Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Системы счисления
Индусско-арабская система счисления
Восточная Азия
Американец
По алфавиту
Бывший
  • Доисторический счет
  • Счетные отметки
  • Quipu
Позиционные системы по основанию
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 8
  • 10
  • 12
  • 16
  • 20
  • 60
Нестандартные позиционные системы счисления
  • Биективная нумерация ( 1 )
  • Знаковое представление ( сбалансированное троичное )
  • смешанный ( факториал )
  • отрицательный
  • Комплексно-базовая система ( 2 i )
  • Нецелое основание счисления ( φ )
  • Асимметричные системы счисления
Список систем счисления
  • v
  • т
  • е

Шестидесятеричная , также известный как основание 60 или шестидесятилетняя , [1] является системой счисления с шестьюдесятью в качестве своей базы . Он возник у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, был передан древним вавилонянам и до сих пор используется - в измененной форме - для измерения времени , углов и географических координат .

Число 60, высшее составное число , имеет двенадцать факторов , а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 простые. числа . С таким количеством факторов многие дроби, включающие шестидесятеричные числа, упрощаются. Например, один час можно равномерно разделить на части по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минуту. 60 - наименьшее число, которое делится на каждое число от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное для 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены как десятичные числа, если не указано иное. Например, 10 означает число десять, а 60 означает число шестьдесят .

Происхождение [ править ]

Люди могут сосчитать на пальцах до 12, используя только одну руку, при этом большой палец должен указывать на каждую кость пальца на четырех пальцах по очереди. Традиционная система счета, которая до сих пор используется во многих регионах Азии, работает таким образом и может помочь объяснить появление систем счисления, основанных на 12 и 60, помимо систем, основанных на 10, 20 и 5. В этой системе счет одной рукой повторяется постоянно. до 12, отображая количество итераций на другом, пока не заполнятся пять десятков, то есть 60. [2] [3]

По словам Отто Нойгебауэра , происхождение шестидесятеричного числа не так просто, непротиворечиво или единично во времени, как их часто изображают. На протяжении многих веков их использования, которое продолжается и сегодня для специализированных тем, таких как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные системы счисления всегда содержали сильную подоплеку десятичных чисел, например, в том, как записываются шестидесятеричные числа. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные основы должны представлять числа даже в пределах одного текста. [4]

Ранние прото-клинописи (4 тыс. До н. Э.) И клинописные знаки шестидесятеричной системы (60, 600, 3600 и др.).

Самым мощным стимулом для строгого, полностью последовательного использования шестидесятеричного числа всегда были его математические преимущества для записи и вычисления дробей. В древних текстах это проявляется в том, что шестидесятеричное число используется наиболее единообразно и последовательно в математических таблицах данных. [4] Еще одним практическим фактором, который помогал расширить использование шестидесятеричного числа в прошлом, даже хотя и менее последовательно, чем в математических таблицах, было его очевидное преимущество для продавцов и покупателей в упрощении повседневных финансовых операций, когда они включали торги и разделение больших объемов товары. В частности, ранний шекель составлял одну шестидесятую часть маны [4].хотя позже греки превратили это соотношение в более совместимое с основанием 10 соотношение, когда шекель составляет одну пятидесятую мины .

Помимо математических таблиц, несоответствия в том, как числа были представлены в большинстве текстов, распространились вплоть до самых основных клинописных символов, используемых для представления числовых величин. [4]Например, клинописный символ для 1 представлял собой эллипс, полученный путем приложения закругленного конца стилуса под углом к ​​глине, в то время как шестидесятеричный символ для 60 был большим овалом или «большой 1». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено как круг, образованный путем применения круглого конца стиля, перпендикулярного глине, а больший круг или «большая 10» использовался для обозначения 100. Такие многоосновные числовые количественные символы могут быть смешаны друг с другом и с сокращениями, даже в пределах одного числа. Детали и даже подразумеваемые величины (поскольку ноль использовался непоследовательно) были идиоматичными для конкретных периодов времени, культур, а также количества или представленных концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко подвергнуть критике в ретроспективе,в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематически зависимого базового смешения, включая недавнее новшество добавления десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам.[4]

Использование [ править ]

Вавилонская математика [ править ]

