σ -алгебра

В математическом анализе и теории вероятностей , σ-алгебра (также σ-поля ) на множество X представляет собой совокупность Σ из подмножеств в X , которая включает в себя X сам, как закрывается под дополнением , и замкнуто относительно счетных объединений .

Из определения следует, что оно также включает пустое подмножество и замкнуто относительно счетных пересечений .

Пара ( X , Σ) называется измеримым пространством или борелевским пространством.

Σ-алгебра - это тип алгебры множеств . Алгебра множеств нужно только быть закрыта при объединении или пересечении с конечным множеством подмножеств, что является более слабым условием. ^[1]

Основное использование σ-алгебр - определение мер ; в частности, набор тех подмножеств, для которых определена данная мера, обязательно является σ-алгеброй. Эта концепция важна в математическом анализе как основа для интеграции Лебега и в теории вероятностей , где она интерпретируется как совокупность событий, которым можно присвоить вероятности. Кроме того, с точки зрения вероятности, σ-алгебры играют ключевую роль в определении условного ожидания .

В статистике , (суб) σ-алгебры необходимы для формального математического определения достаточной статистики , ^[2] в частности , когда статистика является функцией или случайный процесс и понятие условной плотности не применяется.

Если X = { a , b , c , d }, одной из возможных σ-алгебр на X является Σ = {∅, { a , b }, { c , d }, { a , b , c , d }}, где ∅ - пустое множество . Вообще говоря, конечная алгебра всегда является σ-алгеброй.

Если { A ₁ , A ₂ , ₃ , ...} счетное разбиение из X , то совокупность всех объединений множеств в разбиении (включая пустое множество) является σ-алгеброй.

Более полезный пример - это набор подмножеств реальной прямой, образованный, начиная со всех открытых интервалов и добавляя все счетные объединения, счетные пересечения и относительные дополнения и продолжая этот процесс (путем трансфинитной итерации по всем счетным ординалам ) до соответствующего закрытия свойства достигаются - σ-алгебра, полученная в результате этого процесса, известна как алгебра Бореля на вещественной прямой, и ее также можно представить как наименьшую (т. е. «грубую») σ-алгебру, содержащую все открытые множества, или, что то же самое, содержащую все закрытые множества. Это основа теории измерения , поэтому современная теория вероятностей, и связанная с этим конструкция, известная как иерархия Бореля, имеет отношение к описательной теории множеств.

Мотивация [ править ]

Есть по крайней мере три ключевых мотивации для σ-алгебр: определение мер, управление пределами множеств и управление частичной информацией, характеризуемой множествами.

Измерение [ править ]

Мера на X является функцией , которая назначает неотрицательное действительное число с подмножеств X ; это можно рассматривать как уточнение понятия «размер» или «объем» для наборов. Мы хотим, чтобы размер объединения непересекающихся множеств был суммой их индивидуальных размеров, даже для бесконечной последовательности непересекающихся множеств .

Хотелось бы назначить размер каждому подмножеству X , но во многих естественных условиях это невозможно. Например, аксиома выбора подразумевает, что, когда рассматриваемый размер является обычным понятием длины для подмножеств реальной линии, тогда существуют множества, для которых не существует размера, например, множества Витали . По этой причине вместо этого рассматривается меньший набор привилегированных подмножеств X. Эти подмножества будем называть измеримыми множествами. Они закрыты при операциях, которые можно ожидать от измеримых множеств; то есть дополнение к измеримому множеству является измеримым множеством, а счетное объединение измеримых множеств является измеримым множеством. Непустые наборы множеств с этими свойствами называются σ-алгебрами.

Пределы наборов [ править ]

Многие способы использования меры, такие как концепция вероятности почти надежной сходимости , связаны с ограничениями последовательностей множеств . Для этого первостепенное значение имеет закрытие при счетных объединениях и пересечениях. Пределы множества определяются на σ-алгебрах следующим образом.

• Предельная верхняя грань последовательности A ₁ , A ₂ , A ₃ ,…, каждая из которых является подмножеством X , равна

  ${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

• Предельная нижняя грань последовательности A ₁ , A ₂ , A ₃ ,…, каждая из которых является подмножеством X , равна

  ${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

• Если на самом деле

  ${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n},}$

  то существует как этот общий набор.${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$

Суб-алгебры [ править ]

В большинстве случаев, особенно когда речь идет об условном ожидании , речь идет о наборах, которые представляют только часть всей возможной информации, которую можно наблюдать. Эта частичная информация может быть охарактеризована меньшей σ-алгеброй, которая является подмножеством основной σ-алгебры; он состоит из набора подмножеств, относящихся только к частичной информации и определяемых только ею. Достаточно простого примера, чтобы проиллюстрировать эту идею.

Представьте, что вы и другой человек делаете ставку на игру, которая включает в себя многократное подбрасывание монеты и наблюдение, выпадает ли она решкой ( H ) или решкой ( T ). Поскольку каждый из вас и ваш оппонент бесконечно богат, нет предела продолжительности игры. Это означает, что пространство отсчетов Ω должно состоять из всех возможных бесконечных последовательностей H или T :

${\ displaystyle \ Omega = \ {H, T \} ^ {\ infty} = \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots): x_ {i} \ in \ {H , T \}, i \ geq 1 \}.}$

Однако после n подбрасываний монеты вы можете определить или пересмотреть свою стратегию ставок перед следующим подбрасыванием. Наблюдаемую информацию в этот момент можно описать в терминах 2 ⁿ возможностей для первых n переворотов. Формально, поскольку вам нужно использовать подмножества Ω, это кодифицируется как σ-алгебра

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = \ {A \ times \ {H, T \} ^ {\ infty}: A \ subset \ {H, T \} ^ {n} \}. }$

Заметьте, что тогда

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {G}}_{3}\subset \cdots \subset {\mathcal {G}}_{\infty },}$

где - наименьшая σ-алгебра, содержащая все остальные.${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

Определение и свойства [ править ]

Определение [ править ]

На всем протяжении будет набор и обозначать его набор мощности . Подмножество называется 𝜎-алгеброй, если оно обладает следующими тремя свойствами: ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$

1. ${\displaystyle \Sigma }$закрыто относительно дополнения в${\displaystyle X}$ : Если является элементом, то является его дополнением${\displaystyle S}$${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X\setminus S.}$
   • В этом контексте считается универсальным набором .${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \Sigma }$содержит как элемент${\displaystyle X}$ :${\displaystyle X\in \Sigma .}$
   • Если предположить, что (1) выполняется, это условие эквивалентно содержанию пустого множества :${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \varnothing \in \Sigma .}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$замкнуто относительно счетных объединений : если являются элементами, то их объединение${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \cdots .}$
   • Если предположить, что (1) и (2) выполнены, то из законов Де Моргана следует, что это условие эквивалентно замкнутости относительно счетных пересечений : если являются элементами, то их пересечение равно${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap \cdots .}$

Эквивалентно, 𝜎-алгебра - это алгебра множеств , замкнутая относительно счетных объединений.

Пустое множество принадлежит потому что (1) , в и так (2) следует , что его дополнение, пустое множество, также в Более того, так как удовлетворяет условию (3) , а также, следует , что является наименьшим возможным σ- алгебра на Наибольшей возможной 𝜎-алгебре на является${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{X}:={\mathcal {P}}(X).}$

Элементы 𝜎-алгебры называются измеримыми множествами . Упорядоченная пара ( X , Σ) , где - множество и является 𝜎-алгеброй над , называется измеримым пространством . Функция между двумя измеримыми пространствами называется измеримой функцией, если прообраз каждого измеримого множества измерим. Набор измеримых пространств образует категорию с измеримыми функциями как морфизмами . Меры определяются как определенные типы функций от 𝜎-алгебры до${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle [0,\infty ].}$

Σ-алгебра - это одновременно π-система и система Дынкина (λ-система). Верно и обратное по теореме Дынкина (см. Ниже).

Теорема Дынкина о π-λ [ править ]

Эта теорема (или связанная с ней теорема о монотонных классах ) является важным инструментом для доказательства многих результатов о свойствах конкретных σ-алгебр. Он основан на природе двух более простых классов множеств, а именно следующих.

