдс, Сборник статей по механическим и физическим предметам, в трех томах, опубликованных около 1903 года, теперь полностью и бесплатно доступен в цифровом формате: Том 1 , Том 2 , Том 3 ,
• «Модуль 6 - Транспортная теорема Рейнольдса» . ME6601: Введение в механику жидкости . Технологический институт Джорджии. Архивировано из оригинального 27 марта 2008 года.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem