В теории множеств было предложено несколько способов построения натуральных чисел . К ним относятся представление через ординалы фон Неймана , обычно используемые в аксиоматической теории множеств , и систему, основанную на равнодоступности , предложенную Готтлобом Фреге и Бертраном Расселом .
Определение как порядковые числа фон Неймана [ править ]
В теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) натуральные числа определяются рекурсивно , позволяя 0 = {} быть пустым множеством и n + 1 = n ∪ { n } для каждого n . Таким образом, n = {0, 1,…, n - 1} для каждого натурального числа n . Это определение обладает тем свойством, что n - это набор, содержащий n элементов. Вот несколько первых чисел, определенных таким образом: ( Goldrei 1996 )
Множество N натуральных чисел определяется в этой системе как наименьшее множество, содержащее 0 и замкнутое под действием функции-преемника S, определенной как S ( n ) = n ∪ { n } . Структура ⟨ Н , 0, S ⟩ представляет собой модель из аксиом Пеано ( Goldrei +1996 ). Существование множества N эквивалентно аксиоме бесконечности в теории множеств ZF.
Множество N и его элементы, построенные таким образом, являются начальной частью ординалов фон Неймана.
Фреге и Рассел [ править ]
Готлоб Фреге и Бертран Рассел предложили определить натуральное число n как совокупность всех множеств с n элементами. Более формально натуральное число - это класс эквивалентности конечных множеств в соответствии с отношением эквивалентности равнодоступности. Это определение может показаться круглым, но это не так, потому что равноденствие можно определить по-разному, например, сказав, что два множества равноправны, если их можно поставить во взаимно однозначное соответствие - это иногда называют принципом Юма .
Это определение работает в теории типов и в теориях множеств, выросших из теории типов, таких как New Foundations и родственные системы. Однако он не работает в аксиоматической теории множеств ZFC или в некоторых связанных системах, потому что в таких системах классы эквивалентности при равномасштабности являются собственными классами, а не множествами.
Хэтчер [ править ]
Уильям С. Хэтчер (1982) выводит аксиомы Пеано из нескольких основополагающих систем, включая ZFC и теорию категорий , а также из системы Grundgesetze der Arithmetik Фреге, используя современные обозначения и естественную дедукцию . Рассел парадокс доказал эту систему несовместимым, но Джордж Булос (1998) и Дэвид Дж Андерсон и Эдвард Залта (2004) показывают , как восстановить его.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Андерсон, DJ, и Эдвард Залта , 2004, «Фреге, Boolos и логические объекты», Journal of Philosophical Logic 33 : 1-26.
- Джордж Булос , 1998. Логика, логика и логика .
- Гольдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств . Чепмен и Холл .CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
- Хэтчер, Уильям С., 1982. Логические основы математики . Пергамон. В этом тексте S относится к аксиомам Пеано.
- Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным множеством . Academia-Bruylant. Издатель любезно согласился разрешить распространение этого введения в NFU через Интернет. Авторские права защищены.
- Патрик Суппес , 1972 (1960). Аксиоматическая теория множеств . Дувр.
Внешние ссылки [ править ]
- Стэнфордская энциклопедия философии :
- Новые основы Куайна - Томас Форстер.
- Альтернативные аксиоматические теории множеств - Рэндалл Холмс.
- Макгуайр, Гэри, " Что такое натуральные числа? "
- Рэндалл Холмс: Домашняя страница новых фондов.