Π-система P представляет собой совокупность подмножеств X, замкнутые относительно конечного числа пересечений, и

система Дынкина (или λ-система) D - это совокупность подмножеств X, содержащая X и замкнутая относительно дополнения и счетного объединения непересекающихся подмножеств.

Теорема Дынкина π-λ говорит, если P является π-система и D представляет собой систему Дынкин , которая содержит Р , то а-алгебра а ( Р ) генерироваться на Р содержится в D . Поскольку некоторые π-системы являются относительно простыми классами, может быть нетрудно проверить, что все множества в P обладают рассматриваемым свойством, в то время как, с другой стороны, показать, что набор D всех подмножеств со свойством является системой Дынкина, может также будьте прямолинейны. Тогда из теоремы Дынкина о π-λ следует, что все множества в σ ( P ) обладают этим свойством, избегая задачи проверки его для произвольного множества в σ ( P).

Одно из наиболее фундаментальных применений теоремы π-λ - показать эквивалентность отдельно определенных мер или интегралов. Например, он используется для приравнивания вероятности случайной величины к интегралу Лебега-Стилтьеса, обычно связанному с вычислением вероятности:${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$для всех в борелевской σ-алгебре на${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

где - кумулятивная функция распределения для определенного на, а - вероятностная мера , определенная на σ-алгебре подмножеств некоторого выборочного пространства${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Объединение σ-алгебр [ править ]

Предположим , что это совокупность а-алгебры на пространстве X .${\displaystyle \textstyle \{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$

• Пересечение набора σ-алгебр является σ-алгеброй. Чтобы подчеркнуть ее характер как σ-алгебры, ее часто обозначают:

${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$

• Объединение набора σ-алгебр обычно не является σ-алгеброй или даже алгеброй, но оно порождает σ-алгебру, известную как объединение, которое обычно обозначается

${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$

Π-система, порождающая соединение, есть

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$

σ-алгебры для подпространств [ править ]

Предположим, что это подмножество и пусть будет измеримым пространством.${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$

• Коллекция представляет собой σ-алгебру подмножеств${\displaystyle \{Y\cap S:S\in \Sigma \}}$${\displaystyle Y.}$
• Предположим , это измеримое пространство. Коллекция представляет собой σ-алгебру подмножеств${\displaystyle (Y,\Lambda )}$${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$${\displaystyle X.}$

Отношение к σ-кольцу [ править ]

Σ - алгебра является только σ -кольцом , который содержит универсальный набор ^[4] σ -кольцом не обязательно должен быть σ - алгебра, как, например , измеримые подмножества нулевой меры Лебега в вещественной прямой являются σ -кольцом, но не σ -алгебра, поскольку вещественная прямая имеет бесконечную меру и, следовательно, не может быть получена их счетным объединением. Если вместо нулевой меры взять измеримые подмножества конечной меры Лебега, они будут кольцом, но не σ -кольцом, поскольку вещественная прямая может быть получена их счетным объединением, но ее мера не конечна.${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X.}$

Типографское примечание [ править ]

σ -алгебры иногда обозначают каллиграфическими заглавными буквами или шрифтом Fraktur . Таким образом может быть обозначено как или${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Частные случаи и примеры [ править ]

Сепарабельные σ-алгебры [ править ]

Разъемные σ-алгебра (или разъемные σ-поле ) является σ-алгебра , которая является разъемным пространством , когда рассматривается как метрическое пространство с метрикой для и данной меры (и является симметричной разницей оператора). ^[5] Обратите внимание, что любая σ-алгебра, порожденная счетным набором множеств , отделима, но обратное не обязательно. Например, σ-алгебра Лебега отделима (поскольку каждое измеримое по Лебегу множество эквивалентно некоторому борелевскому множеству), но не счетно порождена (поскольку ее мощность больше континуума).${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \triangle }$

У сепарабельного пространства с мерой есть естественная псевдометрия, что делает его сепарабельным как псевдометрическое пространство . Расстояние между двумя наборами определяется как мера симметричной разницы между двумя наборами. Обратите внимание, что симметричная разность двух различных множеств может иметь нулевую меру; следовательно, псевдометрика, как определено выше, не обязательно должна быть истинной метрикой. Однако, если множества, симметричная разность которых имеет нулевую меру, идентифицируются в один класс эквивалентности , результирующее фактормножество может быть должным образом метризовано с помощью индуцированной метрики. Если пространство меры разделимо, можно показать, что соответствующее метрическое пространство тоже.