Основная статья: вавилонские клинописи

Шестидесятеричная система, использовавшаяся в древней Месопотамии, не была чистой системой с основанием 60, в том смысле, что она не использовала 60 различных символов для своих цифр . Вместо этого, клинописные цифры используются десять как суб-база в моде в знак-значение обозначения : а шестидесятеричная цифра была составлена из группы узких клиновидных знаков , представляющие единицы до девять ( , , , , ... , ) и группа ширины, клиновидные знаки , представляющие до пяти десятков ( , , , , ). Значение цифры представляло собой сумму значений составляющих ее частей:

Числа больше 59 были обозначены несколькими блоками символов этой формы в обозначении разряда . Поскольку не было символа для нуля, не всегда сразу очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно было определяться его контекстом. Например, символы 1 и 60 идентичны. [5] [6] Более поздние вавилонские тексты использовали заполнитель ( ) для обозначения нуля, но только в средних положениях, а не в правой части числа, как мы это делаем в числах вроде13 200 . [6]

Другие исторические обычаи [ править ]

В китайском календаре , A шестидесятилетний цикл обычно используется, в какие дни или годы названы позиции в последовательности десяти стеблей и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же стебель и ветка повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.

Книга VIII в Plato «s Республики включает аллегория брака с центром на число 60 4 =12 960 000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление 1,0,0,0,0. Позднее ученые использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок. [7]

Птолемей «s Альмагест , трактат по математической астрономии написанной во втором веке нашей эры, использует базу 60 выразить дробные части чисел. В частности, его таблица аккордов , которая была, по сути, единственной обширной тригонометрической таблицей за более чем тысячелетие, имеет дробные части градуса с основанием 60.

Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни сначала разделил час по половому признаку на минуты , секунды , трети и четверти из 1000, обсуждая еврейские месяцы. [8] Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотафт считал, что Сакробоско был первым, кто это сделал. [9] Парижская версия таблиц Альфонсина (ок. 1320 г.) использовала день как базовую единицу времени, записывая кратные и доли дня в системе счисления с основанием 60. [10]

Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для выполнения вычислений вплоть до 1671 года. [11] Например, Йост Бюрджи в Fundamentum Astronomiae (представлен императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в Fundamentum Astronomicum и, возможно, также Генри Бриггс использовал таблицы умножения на основе шестидесятеричной системы в конце 16 века для вычисления синусов. [12]

В конце восемнадцатого и начале девятнадцатого века было обнаружено, что тамильские астрономы производили астрономические вычисления, считая снаряды, используя смесь десятичной и шестидесятеричной системы счисления, разработанную эллинистическими астрономами. [13]

Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, не имеющих отношения к шумерам, например, у народа экари в Западной Новой Гвинее . [14] [15]

Современное использование [ править ]

Дополнительная информация: Степень (угол) § Структурных подразделения , угловая минута , угловая секунда , час , минута и второй

В настоящее время шестидесятеричная система используется для измерения углов , географических координат , электронной навигации и времени . [16]

Один час времени делится на 60 минут , а одна минута делится на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), можно интерпретировать как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), что означает 3 × 60 2 + 23 × 60 1 + 17 × 60 0 секунд . Однако каждая из трех шестидесятеричных цифр в этом числе (3, 23 и 17) записана в десятичной системе счисления.

Точно так же практическая единица измерения угла - градус , из которых 360 (шестьдесят шестьдесят градусов ) в круге. Есть 60 минут дуги в определенной степени, и 60 угловых секунд в минуту.

YAML [ править ]

В версии 1.1 [17] в YAML формате хранения данных, sexagesimals поддерживаются для простых скаляров, и формально определены как для целых чисел [18] и чисел с плавающей точкой. [19] Это привело к путанице, так как, например, некоторые MAC-адреса будут распознаваться как шестидесятичные и загружаться как целые числа, а другие - нет и загружаться как строки. В YAML 1.2 была прекращена поддержка шестидесятичных чисел. [20]

Обозначения [ править ]

Смотрите также: Позиционное обозначение § Шестидесятеричная система

В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как труды Птолемея , шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих буквенных цифр , причем каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Эллинистические астрономы приняли новый символ нуля,-°, который на протяжении веков трансформировался в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции составляет 59. [21] [22] Греки ограничили использование шестидесятеричные числа к дробной части числа. [23]

В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались арабскими цифрами ; различные уровни дробей обозначались minuta (т.е. дробь), minuta secunda , minuta tertia и т. д. К семнадцатому веку стало обычным обозначать целую часть шестидесятеричных чисел нулем с надстрочным индексом, а различные дробные части - единицей или единицей. больше акцентных знаков. Джон Уоллис в своей книге Mathesis universalis обобщил это обозначение, включив в него более высокие значения, кратные 60; приведя в качестве примера число 49 ‵ ‵ ‵ ‵ 36 ‵ ‵ ‵ 25‵‵15‵1 ° 15′2 ″ 36 ‴ 49 ⁗; где числа слева умножаются на более высокие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное верхним индексом нуля, умножается на 1. [24] Это обозначение приводит к современным знакам для градусы, минуты и секунды. Та же самая номенклатура минут и секунд также используется для единиц времени, а современные обозначения времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичном виде и отделенными друг от друга двоеточиями, могут интерпретироваться как форма шестидесятеричной записи.

В некоторых системах употребления каждая позиция после шестидесятеричной запятой была пронумерована с использованием латинских или французских корней: prime или primus , second или secundus , tierce , quatre , quinte и т. Д. По сей день мы называем часть часа второго порядка или степени «секунда». По крайней мере, до 18 века,1/60секунды называли «ярус» или «третий». [25] [26]

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и используя запятую. (,), чтобы разделить позиции в каждой части. [27] Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и все еще используемый в еврейском календаре, составляет 29; 31,50,8,20 дней. Эти обозначения используются в данной статье.

Дроби и иррациональные числа [ править ]

Дроби [ править ]

В системе шестидесятеричной, любой фракции , в которой знаменатель является регулярным числом (имеющий только 2, 3 и 5 в его простые множители ) может быть выражено точно. [28] Здесь показаны все дроби этого типа, знаменатель которых меньше или равен 60:

1 / 2 = 0; 30
1 / 3 = 0; 20
1 / 4 = 0; 15
1 / 5 = 0; 12
1 / 6 = 0; 10
1 / 8 = 0; 7,30
1 / 9 = 0; 6,40
1 / 10 = 0; 6
1 / 12 = 0; 5
1 / 15 = 0; 4
1 / 16 = 0; 3,45
1 / 18 = 0; 3,20
1 / 20 = 0; 3
1 / 24 = 0; 2,30
1 / 25 = 0; 2,24
1 / 27 = 0; 2,13,20
1 / 30 = 0; 2
1 / 32 = 0; 1,52,30
1 / 36 = 0; 1,40
1 / 40 = 0; 1,30
1 / 45 = 0; 1,20
1 / 48 = 0; 1,15
1 / 50 = 0; 1,12
1 / 54 = 0; 1,6,40
1 / 60 = 0; 1

Однако числа, которые не являются правильными, образуют более сложные повторяющиеся дроби . Например:

1 / 7 = 0; 8,34,17 (полоса указывает последовательность шестидесятеричных цифр 8,34,17 повторяется бесконечно много раз)
1 / 11 = 0; 5,27,16,21,49
1 / 13 = 0; 4,36,55,23
1 / 14 = 0; 4, 17,8,34
1 / 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7
1 / 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
1 / 59 = 0; 1
1 / 61 = 0; 0,59

Тот факт, что два числа, примыкающие к шестидесяти, 59 и 61, являются простыми числами, означает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь только обычные числа, кратные 59 или 61 в качестве знаменателя, и что в других нерегулярных числах дроби повторяются с более длинным периодом.

Иррациональные числа [ править ]

Вавилонская табличка YBC 7289, показывающая шестидесятеричное число 1; 24,51,10 приблизительно  √ 2

Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) не прекращаются и не повторяются .

Квадратный корень из 2 , длина диагонали в виде единичного квадрата , аппроксимировались Вавилонянами старого вавилонского периода ( 1900 г. до н.э. - 1650 г. до н.э. ) , как

[29]

Поскольку √ 2  ≈ 1,414 213 56 ... - иррациональное число , его нельзя точно выразить в шестидесятеричной системе (или любой другой системе с основанием целого числа), но его шестидесятеричное расширение начинается с 1; 24,51,10,7,46,6,4, 44 ... ( OEIS :  A070197 )

Значение π, используемое греческим математиком и ученым Птолемеем, было 3; 8,30 = 3 +8/60 + 30/60 2 знак равно 377/120 ≈ 3,141 666 .... [30] Джамшид аль-Каши , персидский математик 15 века , вычислил 2 π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения при округлении до девяти долей цифр (таким образом, чтобы1/60 8); его значение для 2 π было 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50. [31] [32] Как и √ 2 выше, 2 π является иррациональным числом и не может быть точно выражено шестидесятеричным числом. Его шестидесятеричное расширение начинается с 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35 ... ( OEIS :  A091649 )


См. Также [ править ]

  • Часы
  • Широта
  • Тригонометрия

Ссылки [ править ]

  1. ^ Выраженный / с ɛ к s ə dʒ ɛ с ɪ м əl / и / с ɛ к s æ dʒ ɪ п ər I / ; см. «шестидесятеричный» , Oxford English Dictionary (Online ed.), Oxford University Press ( требуется подписка или членство в учреждении-участнике )
  2. ^ Ифра, Жорж (2000), Всеобщая история чисел: От предыстория до изобретения компьютера. , Джон Уайли и сыновья , ISBN 0-471-39340-1. Перевод с французского Дэвида Беллоса, Э. Ф. Хардинга, Софи Вуд и Иэна Монка.
  3. ^ Мейси, Сэмюэл Л. (1989), Динамика прогресса: время, метод и мера , Атланта, Джорджия: University of Georgia Press, стр. 92, ISBN 978-0-8203-3796-8
  4. ^ a b c d e Нойгебауэр, О. (1969), «Точные науки в древности», Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium , Dover, 9 : 17–19, ISBN 0-486-22332-9, PMID  14884919
  5. ^ Белло, Игнасио; Бриттон, Джек Р .; Каул, Антон (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9 ed.), Cengage Learning, p. 182, ISBN 9780538737791.
  6. ^ a b Ягненок, Эвелин (31 августа 2014 г.), «Смотри, Ма, нет нуля!» , Scientific American , Корни единства
  7. ^ Barton, Джордж А. (1908), "О вавилонском происхождении брачных числа Платона", Журнал Американского восточного общества , 29 : 210-219, DOI : 10,2307 / 592627 , JSTOR 592627 . Макклейн, Эрнест Г .; Платон (1974), "Музыкальные "Браки" в Платоне "Республика " ", Журнал теории музыки , 18 (2): 242-272, DOI : 10,2307 / 843638 , JSTOR 843638 
  8. ↑ Аль-Бируни (1879) [1000], Хронология древних народов , переведенная Сахау, К. Эдвард, стр. 147–149
  9. ^ Nothaft, С. Е. Philipp (2018), Скандальная Ошибка: календарная реформа и Календарная Астрономия в средневековой Европе , Oxford: Oxford University Press, стр. 126, ISBN 9780198799559, Сакробоско переключился на шестидесятеричные дроби, но сделал их более подходящими для вычислительного использования, применив их не к дню, а к часу, тем самым открыв использование часов, минут и секунд, которые все еще преобладают в двадцать первом веке.
  10. ^ Nothaft, С. Е. Philipp (2018), Скандальная Ошибка: календарная реформа и Календарная Астрономия в средневековой Европе , Oxford: Oxford University Press, стр. 196, ISBN 9780198799559, Один Примечательной особенностью таблиц Alfonsine в их Latin парижской инкарнации является строгим «sexagesimalization» всех табличных параметров, так как ... движения и временные интервалы последовательно растворяют в базовых 60 , кратных дней или градусов.
  11. ^ Ньютон, Исаак (1671), Метод потоков и бесконечных рядов: с его применением к геометрии кривых линий. , Лондон : Генри Вудфолл (опубликовано в 1736 г.), стр. 146, Самый замечательный из них является шестидесятилетним или шестидесятеричным Шкало арифметики, частого использования среди астрономов, которое выражает все возможные номера, Целые или фракции, Rational или Surd, по полномочиям Шестьдесят , и некоторые числовые коэффициенты , не превышающее пятьдесят 9.
