Серийное ускорение

В математике , серия ускорение является одним из набора преобразований последовательностей для улучшения скорости сходимости в виде ряда . Методы последовательного ускорения часто применяются в численном анализе , где они используются для повышения скорости численного интегрирования . Методы последовательного ускорения также могут использоваться, например, для получения различных идентификаторов специальных функций . Таким образом, преобразование Эйлера, примененное к гипергеометрическому ряду, дает некоторые из классических, хорошо известных тождеств гипергеометрических рядов.

Определение [ править ]

Учитывая последовательность

${\ Displaystyle S = \ {s_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

имеющий предел

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = \ ell,}$

ускоренная серия - вторая последовательность

${\ displaystyle S '= \ {s' _ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

который сходится быстрее в чем исходная последовательность, в том смысле , что${\ displaystyle \ ell}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

Если исходная последовательность расходится , преобразование последовательности действует как метод экстраполяции к антипределу .${\displaystyle \ell }$

Отображения исходной серии в преобразованную могут быть линейными (как определено в преобразованиях последовательности статей ) или нелинейными. В общем, преобразования нелинейной последовательности имеют тенденцию быть более мощными.

Обзор [ править ]

Двумя классическими методами ускорения рядов являются преобразование рядов Эйлера ^[1] и преобразование рядов Куммера . ^[2] В 20 веке было разработано множество гораздо более быстро сходящихся и специальных инструментов, включая экстраполяцию Ричардсона , введенную Льюисом Фри Ричардсоном в начале 20 века, но также известную и использованную Катахиро Такебе в 1722 году; процесс дельта-квадрат Айткена , введенный Александром Айткеном в 1926 году, но также известный и используемый Такакадзу Секи в 18 веке; метод эпсилон дает Питер Уиннв 1956 г .; Левин U-преобразования ; и метод Wilf-Zeilberger-Ekhad или метод WZ .

Для чередующихся рядов несколько мощных методов, предлагающих скорость сходимости от всего до суммирования членов, описаны Cohen et al. . ^[3]${\displaystyle 5.828^{-n}}$${\displaystyle 17.93^{-n}}$${\displaystyle n}$

Преобразование Эйлера [ править ]

Базовым примером линейного преобразования последовательности , предлагающего улучшенную сходимость, является преобразование Эйлера. Он предназначен для применения в чередующейся серии; это дается

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}$

где - оператор прямой разности :${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta ^{n}a_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.}$

Если исходный ряд в левой части только медленно сходится, прямые различия будут иметь тенденцию становиться небольшими довольно быстро; дополнительная степень двойки еще больше увеличивает скорость схождения правой стороны.

Особенно эффективной численной реализацией преобразования Эйлера является преобразование Ван Вейнгаардена . ^[4]

Конформные отображения [ править ]

Серия

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

можно записать как f (1), где функция f (z) определяется как

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

Функция f (z) может иметь особенности на комплексной плоскости (особенности точек ветвления, полюсы или существенные особенности), которые ограничивают радиус сходимости ряда. Если точка z = 1 находится близко или на границе диска сходимости, ряд для S будет очень медленно сходиться. Затем можно улучшить сходимость ряда с помощью конформного отображения, которое перемещает особенности так, что точка, отображаемая в z = 1, оказывается глубже в новом круге сходимости.

Конформное преобразование должно быть выбрано таким, чтобы , и обычно выбирается функция, которая имеет конечную производную при w = 0. Можно предположить, что без потери общности, поскольку всегда можно изменить масштаб w, чтобы переопределить . Затем рассмотрим функцию${\displaystyle z=\Phi (w)}$${\displaystyle \Phi (0)=0}$${\displaystyle \Phi (1)=1}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle g(w)=f\left(\Phi (w)\right)}$

Поскольку имеем f (1) = g (1). Мы можем получить разложение в ряд функции g (w), подставив разложение в ряд функции f (z), поскольку ; первые n членов разложения в ряд для f (z) дадут первые n членов разложения в ряд для g (w), если . Если положить w = 1 в это расширение ряда, получится такой ряд, который, если он сходится, сходится к тому же значению, что и исходный ряд.${\displaystyle \Phi (1)=1}$${\displaystyle z=\Phi (w)}$${\displaystyle \Phi (0)=0}$${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$

Нелинейные преобразования последовательности [ править ]

Примеры таких нелинейных преобразований последовательности Паде , тем преобразование Хвостовики и преобразование последовательностей Левина типа .

Особенно нелинейные преобразования последовательности часто обеспечивают мощные численные методы для суммирования из ряда расходящегося или асимптотических рядов , которые возникают, например , в теории возмущений , и могут быть использованы в качестве высокоэффективных методов экстраполяции .

Метод Эйткена [ править ]

Простое нелинейное преобразование последовательности - это экстраполяция Эйткена или метод дельта-квадрата,

${\displaystyle \mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}$

определяется

${\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}$

Это преобразование обычно используется для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности; эвристически он устраняет большую часть абсолютной ошибки .

См. Также [ править ]

• Трансформация хвостовика
• Минимальная полиномиальная экстраполяция
• Преобразование Ван Вейнгаардена

Ссылки [ править ]

• Брезинский Ч., Редиво Загля М. Методы экстраполяции. Теория и практика , Северная Голландия, 1991.
• Г. А. Бейкер-младший и П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде , Кембриджский университет, 1996.
• Вайсштейн, Эрик В. «Улучшение сходимости» . MathWorld .
• Герберт Х. Хомейер, Скалярные преобразования последовательностей типа Левина , Журнал вычислительной и прикладной математики, вып. 122, нет. 1-2, стр. 81 (2000). Гомейер, HHH (2000). «Скалярные преобразования последовательностей типа Левина». Журнал вычислительной и прикладной математики . 122 : 81. arXiv : math / 0005209 . Bibcode : 2000JCoAM.122 ... 81H . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00359-9 ., arXiv : математика / 0005209 .
• Брезинский, К., и Редиво-Загля, М. (2019). Происхождение и ранние разработки процесса Эйткена, преобразования Шанкса, -алгоритма и связанных методов с фиксированной точкой. Численные алгоритмы, 80 (1), 11-133.${\displaystyle \epsilon }$

Внешние ссылки [ править ]

• Ускорение сходимости серий
• Научная библиотека GNU, ускорение серий
• Электронная библиотека математических функций