Простые примеры на основе наборов [ править ]

Пусть X - произвольное множество.

• Семья , состоящая только из пустого множества и множества X , называется минимальным или тривиальным σ-алгебра над X .
• Мощности набор из X , называется дискретным σ-алгебра .
• Набор {∅, , ^с , Х } является простой σ-алгебра , порожденная подмножеством А .
• Совокупность подмножеств X, которые счетны или дополнения которых счетны, является σ-алгеброй (которая отличается от множества степеней X тогда и только тогда, когда X несчетно). Это σ-алгебра , порожденная синглетонов из X . Примечание: «счетный» включает конечное или пустое.
• Совокупность всех объединений множеств в счетном разбиении на X является σ-алгеброй.

Остановка времени σ-алгебры [ править ]

Время остановки можно определить алгебру , так называемый -алгебра т-прошлое, которое в фильтрованной вероятностном пространстве описывает информацию до случайного времени в том смысле , что, если отфильтрованный вероятностное пространство интерпретируется как случайный эксперимент максимальная информация , которая может быть обнаружена об эксперименте с произвольно часто повторять это , пока время не будет . ^[6]${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$

σ-алгебры, порожденные семействами множеств [ править ]

σ-алгебра, порожденная произвольным семейством [ править ]

Пусть F произвольное семейство подмножеств X . Тогда существует единственная наименьшая σ-алгебра, которая содержит каждое множество в F (даже если F сама может быть или не быть σ-алгеброй). Это, по сути, пересечение всех а-алгебр , содержащих F . (См пересечения а-алгебр выше.) Это σ-алгебра обозначается σ ( F ) и называется а-алгебру , порожденную F .

Тогда σ ( F ) состоит из всех подмножеств X, которые могут быть составлены из элементов F с помощью счетного числа операций дополнения, объединения и пересечения. Если F пусто, то σ ( F ) = { X , ∅ }, поскольку пустое объединение и пересечение порождают пустое множество и универсальное множество соответственно.

В качестве простого примера рассмотрим множество X = {1, 2, 3}. Тогда σ-алгебра, порожденная единственным подмножеством {1}, есть σ ({{1}}) = {∅, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}} . При злоупотреблении обозначениями , когда набор подмножеств содержит только один элемент, A , можно писать σ ( A ) вместо σ ({ A }), если ясно, что A является подмножеством X ; в предыдущем примере σ ({1}) вместо σ ({{1}}). Действительно, используя σ ( A ₁ , A ₂ , ...) для обозначения σ ({ A ₁ , A ₂ , ...}) также довольно часто.

Есть много семейств подмножеств, которые порождают полезные σ-алгебры. Некоторые из них представлены здесь.

σ-алгебра, порожденная функцией [ править ]

Если f - функция из множества X в множество Y, а B - σ-алгебра подмножеств Y , то σ-алгебра, порожденная функцией f , обозначенная σ ( f ), является совокупностью всех прообразов е ^-1 ( S ) множества S в B . т.е.

${\displaystyle \sigma (f)=\{f^{-1}(S)\,|\,S\in B\}.}$

Функция F из множества X до множества Y является измеримым относительно σ-алгебру Х подмножеств X тогда и только тогда σ ( е ) представляет собой подмножество Е.

Одна общей ситуация, и понятно , по умолчанию , если B не указан явно, когда Y является метрическим или топологическим пространством и B есть совокупность борелевских множеств на Y .