  12. ^ Folkerts, Menso; Лаунерт, Дитер; Том, Андреас (2016), «Метод Йоста Бюрджи для вычисления синусов», Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016 / j.hm.2016.03.001 , MR 3489006 , S2CID 119326088  
  13. ^ Нойгебауер, Отто (1952), "Тамил Астрономия: Исследование в истории астрономии в Индии", Осирис , 10 : 252-276, DOI : 10,1086 / 368555; перепечатано в Neugebauer, Otto (1983), Astronomy and History: Selected Essays , New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90844-7
  14. ^ Бауэрс, Нэнси (1977), «Нумерация Капауку: Расчет, расизм, стипендия и меланезийские системы подсчета» (PDF) , Журнал Полинезийского общества , 86 (1): 105–116, заархивировано из оригинала (PDF) на 2009-03-05
  15. ^ Lean, Глендон Angove (1992), системы подсчета Папуа - Новой Гвинеи и Океании , Ph.D. дипломная работа Технологического университета Папуа-Новой Гвинеи , архивировано с оригинала 05.09.2007.. См. Особенно главу 4, заархивированную 28 сентября 2007 г. на Wayback Machine .
  16. ^ "Шестидесятеричная система", SpringerReference , Берлин / Гейдельберг: Springer-Verlag, 2011, DOI : 10.1007 / springerreference_78190
  17. ^ http://yaml.org/spec/1.1/
  18. ^ http://yaml.org/type/int.html
  19. ^ http://yaml.org/type/float.html
  20. ↑ Орен Бен-Кики; Кларк Эванс; Брайан Ингерсон (01.10.2009), "YAML Ain't Markup Language (YAML ™) Version 1.2 (3-е издание, исправлено 01.10.2009) §10.3.2 Разрешение тегов" , официальный веб-сайт YAML , получено 2019-01-30
  21. ↑ Neugebauer, Otto (1969) [1957], The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.), Dover Publications , стр. 13–14, пластина 2, ISBN 978-0-486-22332-2, PMID  14884919
  22. ^ Мерсье, Раймонд, «Рассмотрение греческого символа« ноль » » (PDF) , Дом Кайроса
  23. ^ Aaboe, Аскер (1964), Эпизоды из ранней истории математики , новая математическая библиотека, 13 , Нью - Йорк:. Random House, стр 103-104
  24. ^ Каджори, Флориан (2007) [1928], История математических обозначений , 1 , Нью-Йорк: Cosimo, Inc., стр. 216, ISBN 9781602066854
  25. ^ Уэйд, Николас (1998), Естественная история зрения , MIT Press, стр. 193, ISBN 978-0-262-73129-4
  26. ^ Льюис, Роберт Э. (1952), Среднеанглийский словарь , University of Michigan Press, стр. 231, ISBN 978-0-472-01212-1
  27. ^ Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гётце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты , American Oriental Series, 29 , Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, стр. 2
  28. Перейти ↑ Neugebauer, Otto E. (1955), Astronomical Cuneiform Texts , London: Lund Humphries
  29. ↑ Фаулер, Дэвид ; Robson, Элеонора (1998), "Квадратный корень приближения в старых вавилонской математике: YBC 7289 в контексте", Historia Mathematica , 25 (4): 366-378, DOI : 10,1006 / hmat.1998.2209 , MR 1662496 
  30. ^ Toomer, GJ , изд. (1984), Альмагест Птолемея , Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. 302, ISBN 0-387-91220-7
  31. ^ Youschkevitch, Адольф П., "Аль-Каши", в Rosenfeld, Борис А. (ред.), Словарь научной биографии , стр. 256.
  32. ^ Aaboe (1964) , стр. 125

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Ифра, Жорж (1999), Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
  • Nissen, Hans J .; Damerow, P .; Инглунд, Р. (1993), Архаическая бухгалтерия , Университет Чикаго, ISBN 0-226-58659-6

Внешние ссылки [ править ]

  • «Факты о исчислении градусов и минут» - это книга на арабском языке, написанная Сибу аль-Маридини, Бадр ад-Дин Мухаммад ибн Мухаммадом (р. 1423). Эта работа предлагает очень подробное рассмотрение шестидесятеричной математики и включает, по-видимому, первое упоминание о периодичности шестидесятеричных дробей.