Если f является функцией от X до R ^n, то σ ( f ) порождается семейством подмножеств, которые являются прообразами интервалов / прямоугольников в R ⁿ :

${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\{f^{-1}((a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \}\right).}$

Полезным свойством является следующее. Предположим, что f - измеримое отображение из ( X , Σ _X ) в ( S , Σ _S ), а g - измеримое отображение из ( X , Σ _X ) в ( T , Σ _T ). Если существует измеримое отображение h из ( T , Σ _T ) в ( S , Σ _S ) такое, что f ( x ) = h ( g ( x )) для всех x , то σ ( f ) ⊂ σ ( g). Если S конечен или счетно бесконечен или, в более общем смысле, ( S , Σ _S ) является стандартным борелевским пространством (например, сепарабельным полным метрическим пространством с его ассоциированными борелевскими множествами), то верно и обратное. ^[7] Примеры стандартных борелевских пространств включают R ⁿ с его борелевскими множествами и R ^∞ с цилиндрической σ-алгеброй, описанной ниже.

Σ-алгебры Бореля и Лебега [ править ]

Важным примером является алгебра Бореля над любым топологическим пространством : σ-алгебра, порожденная открытыми множествами (или, что эквивалентно, замкнутыми множествами ). Обратите внимание, что эта σ-алгебра, в общем, не является полным набором степеней. Для нетривиального примера, который не является борелевским множеством, см. Множество Витали или неборелевские множества .

На евклидовом пространстве R ⁿ важна другая σ-алгебра: алгебра всех измеримых по Лебегу множеств. Эта σ-алгебра содержит больше множеств, чем борелевская σ-алгебра на R ^n, и предпочтительнее в теории интегрирования , поскольку она дает полное пространство с мерой .

Произведение σ-алгебры [ править ]

Позвольте и быть два измеримых пространства. Σ-алгебра для соответствующего пространства произведений называется σ-алгеброй произведений и определяется формулой${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$

${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma (\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}).}$

Заметьте, что это π-система.${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

Борелевская σ-алгебра для R ⁿ порождается полубесконечными прямоугольниками и конечными прямоугольниками. Например,

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$

Для каждого из этих двух примеров производящее семейство является π-системой .

σ-алгебра, порожденная множествами цилиндров [ править ]

Предполагать

${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f{\text{ is a function from }}\mathbb {T} {\text{ to }}\mathbb {R} \}}$

- множество действительных функций на . Пусть обозначим борелевские подмножества R . Для каждого и в цилиндре подмножество из X является конечно ограниченный набор определяется как${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {T} }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\}.}$

Для каждого ,${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {T} }$

${\displaystyle \{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}}$

является π-системой, порождающей σ-алгебру . Тогда семейство подмножеств${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$

есть алгебра , что порождает цилиндр а-алгебру для X . Это σ-алгебра подалгебра борелевской-алгебра определяется топологией произведения из ограничена X .${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$

Важным частным случаем является набор натуральных чисел, а X набор последовательностей с действительными значениями. В этом случае достаточно рассмотреть цилиндрические множества${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n})=(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty })\cap X=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\},}$

для которого

${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma (\{C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\})}$

является неубывающей последовательностью σ-алгебр.

σ-алгебра, генерируемая случайной величиной или вектором [ править ]

Предположим , это вероятностное пространство . Если измеримо относительно борелевской σ-алгебры на R ^n, то Y называется случайной величиной ( n = 1 ) или случайным вектором ( n > 1). Σ-алгебра, порожденная Y, есть${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \sigma (Y)=\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}.}$

σ-алгебра, порожденная случайным процессом [ править ]

Предположим , это вероятностное пространство и множество действительных функций на . Если измеримо относительно цилиндрической σ-алгебры (см. Выше) для X , то Y называется случайным процессом или случайным процессом . Σ-алгебра, порожденная Y, есть${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subset \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{X})}$

${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma ({\mathcal {F}}_{X})\right\}=\sigma (\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\}),}$

σ-алгебра, порожденная прообразами цилиндрических множеств.

См. Также [ править ]

• Алгебра множеств
• δ-кольцо
• Поле наборов
• Присоединиться (сигма-алгебра)
• λ-система (система Дынкина)
• Измеримая функция
• π-система
• Кольцо наборов
• Образец пространства
• σ-кольцо
• Аддитивность сигмы

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Алгебра множеств" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сигма-алгебра в PlanetMath .